Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Имеем Т„(у) =, = 1+ 2~~~ сов2я(гу = ~~ сов2яlгу = вш я(2п+ 1)у в)п яу — (сов2я)гу+ гв1п2я(гу) = ~~~ е~«~" = 2лР„(2ггу), Полагая у = — ',, отсюда получим равенство 1 / х 1 1 в)п(п+ 1/2)х 2х ~2я/ 2я в(пх/2 Очевидно, что функция Р„(х) обладает следующими свойствами: 1о / Р ( о Поскольку функции д(х) и Р„(х) являются 2я-периодическими, с помощью замены переменной вида 1 =-х+ у частичная сумма Е„ преобразуется к следующему выражению: 2« Е. = Е.(у(х)) = 3 д(1)Р.(х -1)Й = Уу(1)Р.(1 — )й = «+2« « — у( + у)Р (у) 1у ««у( + у)Р (у)йу = 1 Г вьп (и+ 1/2) у = — з) у( +у) Иу = 2я,( в(п у/2 « « 1 у 1 = — 1 У(х+ У)с1к — в1ппУг(У+ — з( У(х+ У)сов пУг(У.
2я,/ 2 2я / Определение 2. Эту цепочку равеяств назовем интегральным представлением частичной суммы Е„ряда Фурье. Справедливо следующее утверждение. 499 Л е м и а 1 (лемма Римана). Пусть д(х) е Их» и прн некотором б > 0 имеем равенство д(х) = О при всех х с (хо — б,хо+6). Тогда ряд Фурье функции д(х) в точке х = хо сходится к нулю.
,и о к а з е в» е л ь с ш е о. Пусть функции у1 (у) и ут(д) определены равенствами у1(д) эд(хо + 9) сс$2 и .гт(9) 2д(хо + 9). Тогда 11 (у) и,)т(у) с Ьт», поскольку функция сбй К непрерывна вне любой бокрестности каждой точки вида х = 2л6, где 6 — произвольное целое число, а внутри этой окрестности функция у1(у) равна нулю. Поэтому при х = хо имеем » Е-=Е»(д( о)) = /д( о+у)П-(д)йу=- Ч. = — / —,д(хо + у) сЧ вЂ”; в1п пдву + — / -д(хо + у) соз пдву = л,/ 2 2 л/ 2 = 6«(т1)+а (Уг) где 6„(,г,) и а„(/т) являются коэффициентами Эйлера — Фурье функций Л(й) и ~т(у) соответственно.
Поскольку для этик функций справедливо равенство Парсеваля. 6«(»~1) -+ 0 и а«(,)т) -+ 0 при и -» со, откуда и следует, что Е„-~ О. Лемма доказана. Из леммы Римана вытекает справедливость следующего утверждения. Т е о р е м а 1 (принцип локализации Римана), Поведение ряда Фурье в точке х = хо полностью определяется значениями функции д(х) й И»т в произвольно выбранной б-окрестности этой точки. ,7 о к а з а л» е л ь с л» е о. Нам, по существу, надо доказать, что если функцию д(х) изменить произвольным образом вне любой фиксированной б-окрестности точки хо, то сходимость ряда Фурье не нарушится и его суыма в этой точке не изменится.
Другими словами, 'если частичная сумма Е„(д(хо)) ряда Фурье функции д(х) ~ И'р, в точке х = хо сходится к числу а и функция Ь(х) Е Ин» совпадает с д(х) внутри некоторой б-окрестности точки хо, то и Е„(6(хо)) — » о при и -э со. Для доказательства рассмотрим разность г(х) = д(х) — И(х) ч Ига». Функция г(х) в точке х = хо удовлетворяет условию леммы Римана. поскольку г(х) = 0 при всех х с (хо — б, хо+ б). Следовательно, при и -+ оо имеем Е„(г(хо)) = Е«(д(хо)) — Е«(6(хо)) -+ О. ьоо Но так как Е„(д(хо)) -ь а при и -+ оо, то тогда и Е„(Л(хо)) -+ а при и -~ оо. Теорема 1 доказана.
