Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Далее базу В будем обозначать символом Ьт -+ О. Совершенно аналогично определяем базу Ат -+ О для всех неразмеченных разбиений Ар. Итак, двойной интеграл есть предел по некоторой базе. А потому уже можно говорить о едимсо4векности двойного интеграла, применять теорему о переходе к пределу в неравенствах и так далее, получая отсюда различные утверждения о двойном интеграле типа его линейности, монотонности и другие. Позднее мы некоторые такие естественные свойства приведем. Отметим, что неразмеченное разбиение Т прямоугольника Р можно определить и как пару (Т„ Т,), состоящую нз неразмеченного разбиения Т,: ໠— — хе < х» « х = Ь| отрезка [амЬ~] на оси Ох н неразмеченного разбиения Тт . аз = уе < у~ < . < у„= Ьз отрезка [а»,Ь») на оси Оу.
Это разбиение Т получается проведением о»+ 1 вертикальных прямых х = х», Ь = О,...,тл и и+ 1 горизонтальных прямых у = уб ! = О,...,и. Снова заметим, что если у размеченного разбиения У отбросить разметку точками (ч»у,у»у) б Р»ь то, очевидно, возникает неразмеченное разбиение, которое будем обозначать символом Т = Т(У). Определение 7. Множество всех размеченных разбиений (У), которым отвечает одно и то же неразмеченное разбиение Тд, будем называть множеством разметок Те и обозначать символом Ар(Тд). Если У б Ар(Тд), то будем говорить, что У является разметкой Те или, что то же самое, Т(У) = Те.
1 2. СУММЫ ДАРБУ И ИХ СВОЙСТВА Переходим теперь к построению теории Дарбу для двойного интеграла Римана по прямоугольнику. Обозначим для некоторого неразмеченного разбиения Т прямоугольника Р через М» ~ и гл» ~ величины М» ~ = впр д(х,у),гя» ~ = Ы д(х,у). 1я,т1» р» з 1е, и! е р~ з акт Тогда верхней суммой Дарбу функции д(х,у), соответствующей (отвечающей) разбиению Т, называется сумма $(Т), где т $(Т) = ~~1 ~~ Мь 1ЬхьЬу1, 5=1 Щ1 а сумма и и о(Т) = ~~1 ~~ п45 1ЬхьЬу1 5=1 1=1 называется нижней суммой Дарбу. Омега-суммой Й(Т), отвечающей разбиению Т, назовем величину т и Й(Т) = $(Т) — о(Т) = ~~~ ~~ иь1ЬхьЬу1, 5=1 1=1 где ыь,1 = М5,1 — п15 1.
Определение 1. Число 1' = 1п1 $(Т) называется верхним ннТЕА~ тегралом Дарбу от функции д(х, у) по прямоугольнику Р, а число 1, = зир о(Т) — нижним интегралом Дарбу от функции д(х, у). ТЕАр Нам потребуются следующие свой"тва сумм Дарбу. Л е м м а 1, Для любого размеченного разбиения р' б Аг имеем з(Т(У)) < о( р') < $(Т(К)).
Л е м м а 2. Зафиксируем некоторое разбиение То б Ар. Будем иметь следующие соотношения 8(То) = 1п1 а ()'), $(То) = зпр а(г'). ~'ЕАр(ти) Ъ ЕА~ (То) Л е м м а 3. Для любых неразмеченных разбиений Т1 и Тт имеем о(Т1) < $(Тт) Л е м м а 4. Для ограниченной яа прямоугольнике Р функции верхний 1' и нижний 1, интегралы Дарбу существуют, причем для любого разбиения Т б Ар справедливы неравенства о(Т) < 1, < 1' < $(Т).
548 Л е м м а 5. Размеченное разбиение )т принадлежит окончанию бэ~ Е В' тогда и только тогда, когда Т(Ъ') Е 6ь ,11 о к а з а тз е л ь с п| в о лемм аналогично доказательству соответствующих утверждений в одномерном случае и не представляет большого труда. Стоит лишь сказать о лемме 3, поскольку там участвуют два разных разбиения. Здесь, как и в одномерном случае, введем понятие измельчения разбиении. Определение 2. Неразмеченное разбиение Тз называется измельчением разбиении Ты если разбиение Тэ получается нз Т1 добавлением конечного числа новых точек разбиения на осн Оя и по оси Оу. Говорят еще, что Тэ следуе4 за Т1 и пишут Тэ т Т, или Тт С Тэ. В частности, любое неразмеченное разбиение Т есть измельчение самого себя.
