Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В случае, когда скалярный квадрат (д,д) расходятся, но все коэффициенты с„= (д, Г„) существуют, соответствующий ряд ~с„У„(х) будем называть "нестандартнымэ рядом Фурье по системе функций Р. Важным примером ортонормированной системы на отрезке (0,2я) относительно скалярного произведения с весовым коэффициентом х = 1 является система функций Если же положить и = 1/я, то ортонормированной системой будет система функций (1 Рз = ~=,совх,вшх,...,сових,зшших,... '1 Гг' Во втором случае ряд Фурье можно записать в следующем виде: Уп(х) = — + ~~) (а«сових+6«в)ппх).
1Г2 п=1 Рв = (1, 1/2 сов 2)гх, ~г2в)п2ях,..., ~/2сов 2нпх, Яв)п2)гпх,... ) на отрезке [0,1] со значением и = 1, Аналогично, на отрезке [0,1] при и = 1 ортонормированной является система функций Рв . 1 12 21гх Г2, 2ях Г2 2япх Г2 . 2япх —, )уг — сов —, 1)' — в)п —,..., )уг — сов —, )[) — гйп —,... ,г(('Ч1 1 'Ч1 1 ' ''У'1 1 'Ч1 Ряд Фурье по системе функций Рв будем называть тригонометрическим рядом Фурье по отрезку [0,1]. Для коэффициентов Фурье сп функция д(х) справедлява следующая теорема. Т е о р е м а 1 (неравенство Бесселя).
Для любой ортонормированной системы Р = (1„) и любой функшги д(х) с условием (д,д) < +со при произвольном гп Е 1))1 справедливо неравенство сь < (д,д), где св = (д,Д), )г = 1,...,т. В«1 ,(г' о и а з а пг е л ь с пг е о. Рассмотрим функцию дм = д„,(х) = ~ свуь(х). Вп! Положим Ь = Ь (х) = д(х) — д (х). Тогда получим )и, Г ) = К п)В, Г.) = ( Вп! О при п <пт, при п>пг; ( сп (Пгп Уи) = Сп — (дпг Уп) = ~ ][О при и) пг, при и < пг. 485 По существу, мы получаем определенный ранее тригонометрический ряд Фурье.
Легко убедиться, что и рассмотренный выше тригонометрический ряд ~', ""в««* является рядом Фурье функции рв(х) по ««1 ортонормированной системе функций Отсюда имеем / т » пз т м (упз,уп,) = Ц~ сь/ь,~ с»1») = ~~~' сьс»(Лс,/») = ~~~ с!',. -! »ж! ь»1»=! к»! Следовательно, (у„,Л) = (Л,у ) = У .,(д ,/ь) = О. и»! Поэтому (д,д)»и(д +Л,д +1) =(у,д )+2(д,Л)+(Ь,Л) = ив = (д,д ) + (1!,ь) > (д,д ) = ~сг ь»! Теорема 1 доказана.
Заметим, что попутно мы доказали равенство (д, д) = у с!г + (Ь, Ь). ье! Определение В. Функцию д (х) теоремы 1 будем называть пг-м многочленом Фурье по ортонормированной системе Р. Иэ теоремы 1 непосредственно следует справедливость двух утверждений, которые мы сформулируем в виде следуюп!ей теоремы. Т е о р е м а 2. В условиях теоремы 1: а) справедливо неравенство сг < щ(~ = (д, д); к=! б) с„= с»(д) ~ О при п -+ оо. Определение 9. 1. Ортонормированиая система Р = (/») называется замкнутой, если ((д(( = ~~! с„. Это равенство называется равенством Парсевалн. 2. Ортоиормироваявая система Р = (/») называется полной в линейном пространстве !', если для любой функция д Е !' с условием (д,/ь) = О при всех х Е И выполняется равенство (д,у) = О. 4ав Ртверягдение 1. Всякая замкнутая ортояормироваияая система функций является полной.
