Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Д о к а з а ш е л ь с гп е о. Нам дано, что р(А») = О,/с = 1,..., Докажем, что р(А) = р( О А») = О. Действительно, по определению, »хп для любого е > О существует простейшая фигура П» такая, что А» С П» и р(П») < е/2». ьэ С.'О ОО ОО Кроме того, имеем А= 1з А» С О П» и р( 0 П») < 2 р(П») < г. »хп »»и »хп» Следовательно, множество А имеет лебегову меру нуль.
Лемма 1 доказана. Л е м м а 2. Пусть В С А, р(А) = О. Тогда р(В) = О. Д о к а з а гл е л ь с т е о. Поскольку любая простейшая фигура, покрывающая множество А, покрывает и множество В, утверждение леммы сразу следует из определения множества лебеговой меры нуль. Лемма 2 доказана. Л е м м а 3, Компакт А С ж", и > 1, лебеговой меры нуль измерим по Жордану и его мера Жордана равна нулю. В о к а з а и» е л ь с гп е о.
Так как лебегова мера компакта А равна нулю, то для любого е > О существует простейшая фигура, состоящая не более чем счетного множества открытых стандартных параллелепипедов, покрывающая А, и имеющая объем, меньший е. Из этого покрытия можно выделить в силу компактности конечное подпокрытие с объемом меньшим е. Следовательно, множество А измеримо по Жордану и его мера Жордана равна нулю.
ааз Лемма 3 доказана. Далее, пусть функция у(х, у) ограничена на прямоугольнике Р. Обозначим через П = П(б) = П(хо, Б) куб, состоящий из точек (х?,..., хп) с условием хо, — Б < х, < хо, + Ю, в = 1,..., и, где хо = (хо,?,, хо,п). Определение 2. Колебанием функции у(х) в точке хо назовем величину ы(хо) = ыд(хо) = )пГ вцр (у(х) — у(у)).
и одоп Другими словамн, имеем ы(йо) = 1п((Мд(хо) — тб(йо)), и где Мв(хо) = виру(й), тб(хо) = (п? у(х). деп деп Имеет место следующий критерий непрерывности функции в точке в терминах колебания функции в точке. Л е м м а 4. Функция у(х) непрерывна в точке хо тогда н только тогда, когда ыд(хо) = О. Д о к о в а т е л ь с ?и в о. Необходимость.
Пусть функция д(х) непрерывна в точке хо. Предположим, что ыд(хо) = а > О. Рассмотрим куб П??„. Тогда из определения величины ыд(хо) имеем М?? (хо) — т?? (хо) > а. Отсюда получим, что существуют точки хп и уп такие, что у(хп) — у(уп) > ? > О.
Кроме того, имеем 1пп хп = !пп уп = хо. Но тогда, переходя пчм" м в предыдущем неравенстве к пределу при и -+ оо и используя непрерывность функции д(х) в точке хо, получим О > а/2 > О. Это противоречивое неравенство показывает, что сделанное предположение неверно. Следовательно, ыд(йо) = О. Необходимость доказана. Достаточность. Поскольку ыд(хо) = О, для любого е > О существует Б = Б(е) > О такое, что для любых х,у е П(о) имеем (у(х) — у(у)~ < е. Положим у = хо. Тогда последнее условие будет условием непрерывности функции у(У) в точке хо.
Лемма 4 доказана. Обозначим через 1?(а) множество точек х Е Р, удовлетворяющих условию ыд(й) > а > О. Л е м м а 5. Множество Р(а) замкнуто. Д о к а в а т е л ь с т в о. Пусть хо — предельная точка множества Р(а). Докажем, что она принадлежит с?(а). Поскольку хо предельная точка ??(а), существует последовательность х„б В(а), сходящаяся к хо.
Для любого 6 > О найдется х„б Пб(хо). В силу того, что Пб(хо) открытое множество, существует бб > О такое, что Пб,(х„) С Пб(хо). Отсюда имеем Мб(хо) — тб(хо) > Мб,(хп) — тб, (х„) > ы>д(х„) > а. Следовательно, ые(хо) = 1пГ(Мб(хо) — тб(хо)) > а, то есть точка и хо б сб(а). Лемма 5 доказана. Т е о р е м а 1. Ограниченная на прямоугольнике функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда для любого а > О множество В(а) имеет лебегову меру нуль. Д о к о з о т е л ь с т в о.
Необходимость. Предположим, что существует а > О такое, что множество Гб(а) не является множеством лебеговой меры нуль, т,е. найдется ео > О такое, что для любой простейшей фигуры, содержащей О(а), ее объем не меньше ео. Рассмотрим любое разбиение Т прямоугольника Р на прямоугольники Рь ь Пусть По — множество всех тех прямоугольников Рь ь внутри которых находится хотя бы одна точка множества .0(а). Площадь простейшей фигуры По не меньше ео. Если бы зто было не так, т.е.
площадь р(По) = е~ < ео. Покроем границу дПо стандартными прямоугольниками общей площадью, не превосходящей 1~(ео — еб). Тем самым множество сб(а) покрыто открытой простейшей фигурой площади, не пРевосходЯщей еб + з(ео — 81) = -(ео + еб) < ео, это противоречит нашему предположению. Следовательно, р(По) > ео. Заметим, для любого стандартного прямоугольника из ГГо колебание функции на зтом прямоугольнике не меньше, чем а. П.этому для любого разбиения Т имеем П(Т) > асс > О. Отсюда получим, что 1вГП(Т) > аео > О. Но зто означает, что рассматриваемая функция не т интегрируема на прямоугольнике, что противоречит условию теоремы.