Заметим, что требование прииадлежиости функции д(х) классу И'1, можно значительно ослабить. Действительно, анализ доказательства леммы Римана и теоремы 1 показывает, что для их справедливости, по существу, достаточно, чтобы коэффициеиты Эйлера — Фурье разности г(х) = д(х) — л(х), а также функции 1о(х) = г(х)с1кк стремились к нулю с возрастаяием их номера к бесконечности.
Для этого, вообще говоря, достаточно яятегрируемости по Римапу модулей этих функций на отрезке [0,2я] как яесобствеииых интегралов второго рода. Доказательство последнего утверждения це слишком сложно, по поскольку в принципе ояо мало отличается от уже разобранных случаев, то проводить его мы не будем. Метод, использоваияый в лемме 1, позволяет доказать еше одиу лемму, которая потребуется при выводе признаков поточечной сходимости рядов Фурье. Л е м м а 2. Пусть 1(х) б И"м. Положим Тогда если 0 < а < Ь < 2я, то а'„-+ 0 иря и + оо, если же вниолвево более строгое условие 0 < а < Ь < 2я, то (1„-1 0 я т„-+ 0 пря и-ь оо.
21 о х а з а т е л ь с 1и е о. Величину а„можно рассматривать как коэффициент Фурье фуикции д(х) б И~м, которая совпадает с у(х) на интервале (0,6) и обращается в нуль для точек х отрезка [0,2к], ие принадлежащих отрезку [а, 6], т.е, для точек множества Е = = [О, 2х]'1[0, 6].
Отсюда по свойству коэффициентов Фурье имеем а„-+ 0 при и -+ оо. Подобным образом величину (У„можяо рассматривать в качестве коэффициеятов Фурье 6„другой функции Л(х) б И'р„, которая яа интервале (0,6) совпадает с функцией у(у)сгк х, а для точек миожества Е обращается в нуль. Поэтому )1„-+ 0 при и -+ оо.
А так как ~„ = †' (а„ + д„), то и т„ -+ 0 при и -+ со. Лемма 2 доказана. 1 6. ПРИЗНАКИ ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЪЕ Снова будем рассматривать функцию д(х) из класса Игр„. Используя интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье, найдем выражение для разностя г„между значением функции у(х) в точке х = хв и значением ее частичной суммы Е„в этой точке, Имеем в+У)+У(ха У) У(хв)П ( )У 2 (у)П („),1 2 о в = — ~ р(у) 1 у в(п(о+1/2) у 1 ( / У .
Ну = — ~ р(у) ~ссй — в(пну+ савву) ну, в(ну/2 я / 2 о где у(хв + у) + у(хо — у) — 2у(хо) 'Р(у) = т»* (У)— 2 Здесь величина р(у) как функция от у принадлежит пространству Игт„~р(О) = 0 и функция р(у) непрерывна в точке у = О. Т е о р е м а 1 (признак Дяни). Пусть при некотором У > 0 существует следующий несобственный интеграл второго рода: в, =~ — уу. у (р(у)) у о Тогда ряд Фурье Е функция у(х) в точке х = хв сходится к значению у(хо) Д о к а з а пв е л ь с пл е о. В силу произвольности а можно считать, что У < в.
Поскольку интеграл в в, =~ — уу г (р(у)) о сходится, при любом в > 0 найдется число и = Ь(е) > 0 с условием л Вл =1 — Уу<е. Г (р(у)! у о Далее из интегрального представления для разности г„= ń— у(хв) имеем равенство Г» — г»1+ Г»в + Г»в~ где у г„= — 1 р(у) ~слй — в1пау+ савау) Уу, г„1 —— — ! 1а(у) слй — в1п пуду, 2 2 вот гьв —— — ~1 у(у) с1к — в(ппуНУ, гвэ = — 1 у(у) сов пуг1У. к 2 к Ь о По лемме 2 15 имеем гьв -э О и г„э -э О при и -~ оо, т,е. при всех достаточно больших и получмм г„о < в м г„з < в.
