Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Для примера найдем преобразование Фурье функции (! ) О) 1/(21), если — 1 < х С 1, /(х) = 1/(41), если х = — 1,х =1, 0 — в остальных случаях. Имеем Для обратного преобразования Фурье отсюда получим К(х) = — е'" ф = /(х). 2яу 1у В частности, при х = 0 имеем 1 1 Р 5!о!у /(О) = — = — (1у.
21 2я,/ 1у 523 Таблица 1 р(х) 1(х), область ее определении е — у /2 *е 12, -сю < а' < +оо, нормальное распределение 1/а, если х Е [О,а], О, если О Я [О,а], равномерное распределение л' "-! !ау 1/(2а), если х б [-а, а), О, если х Я [-а, а), равномерноа распределение у 1- 11 — )..)), если х б [-а, а], если х Я [-а, а], О, треугольное распределение 1 —, если у б [-а,а], О, если у Я [-а, а) — — 00 < х < +со а ! (2- у)~ р]21[ г-! е™, х > О, Г > О, гамма-плотность ге ЬО -со < х < +сю, 2 двустороннее покнуательное распределение ! !+у е-гйй — -оо ( х ( +со, ! > О, а! +а распределение Коши е х ° !я!(х), х > О, ! > О, бесселева плотность —, -гю < х < +ею, ! а Ь гиперболический косинус 10 б2Я Приведем таблицу часто встречающихся прямых и обратных преобразований Фурье [31).
В правом столбце таблицы указаны плотности Т'(х) распределения вероятностей, т.е. функции Т"(х) с условиями Т'(х) > О, ] Дх)г(х = 1. Преобразование Фурье от функции распределения вероятностей называется характеристической функцией. Класс характеристических функций среди всех преобразований Фурье выделяется тем, что различным распределениям вероятностей соответствуют различные характеристические функции (теорема единственности), а также тем, что последовательность распределениЯ вероятностеЯ (г„) сходится к распределению вероятностей г" тогда и только тогда, когда последовательность соответствующих характерястических функций сходится к непрерывной предельной функции (теорема непрерывности). Эти важные теоремы теорин вероятностей мы здесь доказывать не будем, так как они выходят за рамки нашего курса.
Перейдем теперь к формулировке и выводу достаточных условий представимости функции в виде интеграла Фурье. Эти условия аналогичны соответствующим условиям Дини и Дирихле — Жордана для рядов Фурье. При их доказательстве мы будем опираться на свойство непрерывности преобразования Фурье д(у) и его стремление к нулю при у — э оо. Обозначим через Е' = Ь'(-оо, +ос) класс функций, абсолютно интегрируемых по Риману на ( — оо, +со) и являющихся строго регулярными на любом конечном отрезке. Л е м м а 1.
Пусть функция у' Е 1,', Тогда ее преобразование Фурье д(у) является непрерывной функцяей на всей числовой оси К. ,7 о к а з а т е л ь с т в о. Интеграл д(у) равномерно сходится на 2 по признаку Вейерштрасса, так как функция Щх)) ивляется мажорантой для его подынтегральной функции еф*у(и). Рассмотрим сначала случай, когда у(э) непрерывна на И. Тогда функции р(к, у) = епкин'(и) является непрерывной для всех точек (и,у) Е йз.
По теореме о непрерывности равномерно сходящегося несобственного интеграла функция д(у) в этом случае будет непрерывной. В общем случае для строго регулярной функции у(и) можно указать непрерывную функцию Ь(х), отличающуюся от у(я) только в некоторых малых д„-окрестностях точек я = э„разрыва функции у(я), причем Ь(я) представляет собой линейную функцию с условием М- .!сэ„ Следовательно, (~(к) — Ь(и))ои < —. 3 Положим д1 (у) ~ Ь (и) ешийэ По доказанному выше д1(у) является непрерывной для всех у Е И. Поэтому существует такое число е > О, что для любого Ь с условием (Ь( < е справедливо неравенство 525 Оценим сверху модуль величины Ьд = д(у+ Л) — д(у). Имеем е е ]Ьд] < ]Ьд,]+ 2 / ]у(х) — Л(х)]ах < — +2 — = е. Следовательно, д(у) непрерывна для всех у Е 66.
