Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Д о к а з а т е л ь с т е о тлеоремм 1. Как было показано ранее, достаточно доказать, что (у,у) = ~ сь, а=1 где сь = («,Ь) = -„)9 д(х)Л,(х)1(х, Л(х) = е2, а при и > 1 имеем .69 = сов лх, «29+1(х) = ип хх. Кроме того, при доказательстве леммы 1 мы установили, что при любом и Е И справедливо равенство (у,д) — (д„,д„) = (у — у„,д — «„) = (л„, л„). По лемме 2 имеем (Л„,л„) -+ О при и -+ оо. Поэтому, переходя к пределу в последнем равенстве, получим (у, у) = !пп (у„, у„) = 1пп 7 с„= ~~1 сь. н-+оа и-+со Тем самым теорема 1 доказана.
В заключение заметим, что для того, чтобы любая полная ортонормированиая система функций в линейном пространстве К со скалярным произведением была замкнутой, необходимо и достаточно, чтобы пространство К было полным относительно нормы, определяемой этим скалярным произведением. Другими словами, г' должно быть гильбертовым пространством. Доказательство последнего утверждения не слишком сложно, но оно выходит за пределы нашего курса. 492 6 4.
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСГВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ Мы уже говорили о том, что не всякий тригонометрический ряд вида Г„(х) = —, + ~(а„совах+ 6„я1п пх) 2 а=о а=1 обязан быть рядом Фурье некоторой функции даже в том случае, если он сходится при всех вещественных значениях х. В качестве примера можно указать ряд По признаку Дирихле он сходится во всех точках х вещественной оси, но можно доказать, что он не является рядом Фурье какой-либо функции. С другой стороны, теорема Рисса — Фишера утверждает, что если сходится числовой ряд Е = -'~+~„"„1(а1+61), то существует функция д(х), коэффициентами Фурье которой являются числа а„и 6„. Кроме того, тогда по теореме Карлесона сумма ее ряда Фурье существует "почти всюду" и равна д(х).
Не касаясь здесь этих весьма сложных вопросов, остановимся на доказательстве следующих утверждений. Т е о р е м а 1. Если коэффициенты с„(т) и г„(д) рядов Фурье строго регулярных функций т'(х) б ИГ1„и д(х) б 6У1, совладают, то Г(х) = д(х) лри всех вещественных.значениях х, Д о к а з а а1 е л ь с га е о. Коэффициенты Фурье сь(Ь) разности этих функций, Ь(х) = у(х) — д(х) б Из„, удовлетворяют соотношению сь(Ь) = сь(Г) — сь(д) = О. Поэтому в силу равенства Парсеваля справедливо равенство (Ь, Ь) = ~~1 ст(Ь) = О, а=1 а отсюда следует, что Ь(х) = О или 1(х) = д(х) при всех х. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2.
Если тригонометрический ряд сеть(х) = — + ~(а„совах+ 6„91ппх) ао 2 «=1 493 сходится равномерно на отрезке 1 = [О, 2я], то его сумма у(х) является непрерывной функцией на 1 и данный ряд является ее рядом Фурье и он допускает почленное интегрированяе. ,Ч о к а з а и! е л ь с и! е о. Все функции в!пих и сових непрерывны на 1, и в силу равномерной скодимости ряда 2',сьуь(х) его сумма й(х) является непрерывной функцией. Отсюда вытекает, что равенство 7ь(х)й(х) = ~ь(х) ~~~ с„~„(х) «=! можно проинтегрировать по отрезку 1 и при этом в силу равномерной сходимости ряда на 1 в правой части равенства возможно почленное интегрирование.