,7 о к а з о пг е л ь с т е о. Предположим противное, т.е. будем считать, что (у,у) ) О, но ск = ск(у) = О при всех к Е 1Ч. Тогда в силу замкнутости ортонормированной системы функций имеем что невозможно. Утверждение доказано. Т е о р е м а 3 (свойство экстремальности коэффициентов Фурье). Пря любых вещественных аы ., ., а,„справедливо неравенство м т у — ~~~ с»1» < у — ~~ о»Ь »»и к=к где сы,с,„— коэффициенты Фурье по системе функций г = (~»). Д' о к а з а т е л ь с пг в о.
Снова воспользуемся равенством (пт, гк) = (У вЂ” Ут, /к) = О, справедливым прн всех й < пг. Получим а»)ук + ~ (ск — ак) ) у — ~~~ с»~» Теорема 3 доказана. (у — д )+~ ~(с»в »=1 м у — ~~~ с»гк »мя $ТЪ г у — ~ а»ук т г У вЂ” Ут~~ + ((~~~ (с» — ак)~» к=1 Лекции 25 1 3, ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ Нашей целью является доказательство равенства Парсеваля для ортогональной тригонометрической системы функций (1 Ре = ( уь (х) ) = —, соа х, Б! и х,..., Сов их, Б!п В х,... (2' Т е о р е м а 1 (теорема Ляпунова).
Тригонометрическая система Ре замкнута в пространстве И'т„, Другими словамя, для любой строго регулярной и 2к-перяодической функции у(х) имеет место равенство Парсеваля вида тт г — ут(х)йх = — е + ~~ (аь~ + Ьь~), яу 2 о Ьх! где коэффициенты аь и Иь определяются через д(х) по формулам Эйлера — Фурье. Прежде чем доказывать зту теорему, заметим, что если первую функцию П(х) = — в системе ге заменить на И,(х) = -1, то система ~г' Рс преобразуется в систему гт, ортонормированную относительно весового коэффициента х = —. Точнее, получим систему функций гт — — (Иь(х)), причем если И = 1, то И1(х) = -', если же И = 2п, то Иь(х) = Ит„(х) = соа пх; а если И = 2п+ 1, то Иь(х) = Ива ы(х) = а(в ах.
Коэффициенты Фурье сь функции д(х) по системе гт при И = 1,2,... связаны с величинами аь и 6» следуюшими равенствами; ае = с~з/2, аь = свы Иь = сть+ы И = 1,2, поэтому равенство Парсеваля можно записать в виде г» ь,а) = — 1 ю'(*и*= К», о ь=) что согласуется с определением замкнутости ортонормированной системы, данным нами ранее.
Доказательство теоремы 1 опирается на две следуюшие леммы. Л е м м а 1. Для каждой строго регулярной функции у(х), периодической с периодом 2я, и любого е > 0 найдется тригонометрический многочлен Р,„(х), удовлетворяющий условию Цу(х) — Р (х)Ц < е. ~у!(х) — уэ(х)~ < е!. Отсюда имеем < ~(/ я~Их = е!. о Цу!(х) — дэ(х)Ц = Пусть теперь 0 = 1е < 1! « 1к < 1 — все возможные точки разрыва функции уэ(х) на промежутке [О, 1).
При п = 1,..., х определим функции у„(х), периодические с периодом 1 и задаваемые на отрезке (О, 1] условиями 1 при 1„! <х< !р„(х) = 1/2 при .х =1„ О в остальных х =1„, случаях. Тогда, очевидно, при некоторых постоянных аг,...,аь имеет место равенство уг(х) = ~~ а„9>„(х). и=! В терминологии гильбертовых пространств зто означает, что тригонометрические многочлены (Р,„(х)) являются всюду плотным множеством в линейном пространстве И~ = Иге по норме гильбертова пространства Ью Д о к а э а т е л ь с гн е о леммы 1.