Следовательно, наше предположение не имеет места, и, значит, для любого а > О лебегова мера р(Р(а)) = О. Необходимость доказана, Достаточность. Положим а = е((4бб(Р)), б = е/(4М), М = шах(о(х)(. Так как множество П(а) имеет лебегову меру нуль, ееР то его можно покрыть простейшей фигурой с общей площадью, меньшей, чем б. Множество О(а) — замкнуто и ограничено, следовательно, оно — компакт. Выделим из системы стандартных прямоугольников, из которых состоит зта простейшая фигура, конечное подпокрытие 1. Рассмотрим множество К = Р ~ 1. Оно является компактом.
Для любой точки х б К имеем, что ыд(х) < а. Из определения ы (х) получим, что существует квадрат Пт(й), у > О такой, что колебание функции у(х) на нем меньше, чем 2а. Квадраты Пт18(й) образуют покрытие 585 множества К. Выделим из него конечное подпокрытие К Продолжим стороны прямоугольников, составляющих 1 и К до пересечения со сторонами Р.
Получим разбиение Т прямоугольника Р. Сумму П(Т) представим в виде П(Т) = ~ ~~~ ыь ~Лхасу~ + ) ~~~ мь ~Лхассу~ — — Е1+ Е~, (ь,О (аз) где в сумму 2 ~, 'входят те слагаемые, для которых элемент разбие(в,й ния Рь ( С /, а в сумму 2 ') — те слагаемые, для которых Рь ( С К (ьб) Имеем Е1 < 2М ~~~ ~ Лхасу( < 2Мб, (вб) Е~ < 2а~ ~~ < 2ар(Р). Оь() Следовательно, П(Т) = Е1+ Ез < 2Мб+ 2ар(Р) = е/2+ с/2 = е. Таким образом, имеем (пГ(1(Т) = О, т.е. функция у(х) интегрируема т на прямоугольнике Р. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2 (критерий Лебега).
Ограниченная функция у(х) ннтегрнруема по Рнману на прямоугольнике Р тогда н только тогда, когда множество Р точек разрыва ее имеет лебегону меру нуль. ,(1 о к а з а та е л ь с т е о. Необходимостпь, По теореме 1 для любого натурального числа и множества .Р(1/п) имеют лебегову меру нуль. Отсюда получим, что лебегова мера Р = 0 Р(1/и) равна пси нулю. Достаточность. Дпя любого а ) О имеем Р(а) С Р. Поэтому, если мера р(Р) = О, то р(Р(о)) = О. Из теоремы 1 следует интегрируемость функции у(х) на прямоугольнике Р. Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Пусть функция й(х) ннтегрнруема на прямоугольнике, гп = )пГу(х), М = апрй(й) н пусть функция /(() непрерывна на р отрезке [гп, М). Тогда /(у(х)) ннтегрнруема на прямоугольнике Р. ,() о к а з а гв е л ь с |п е о.
Точка непрерывности функции у(х) будет точкой непрерывности функции /(д(х)). Следовательно, точками разрыва у оу могут быть только точки разрыва функции у. И поэтому множество точек разрыва усу имеет лебегову меру нуль, как подмножество множества меры нуль (по критерию Лебега мера множества точек разрыва у(х) равна нулю).
Теорема 3 доказана. Определение 1. 1) Число 1 называется несобственным двой- ным интегралом первого рода от функции д(х,у) по неограни- ченной области Р, если для любой последователыюости областей Рл, являющихся ограниченными, открытыми, связными, измеримыми по Жордану, и удовлетворяющих следующим условиям: а) для любого натурального числа п имеем Р„С Р„+1 С Р (условие монотонности); б) 11 Р„= Р (условие исчерпывания),/пеи)1пе имеет место соот»=1 ношение 11п1 1„= 1, где 1„= Д д(х, у)Ыр, »-+с» .и. 2) Число 1 называется несобственным двойным интегралом второго рода от неограниченной функции д(х,у) по ограниченной измеримой по Жордану области Р со множеством особых точек 1 С Р (Р— замыкание Р), если для любой последовательности областей Р„, являющихся открытыми, связными, измеримыми по Жордаиу, и удовлетворяющих следующим условиям; а) для любого натурального числа и имеем Р„С Р„+1 С Р (условие монотонности); б) 0 Р„ = Р (условие исчерпывания); ч=1 в) А П Р„= И, имеет место соотношение 11пз 1„= 1, где »-лс» Последовательность (Р„) в определении несобственных интегралов первого н второго рода будем называть допустимыми (или Р допустимыми) .
Замечания. 1. Ясно, что для существования несобственного интеграла второго рода необходимо, чтобы р(1.) = О. 2. В обоих случаях несобственного интеграла первого н второго рода мы сохраняем стандартное обозначение 1 = Д д(х,у)др. п 3. Точно такое же определение несобственного кратного интеграла имеет место и в случае кратности, большей двух. Т е о р е м а 1.
Пусть д(х,д) > О. То1да для сходимости несобственного интеграла 1 = Д д(х,у)др необходимо и достаточно, чтобы числовое множество «1„= Од(х, у)Ир) было ограничено хотя и. бы для одной последовательности Р-допустимых миожеств Р„. /1 о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если интеграл 1 существует, то последовательность интегралов 1„сходится к 1. 589 Следовательно, последовательность (1„) ограничена. Необходимость доказана. ,11остаточность. Пусть (1„) ограничена. Тогда по теореме Вейерштрасса существует предел 1о = 11п1 1„, где 19 = вар 1„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