В результате приходим к равенствам сь(й) = (1юу) = ) с«(ум 1«) = сь, ««1 поскольку (1ь, 1„) = 0 при Л ф и и (1ь, 1ь) = 1. Таким образом, установлено, что числа сь одновременно являются коэффициентами Фурье функции у(х). Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Тригонометрический ряд Фурье 2 с„~„(х) строго кусочно-гладкой 2я-периодической функции у(х) сходится к ней равномерно на отрезке 1 = [0,2я]. Д о к а з а и! е л ь с и! е о. Сначала покажем, что тригонометрический ряд сь 1ь (х) = — + ~ (а«осе пх + 6«впз пх) ав 2 «=1 сходится равномерно на 1. Для этого достаточно показать, что числовой ряд 2 (]аь]+]Ль]) сходится н тем самым является мажорантой для 2;сьуь(х).
Прежде всего заметим, что функция Л = Л(х) = й'(х) Е 'ггт„поэтому (Л,Л) < +сю, и для функции Л(х) справедливо равенство Парсевапя, т.е. С« (Л Л) ~о+~~; ( г+Щ) ь«! где 1 1 1 Г аь = — / Л(х) сов ЛЫх = — / й'(х) совйх!(х, 1Г . 1Г, Ц ж — / п(х) э1пйхах = — / д'(:с)е1пйхдх. Далее, поскольку д'(х) — строго регулярная функция, то прн всех й б И в этих интегралах допустимо интегрирование по частям, С его помощью получнм ге 1 Г 1с Г о» = — / д'(х) соэ Усхс(х = --/ д(х) зсп йхс(х = -66», ~» = — / д'(х) э(п»хдх = — / д(х) соз йхссх = йа», те. ໠— — (1»)6, 6» = — о»(6.
Но тогда имеем (а»! = — < й»+ яг, (6 ! = — < о»+ »г. !)1»! г 1 (о»! г Отсюда следует, что ~()а»)+ (6»!) < ~(о„+)1»г) + 2~ — < »»н »»и »»и < (д,д)+ 2~ + 1сх (д,д)+ 3 < +ос. 1 )с(/с+ 1) Итак, мы доказали, 'что ряд 2 с»Г»(х) сходится равномерно на 1 к некоторой сумме р(х). Но по теореме 1 функция р(х) должна быть непрерывной н совпадать с д(х). Тем самым теорема 3 доказана полностью. Т е о р е м а 4. Если 2к-периодическая функция д(х) дяффеРеыцируема п раз, где и > 1, я ее и-я производная является строго кусочыо-гладкой функцией, то: 1) ряд 2, йэ ( )а» ! + )6» !) сходится; 2) Ряд Фурье фуыкцяя д(х) можно почлеыыо днффереыцяровать и раз. Здесь числа а» и 6» являются коэффицяеытамя Эйлера — Фурье для фуыкцня д(х).
,11 о к а з а сп е л ь с сп е о. На основании предыдущей теоремы заключаем, что функпня р„(х) = дрй(х) равна сумме своего ряда Фурье, который равномерно сходится на отрезке ! = [0,2я!. Кроме того, если а» н 13» — ее коэффициенты Эйлера — Фурье, то ряд ~((аь~ + ~Д ~) сходится. Отсюда путем последовательного интегрирования по частям, как и при доказательстве теоремы 3, приходим к равенствам 1оь! = й" ~аь~, !А~ = /с")Ьь(, если и четно, ~оь) = й" (Ьь), фь( = 6")аь), если и нечетно. Тем самым утверждение 1 доказано.
Справедливость же утверждения 2 следует теперь из обшей теоремы о почленном дифференцировании функционального ряда, так как тогда каждый из числовых рядов 2 6 (~аь~+)Ьь~) сходится при любом П1 = 1,...,п — 1 и является мажорантой для последовательных производных суммы тригонометрического ряда Фурье, т.е. функций 1р (х) = ~1"'1(х) на отрезке У = (О, 2я], Теорема 4 доказана. Заметим, что вместе с теоремами 3 и 4 попутно доказана следующая теорема. Т е о р е м а 5.
1. Если сходится числовой ряд 2 ~а„( + (6„~, то тригонометрический ряд ао — + ~ а„соз пх + 6„81п пх сходится равномерно на отрезке [О, 2я) к некоторой непрерывной функции д(х), являясь ее рядом Фурье. 2. Если при этом сходится ряд 2 пь((а„)+ ~6„!), где 6 > 1, то ряд Фурье функции у(х) можно почленно дифференцировать и раз. Лекция 26 Ь 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЧНОЙ СУММЫ РЯДА ФУРЬЕ.
ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ РИМАНА Одной из важных задач теории тригонометрических рядов Фурье является нахождение условий, обеспечивающих сходимость данного ряда в фиксированной точке к значению породившей его функции. Возникающая здесь ситуация достаточно сложна. Оказывается, что ряд Фурье функции, непрерывной в данной точке, может в ней расходиться. В то же время пример функции ро(х) показывает, что разрывность функции, вообще говоря, не препятствует сходимости ее ряда Фурье к ней самой во всех точках вещественной оси. Далее мы рассмотрим простейшие признаки поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье. Но для этого потребуется вывести интегральное представление для их частичных сумм, Введем следующее обозначение.
Будем писать ао д(х) — + ~ ~аь сов Ьх + Ьь вш 1сх, 2 Ь=! если все числа ав и Ьь выражаются через д(х) по формулам Эйлера— Фурье. Другими словами, тригонометрический ряд в правой части последнего соотношения является рядом Фурье функции д(х). Если он сходится в точке хо к значению д(хо), то можно записать равенство ао д(то) = — + ~~~ аь сов Ьхо+ Ьь вшЬхо. 2 в=1 Преобразуем ряд Фурье функции д(х) с помощью формулы Эйлера е = совх+Зв!пх, где 1 — мнимая единица, ьа = — 1. Для простоты можно эту формулу рассматривать как определение функции е* при мнимых значениях аргумента.
Легко доказать, что тогда основное функциональное свойство экспоненты в этом случае сохраняется на всей комплексной плоскости, т.е. если в = а + ЬЬ (а, Ь б 2), и мы считаем, что Ел Ео+ЬЬ Еа ЕЬЬ тО с" 4" = е" . е" где 71 и вв — комплексные числа. Далее, ввиду того что Еовв + Е-В| * ЕЬВв Е-Ььв сов Ьх = вшЬх = 2 ' 2 497 имеет место равенство ń—.— — „+ ~ ~(ав сов йх+ Ьв япйх) = ~ Мвеы», где Но = -'ао и Нв = г(о~ц — Яб~ц) = г(ащ — й~цв(кп(в) при й 18 О. Заметим, что для величин Нв при целом в выполнены соотношения г» г» йв = — / у(х)е ы~йт = — / д(х)(совГох — гв(пйх)дх = 2я/ 2я,/ о о г» г» 1 1 — ~ у(х)совlохИх — —, ~ у(х)яп/вЫх = -(о~ц — 16~цякп(о). 2 ) я,/ 1я ( 2 о о Введем теперь для комплекснозначных 2юпериодических функций Г(х) и у(х) скалярное произведение (Г, о) гю формуле г» (Г, у) = —, / Ях)и(х)4х. 2 .г о Как обычно, черта над знаком функции означает операцию комплексного сопряжения.
Тогда имеем (Г,у) = (о, Г), ес» = е ', откуда следует, что 4 = (у(х),е'"») и (е'~',е'в») = 1. Таким образом, совокупность функций (е'"*), где Го принимает все целые значения, образует ортонормированную систему функций относительно введенного выше скалярного произведения. Заметим еще, что весовой коэффициент х равен здесь + Эту комплексную форму записи ряда Фурье мы используем при выводе удобной для применения формулы для частичной суммы Е» ряда Фурье функции у(х). Имеем » г» 1 »„=г»о' = —,г *')а(~).-"»= в=-» в»-» о » г» 1 Г = — 1»о г "'-'» =1»оо„о — о», 2я / о в=-» о где функция 1Э„(у) определяется равенством » Р~(у) = — ~~~, е'"". й=-» 498 Определение 1. Фуякция Р„(у) называется ядром Дирнкле порядка и. Установим связь между введенной ранее функцией Т„(у) и ядром Дирикле Р„(у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