Рассмотрим далее функцию у!(х) = д(2ях), Она имеет период 1 = 1 и тоже является строго регулярной. Точки разрыва х!,..., х„этой функции разбивают отрезок 1 = (О, 1) на интервалы 1!,..., 1„. На каждом из них функция уг(х) является непрерывной и имеет левый и правый пределы. Следовательно, на каждом интервале 1ь функция д!(х) равномерно непрерывна. Это значит, что при любом е! > 0 интервал 1э можно разбить на конечное количество непересекающихся промежутков так, чтобы колебание функции д!(х) на каждом из последних не превышало е!. Теперь рассмотрим функцию уэ(х), которая является непрерывной на любом из укаэанных промежутков и равна на нем значению функции у!(х) в его центре. Будем также считать, что в смежных точках этих промежутков у!(х) равна полусумме своих пределов слева и справа.
Тогда очевидно, что у!(х) является кусочно-постоянной и строго регулярной функцией, причем при всех вещественных х справедливо неравенство Но раисе было установлено, что р (х) = !» - ! -1 + ро(х — ! -1) - р»(х - !») Поэтому при некоторых Д,)У1,...,Д имеем У2(х) = Фо+ ",Г .ЯР9(х !») »=1 Кроме того, раиьше было доказано, что (ро(х — !») — з (х — !»)( < л (х — !»), где »2 ) 4 и м .1*1=2,'"" '*, ».1*)= и/с Следовательно, справедлива оценка (у2(х) — сг (хи < Е УЗ.(й.(х — !.), »»1 й где Ю~(х) = до+ ~, А~э.з(х — !») »»1 Применяя неравенство Коши, отсюда получим / й 2 )92(х) — 9п,(х)( < ~~'', (А(Ктв(х — !») < ~~' А ~~' Ни,(х — !»).
»»1 »»1»»1 Интегрируя зто неравенство по отрезку (0,1), в силу периодичности функции й (х) находим 1 к (М ) — Я ( )П'= /(у (*) — СР (*))'~*< ~~;Р.',') „~В'(х — !.)( = о » 1»» 1 9 1+! 49О где А — некоторая величина, не зависящая от п1. Далее, яспользуя неравенство треугольника, получим с 1!2 (уз(х) — Ю-(х))'Ух =~~уз(х)-Ю (хН)=4 < о УА1 '~~ < Йу1(х) — ут(хи ~ + Йут(х) — Я„,(хЯ < е1 + ~ — ) Но тогда, производя замену переменной интегрирования вида х = 1/(2я) и полагая Р,„(1) = ф„(1/(2я)), имеем Следовательно, гА~ '~~! Цу(1) — Р (1)Ц < ~/2 е1+ 1 — ) Очевидно, что функция Р„,(1) является тригонометрическим много- членом порядка п1.
Кроме того, при е1 — — с/4 и п1 ) 8А/гз имеем неравенство 1/2 е1 + — < е, откуда окончательно получаем Йу(1) — Р (1))) < е. Лемма 1 доказана. Л е м м а 2. В условиях теоремм ! для гп-го многочлена Фурье у„(х) функции у(х) справедливо соотношение ЙЬ Й = 'цу(х) — у (хИ) -+ 0 при и -+ оо. // о к а з а п1 е л ь с гп е о. Ввиду свойства экстремальности коэффициентов Фурье для любого тригонометрического многочлена р„(х) порядка п имеет место неравенство йу(х) — у„(х)й < ))у(х) — р„(хи).
491 В силу того же свойства при всех иатуральных Л имеем ((д(') — дь+ ('И) < Ь( ) — дь(хИ! поскольку при и = Л+ 1 многочлен Фурье уь(х) можно рассматривать в качестве тригонометрического миогочлена р„(х). Теперь при произвольном г > О рассмотрим многочлен Р (х) из леммы 1. Тогда, полагая лс(е) = т, мы при всех и > т = пс(х) получим неравенство ((у(х) — у„(х)(( < )(у(х) — «„1(х)() < ((у(х) — у (х)(( < ((д(х) — Р (х))( < г. Это означает, что при и -+ сю имеем )(Л„() -+ О. Лемма доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