Лемма 1 доказана. Л е м м а 2 (лемма, Римана). Пусть /'(х) Е ь' [а,6]. Тогда при у — э сс имеем ь д(У) = / Д(х)е'У Их -+ О. а Сделаем замену переменной л/ о к а з а т е л ь с т е о. интегрирования х = /+ —. Получим у а-т/у С чедователъпо, ,ь Ь вЂ” т/у д(у) = — I /(х)е'у~с/х — I у [ х+ — 1 е'у~Нх а а-т/у +, у (х)ееу Нх — — /(х)е'у Нх = А, + Ау + Аз 2,/ 2 6-т/у а-у/у Поскольку /(х) — строго регулярная функция, отрезок [а, 6] можно разбить на промежутки непрерывности функции /(х). И если на каждом промежутке непрерывности утверждение леммы будет доказано, то в силу того, что их число конечно, это утверждение останется справедливым и для всего отрезка [а,6]. Поэтому можно считать, что функция у(х) непрерывна на [а,6].
В силу непрерывности Дх) имеем. что для любого е > О существует С > О такое, что для всех у с условием ~у] > С выполняется неравенство /(х) -/ х+ — <— у/ Ь вЂ” а 526 В последнем интеграле поменяем порядок интегрирования. Это воз- можно сделать, так как Подынтегральная функция является непрерыв- ной и несобственный интеграл равномерно сходится на всем множестве значений параметров. Получим уА(х) = — / 1(()й / е лк(' ')иу = 1 Г 2х,/ 1 Г еФАО- ) е-!АО- ) = — / У(1)', ' (1= 2я / 1(( — х) Ы 1 вшАи.
17 аш Аи = — / ~(и + х) Ни = — / (Д(и + х) + У(х — и)) Ни. 7Г и и — ОО о .Докажем, что !пп УА(хо) = У(хо) А-+со Для этого сначала вспомним, что Поэтому 2 Р вшАи м-л*, = — рж— о л — оу < —. ) р(у)! е у 2 е Из леммы Римана следует, что существует У > О такое, что для всех А > У справедливо:неравенство — е!и Аийи ~р(и) и < —. 2 Отсюда имеем, что !пп УА(хо) = У(хо). Теорема 1 доказана, 528 В силу сходимости интеграла Вл имеем, что для любого 5 > О существует Ь > О такое, что Д о к а э а п1 е л ь с ~и е о.
Из доказательства предыдущей теоремы получим, что 2 Г впАи Уя(ко) — Г(ко) = — ! р(и) — Ии. о Поскольку последний интеграл сходится, для любого е > О существует число В > О такое, что 2 Г в~в Аи е — / у(и) — о(и < —, и 2' в В силу условия теоремы функция у(х) будет иметь ограниченную вариацию на интервале ( — Б,Б) и, кроме того, ~р(у) -+ О при у -+ О.
Следовательно, ее можно представить в виде разности положительных неубывающих ограниченных функций у1(к) и ~рт(к), причем каждая из них стремится к нулю при у — л О. Нам достаточно доказать, что интеграл В = — лэ1(и) аи о стремится к нулчо при А -+ со.
Сначала из условия !пп ~р1(и) = О имеем, что существует число . «-«о Л > О такое, что при всех )и) < Ь справедливо неравенство ~р~(и) < с/8. Представим В в виде В = В1+ Вм где В1 и Вт — интегралы от той 'же подынтегральной функции, что и интеграл В, но переменные интегрирования у них изменяются в других пределах: у В1 они изменяются от О до Ь, а у Вз — от 6 до В.
