Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 85
Текст из файла (страница 85)
и-+со Д о к а з а сп е л ь с ш в о. Необкодимоспсь утверждения следует яз теоремы 1 предыдущего параграфа, поскольку из условия 1пп й(Т) = О получим, что 1пп йи = О. ьт~а и~со Доспсашочносспь. Для любого разбиения Т ямеем з(Т) < 1, < 1' < $(Т). Следовательно, зи<с <с <В~с ° Отсюда получим, что йи оо 5„— зи ) !' — 1. > О. Но так как предел 1пп йи = О, то з' = 1. = У. В силу условия 2 и~со теоремы 1 предыдущего параграфа отсюда следует интегрируемость рассматриваемой функции по Ряману. Теорема 1 доказана. Следующая теорема служит дополнением и уточнением теоремы 1 предыдущего параграфа. Т е о р е м а 2.
Для янтегрнруемостя ограниченной функции на прямоугольнике необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно нз следующих эквивалентных условий: 4) 1пп йи го О; и->со 5) !пХй„= О. и Д о к а з а сп е л ь с сп в о. В силу теорем 1 этого я предыдущего параграфа имеем цепочку заключеняй: 5) ==э 3) =сФ 1) к 4) ~ 5). Теорема 2 доказана. Утверждения этого параграфа представляют интерес для вычислительных целей. Из них следует, что достаточно рассмотреть лишь одну последовательность разбиений Ти. В силу теоремы 2 для любой последовательности 1У„) размегок, соответствующих последовательности неразмеченных разбиений Ти, ямеем 1пп в(Уи) = 1, причем ошибка при замене 1 на в(У,) не и~со превосходит йи, т.е. !О(Уи) — У! < йи. На самом деле справедливо более обшее утверждение: для любого .
размеченного разбиения У и для Т = Т(У) имеем Денствительно, справедливы неравенства в(Т(У)) < о(У) < Я(Т($ )), в(Т($ )) < 1 < Я(Т(У)). Это означает, что отрезку [в(Т(У)),Я(Т(У))), дляна которого равна Я(Т(У)) — в(Т(У)) = й(Т(У)), принадлежат оба числа о(У) я 1, откуда имеем ИУ) Е[ < й(Т(У)) что я утверждалось выше.
Лекпия 3 1 5. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЖОРДАНУ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ФИГУРЫ Напомним определения, связанные с понятием измеримости по Жордану трехмерной фигуры, Определение 1. Фигура Р называется простейшей, если она является объединением конечного числа параллелепипедов, стороны которых параллельны осяы координат. Такие параллелепипеды назовем стандартными, Обозначим через П = Пв множество всех простейших фигур в пространстве Йз. Очевидно, что мера (или объем) Жордаиа простой фигуры — это сумма объемов открытых непересекающихся стандартных параллелепипедов, на которые зту фигуру можно разбить, Определение 2.
Верхней мерой 2Кордана р'(Р) ограниченной фигуры Р называется величина Рей,РСР т.е. точная нижняя грань объемов всех простых фигур, содержащих Р Аналогично, ниягней мерой 2Кордана р,(Р) фигуры Р называется величина и*(Р) = р р(Р) геп,РСР Если р,(Р) = р (Р), то фигура Р называется измеримой по 2Кор- дану и ее мера (объем) Жордана равна р(Р) = р„(Р) =,и'(Р).
Заметим, что объем любой ограниченной части плоскости всегда равен нулю. Напомним критерий измеримости фигуры Р по Жордану. Обозначим через дР гранину фигуры Р, то есть множество точек в Вз, не являющихся ни внутренними, ни внешними для фигуры Р. Т е о р е м а 1. Для измеримости фигуры Р по Жордану необходимо и достаточно, чтобы мера ее границы р(дР) была равна нулю. Д о к а з а т е л ь с гв е о этого критерия мы проводить не будем, поскольку оно ничем не отличается от его доказательства в двумерном случае. Отметим только следующие четыре свойства величины р(Р).
1а. Если Р н 0 измеримы, то фигуры РОС и РГ) 0 измеримы. 2а. Если Р и 0 не пересекаются, то р(РОС) = р(Р)+р(С) (свойство аддитивности) . За. Если Р С О, то р(Р) < р(С) (свойство монотонности). 45. Сдвиги и повороты фигуры Р не изменяют значения меры этой фигуры (свойство инвариантности). Т е о р е м а 2. Для интегрируемости ограниченной функции д(к, у) на прямоугольнике Р необходимо и достаточно, чтобы цилиндрическая криволинейная фигура Р, отвечающая поверхности х = д(я,у), была измерима по Жордану.
Д а к а з а га е л ь с т в о. (Необходимость). Пусть функция д(к, у) интегрируема на Р. Нам надо доказать, что фигура Р измерима. Граница дР этой фигуры состоит из шести поверхностей: дР = Н» 0 Нз 0 . ° ° 0 Нв, где Нм..., Н5 — часть границы фигуры Р, состоящая из частей плоскостей, параллельных координатным плоскостям, и Нв — поверхность х = д(к,у), (я,у) б Р. Заметим, что р(дН») = . = р(дН5) = О, так как всякий прямоугольник или его часть имеют нулевой объем. Из критерия интегрируемости по Риману функции д(я,у) имеем, что 1п) й(т) = О. следовательно, для всякого е > О существует разт биение Т такое, что справедливо неравенство й(Т) < в.