Относительно величины г„1 заметим, что еслм О < у < И < 1г, то сов у/2 (оо(у) ! в [оо(у)1 (о (у)! в1п у/2 в1п у/2 у поскольку на указанном выше промежутке справедливо неравенство у у в1п — > —. 2 к' Отсюда следует, что !.г1= Поэтому при всех и > по(в) имеем оценку [г„! < Зв. В силу произвольности выбора числа в > О это означает, что г„-э О, т.е. в точке х = хо ряд Фурье Е сходится к значению у(хо). Теорема 1 доказана. Определение 1. Будем говорить, что функция у(х) удовлетворяет условию Липшипа с параметром а, где О < а < 1, если в некоторой б-окрестности точки хо выполняется неравенство 1у(х) — у(хо)! < Ь[х — хо[, где Ь > Π— некоторая постоянная.
В случае когда это условие выполнено во всех точках отрезка [хо,хг], говорят, что функция у(х) примадлежит "классу Липшица а". Число Ь называется коистампоой Лившица. При а = 1 просто говорят, что у(х) удовлетворяет условию Лмпшица. Т е о р е м а 2. Если в точке хо для функция у(х) выполнено условие Лнпшнца с параметром о, то ее ряд Фурье в данной точке сходится к значению у(хо). Д о к а в а пг е л ь с пг е о. Покажем, что в данном случае к функцмм у(х) можно прмменмть прмзнак Динм. Действительно, прм )У( < б имеем 1< !У( +У) -у(*,)1+!У(„у) (,,)1 1 — 1 /г(у) в(п пупу о < — )1 1/1(у)[ИУ < — бу < в.
1 / )р(у)1 у откуда следует, что В1 =/ — Ну< Ь/ у" Ыу= — <+со. У)р(у)~ Р „, Еу у о Это значит, что условия признака Дини выполнены и ряд Фурье функции у(х) сходится к значению у(хо). Теорема 2 доказана. Докажем еще два признака сходимости рядов Фурье. Т е о р е м а 3 (Признак Дирихле). Если 2я-периодическая и строго регулярная функция д(х) является кусочно-монотонной яа отрезке [0,2к), то ее ряд Фурье сходится всюду к значению у(х).
Замечание. Кусочная монотонность функции у(х) означает, что весь отрезок (О, 2я] можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых у(х) монотонна. В частности, кусочно-монотонная ограниченная функция будет функцией ограниченной вариации. з2 о к а з а т е л ь с т в о теоремы 3 является простым следствием еще одного признака, заключенного в следующей теореме. Т е о р е м а 4 (Признак Жордана). Пусть функция у(х) б И'г я 0 < б < я.
Пусть, далее, в некоторой 6-окрестности точки хо функция у(х) имеет ограниченную вариацию. Тогда ряд Фурье этой функция сходятся в точке хо к значению у(ха). Я о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку у(у) — функция ограниченной вариации, она может быть представлена в виде х(у) = у1 (у) — уг(у) где Ф1(у) и ~)г(у) — неубывающие неотрицательные функции. Можно считать, что у~(0) = рт(0) = 0 и функции р,(У) и хт(у) непрерывны в точке у = О, так как этими свойствами обладает функция у(у). Действительно, монотонные функции имеют в каждой точке односторонние пределы, Тогда правосторонние пределы в точке у = 0 для обеих функций совпадают. Вычитая из каждой функций это общее предельное значение, получим две новые функции, которые будут удовлетворять всем указанным выше условиям, если только их значения в нуле взять равными нулю. Следовательно, для любого е > 0 существует значение 6 = И(е) > 0 такое, что 0 < у1(6) < е и 0 < уз(Ь) < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