По второй теореме о среднем при некотором Ь, О < Ь < Ь, имеем ял 2 Г о1пАи )В! = — (6) à — с( я / и 2 Г яви — р1(Ь) ( — аи / и 2 Г о)пи < — у1(6) / — Ыи = р1 (6) < —. / и 8 о 529 Т е о р е м а 2. Пусть Г(к) Е Ь ( — со,со) и пусть также в некоторой 6-окрестности точки хо функция Г(к) имеет ограниченную вариацию, о > О. Тогда ее интеграл Фурье сходится в этой точке к значению 1(хо). Далее, прн фиксированных й и В в силу интегрируемости функции из леммы Римана следует, что Вт ~ 0 при А ~ оо. Позтому существует число Ао такое, что при А > Ао 2 )' з(п Аи )Аз) = — / ~е1(и) — Й~ < —.
и 8' ь Таким образом, получим 2 1 а)пАи — / у(п) — еи и и о )Ул(ха) — У(хо)! = <е, Л е м м а 4. Пусть (1 + )х!")у(х) Е Ь'( — со, +оо). Тогда преобразование Фурье й раз анфферениируемо. «7 о к а з а гп е л ь с гп в о. Поскольку имеют место неравенства Ц(х)(ъх)" е'*"( < (1+ )х/")/~(х)(, и = 1,...,7с, в силу признака Вейерштрасса интегралы у (х) (1х)" е'™дх равномерно сходятся на всей числовой оси соответственно к функциям !п~( Лемма 4 доказана.
следовательно, 1пп ~л(хо) = у(хо). л-~со Теорема 2 доказана. Замечание. Пусть у(х) Е .б'. Тогда из теоремы 1, в частности, следует, что если, кроме того, функция /(х) является кусочно- гладкой в некоторой 6-окрестности точки хо, то выполняется условие Дини, позтому интеграл Ва существует, а следовательно, интеграл Фурье функции у(х) в точке хо сходится к у(хо). Из теоремы 2 следует сходимость интеграла Фурье в точке ха к у(ха), если абсолютно интегрируемая функция у(х) в некоторой окрестности точки ха является не только абсолютно интегрируемой, но и кусочно- монотонной. Л е м м а 5. Пусть функции Дх),, )'1«) б б ( — си, +ос) и пусть при х — > оо справедливы соотношения Дх) -«О,,з1~ '1(х) э О. Тосда имеем )у(у)) = о ((у( "), Д о к а з а и) е и ь с и) в о.
Интегрируя по частям, при любом А > О будем иметь ~А з1 1(х)е'~вссх = (з1 1(х)ем")~ +' -А + (~1 1(х)( — 1у)е'*")~ +. + ( — 1у) ~,)(х)е'*"с(х. Устремим А -«сю. Получим ~1" 1(х)е'~"с(х = ( — 1у)" / ((х)е'ь" Йх = ( — су)" у(у). По лемме Римана имеем (пи ~1"1(х)с'~")(х = О. в-) (ю ) поэтому )у(у)( = о ()у) «) . Лемма 5 доказана. Т е о р е м а 3 (равенство Планшереля). Пусть Дх),з"(х), ~ (х),«з(х) Е б'(-оо, +оо) и при х -+ оо имеем Д(х) -«О,('(х) -~ О.
Пусть у(у) и )))(у) преобразования Фурье соответственно )(х) и )з(х). Тогда справедливо равенство 1 Дх)ч)(х)Нх = —, /1 д(у))1)(у)йу, где черта над функцией )г(у) обозначает операцию комплексного сопряжения. Д о к а з а т е л ь с и) в о. Пусть А > Π— любое число. Преобразуем интеграл — / / сг(х) е"Ус1х д(у) с(у = — / Р'(х, у) с1у. 2к,/ ~ь,/ Перемена порядка интегрирования в последнем несобственном интеграле обосновывается тем, что при некотором с > О имеют место неравенства [д(у)/ ( г(1+ /у[ ) ', /Г(х,у)/ (, [Ге(х)/Ых — 1+[у[, и, следовательно, несобственный интеграл сходится равномерно на отрезке [ — А,А].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