Для этого разбиения Т рассмотрим простую фигуру Р, которая есть объединение замкнутых параллелепипедов (брусов) Р» ь соответствующих разбяению Т прямоугольника Р. Каждый брус Р» ~ состоит из точек (э, у, х) таких, что для всех (*,у) б Р» ~ имеем т» ~ < х < М»~ (напомним, что т» ~ = )п1 д(к, у), М»д = эпр д(я, у)). )е,к)еР~з 1» э)еРа ~ Тогда, очевидно, фигура Р содержит все точки поверхности Нв. Далее, имеем р(Р) = й(Т) < е. Поскольку Нв С .Р, получим, что р (Нв) < с В силу произвольности е > О это значит, что р(Н5) = О.
Отсюда следует, что р(дР) = О, и тогда согласно критерию измеримостн фигура Р измерима по Жордану. Необходимость доказана. Достаточность. Мы имеем, что Р измерима. Из критерия измеримости получим, что р(дР) = О. Это значит, что для любого 5 > О существует фигура .Р б П такая, что Нв С .Р и р(Р) < е.
Фигура Р есть объединение нескольких замкнутых брусов Р„г = 1,...,1. 557 Можно считать, что проекция фигуры Р на плоскость х = О совпадает с Р. Если это не так, то можно вместо Р взять ее пересечение с бесконечным цилиндром, состоящим из точек (х, у, х) с условием (х,у) б Р. Проекции всех брусов Р„т = 1,,1, на плоскость х = О дают разбиение прямоугольника Р на прямоугольники 9,. Продолжая стороны каждого прямоугольника Я, до пересечения со сторонами прямоугольника Р, получим некоторое разбиение Т прямоугольника Р на прямоугольники Рь ь Заметим, что для любой точки (х, у) б Рь ) имеем (х, у, ть ~) б Р и (х,у, Мь ~) б Р, где пц, ~ = )п1 д(х,у),Мь ~ = аир д(х,у) Это )а,и)еРа~ )а,к)еРа~ утверждение имеет место, поскольку На С Р.
Обозначим через Рь ) брус с условием (х,у) б Рьь гпь~ < х<Мьь Пусть Рс — объединение всех таких брусов Рь ь Тогда получим, что Ра С Р и р(Ра) < р(Р) < с. Отсюда имеем, что р(Рз) = П(Т) < е. Следовательно, )пГП(Т) = О, т.е. д(х,у) интегрируема на Р. Теорема т 1 доказана. з 6. ПОНЯТИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА РИМАНА ПО ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ, ИЗМЕРИМОЙ ПО ЖОРДАНУ Для дальнейшего нам потребуется ввести понятие предела еще по одной базе множеств. Рассмотрим функцию д(х, у), определенную на ограниченной области Р, измеримой по Жордану.
Определение 1. Разбиением т области Р будем называть конечный набор измеримых по Жордану множеств Ры..., Р, с условиями: 1) Р>О ОР,=Р; 2) нри всех тп,п <1, гп ф и, имеем р(Р Г) Р„) = О. Совокупность всех разбиений т обозначим через Ан. Определение 2. Диаметром Н = Ы(Р) множества Р называется величина впр р(а,6). а,ми Диаметром Ь, разбиения т' области Р будем называть величину Ь, = тпах Н(Ра ) . а<с Точки аы..., а„а, б Р„1 < з < 1, будем называть разметкой данного разбиения т и обозначать символом;3 =,бн, а разбиение 11 будем называть размеченным разбиением.
Множество всех размеченных разбиений множества Р обозначим через Аг!. Определение 3. Интегральной суммой размеченного разбиения сз будем называть величину ст(!3) = ~ д(а„)1с(Р„), а„= (х„, у„), Определение 4. Число 1 называется обобшенным двойным интегралом Римана функини д(х, у) по ограниченной области Р, измеримой по Жордану, если для любого 5 > 0 найдется число о = о(5) > О, такое, что для любого разбиения ф = !Зп с условием а!о < о имеем )сг(13) — 1( < с. Обобщенный двойной интеграл можно рассматривать как предел по базе, Ее мы будем Обозначим эту базу символом сьсс -+ 0; она будет состоять из окончаний 5~! С Асс!, определяемых условием 65 = (сЗ = фв (Ьд < б) .
Очевидно, что функция ст(сд) = 1 д(а„)р(Р„) определена на множес=! стае Атс, а ее предел по базе сьсс -+ О и есть обобщенный двойной интеграл по области Р. Пусть ос„ = сп! д(а),М„ = зир д(а),ос„ = М„ — тп„. Тогда опредеаеп ~еп„ лим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу соответственко следующими выражениями', с с Ят) = ~ М„р(Р„), я(т) = ~ пс„р(Р„), с=! и омега-сумму — выражением П(г) = ~ м„р(Р„), и=! Дадим еще одно определение кратного интеграла от ограниченной функции д(х,у) по ограниченной, измеримой по Жордану, области Р. Пусть для некоторого прямоугольника Р имеем Р С Р. Доопределим функцию д(х,у) на весь прямоугольник 1с, полагая д(х,у), если (х,у) б Р, до(х у) = О, если (х,у) б Рс!Р, 559 Определение 5.
Если до(х,у) интегрируема по Римапу на прямоугольнике Р, то двойной интеграл .1 от до(х,у) по Р казывается двойным интегралом Римана по множеству В от функцни д(х, у), то есть по определеняю имеем / д(х, у)йхйу = Х = ~~ до(х, у)йхйу. На первый взгляд может показаться, что понятие обобщенного интеграла 1 расширяет класс интегрируемых функций по сравнению с понятием интеграла,1, но на самом деле это не так.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