Далее, очевидно, что при измельчении разбиения Т нижняя сумма Дарбу э(Т) не может уменьшиться, а верхняя сумма Дарбу Б(Т) ие может увеличиться. Поэтому для доказательства утверждении леммы 3 надо иа каждой оси Оз и Оу взять разбиение Тз, объединяющее разбиения Тт и Тэ. Тогда получим (Т) < (Т.) < В(Та) < В(Т ) Отсюда имеем э(Т1) < Я(Тз), что и доказывает утверждение леммы 3. Отметим также, что утверждение леммы 4 по существу вытекает из леммы 3.
Действительно, если образуем числовое множество Мм состоящее изо всех значений величин в(Т), и множество Мэ значений величин Б(Т), то утверждение леммы 3 означает, что любой элемент а Е Мэ есть верхняя грань множества Мм а потому наименьшая верхняя грань множества Мм т.е. 1, не превосходит этого элемента о Е М|. Отсюда для любого числа а Е Мт имеем 1, < а.
Это значит, что 1, является нижней гранью множества Мь Но величина 1', по своему определению, есть точная нижняя грань множества Мэ, и потому для любого разбиения Т Е Аг имеем а(Т) < 1, < 1' < 5(Т). Лемма 4 доказана. Л е м м а 6. Дпя любого разбиения Т имеем О(Т) > 1' — 1..
Действительно, из леммы 4 получим О(Т) = Я(Т) — е(Т) > 1 — я(Т) > 1 — 1,. Лекпии 2 1 3. КРИТЕРИЙ РИМАНА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Т е о р е м а 1 (критерий Римана иятегрируемости функции ма прямоугольнике). Для того чтобы ограниченная функцяя у(х,у) была ннтегряруема на Р = (а!,6!) х [аз,бз), необходимо н достаточно, чтобы выполнялось одно из эквнвалеятных условяй: 1) 1цп й(Т) =О, аг -~о г) ).=)., 3) (пГй(Т) = О.
т Д о к а з а т е л ь с т е о. Докажем сначала эквивалентность условия иитегрируемости фуикпди условию 1. Необходимость. Пусть !пп н(У) = А Это значит, что для любого ау-+о е! > 0 найдется б! = б!(е!) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения У с условием Ао < б! имеем ~о(У) — 1~ < е!, т.е. !' — е! < о(У) < !'+е!. Рассмотрим произвольное неразмеченное разбиение Т с условием Ат < б!. Для него получим э(Т) = !п1 о(У), Я(Т) = зпр н(У). геле(т) иел 1т1 Тогда из (1) вытекает, что б е! < 8(Т) < ! +е!, ! е! < о(Т) < ! +е! ° Следовательно, значения з(Т) и $(Т) лежат иа одном отрезке (!'— е!,)+ е!) длины 2е!, т.е, имеет место неравенство й(Т) = Б(Т) — е(Т) < 2е! Если мы возьмем е! —— е/3, б(е) = б!(е!), то получим, что для любого е > 0 существует число б = б(е) > 0 такое, что при любом разбиении Т с условием ббт < б имеем й(Т) < е, т.е, справедливо соотношение 1пп й(Т) = О.
Необходимость доказана. ат-!о Достаточность. Надо доказать, что из условия 1пп й(Т) = 0 ат-~о следует существование предела 1пп о(У). а| -~0 Сначала убедимся, что 1, = Г. Из леммы 6 для любого разбиения Т б Ар имеем О < 1. - 1' < й(Т), и, следовательно, Ь = 1, — 1* -+ О при Езт -+ О. В силу того, что Ь вЂ” постоянное число, то Ь = О и 1 = 1' = 1. Осталось доказать, что т(У) -+ 1 при Ьг †) О. Возьмем произвольное положительное число ео, Из условия существования предела !пп й(Т) найдется число д~ — — 6~(о~) > О такое, что для всех разбив;~о ений Т, Е)г < бы выполняется неравенство й(Т) < ог. Но тогда для любой разметки У этого разбиения будем иметь о(Т(У)) < и(У) < Я(Т(У)), о(Т(У)) < 1.
= 1 = 1* < Б(Т(У)),. Я(Т(У)) — о(Т(У)) = й(Т) < о, т.е, обе точки и(У) и 1 лежат на отрезке [о(Т(У)),5(Т(У))], длина которого не превосходит оо. Это значит, что расстояние между этими точками тоже не превосходит оы поэтому для любого размеченного разбиения У с условием Еаг < 6~ имеем ~е(У)-Е) < оо. Следовательно, !пп и(У) = 1. Достаточность доказана. а;-оо Итак, условие 1 теоремы 1 эквивалентно условию интегрируемости функции по Риману. Докажем теперь эквивалентность условий 1, 2 и 3.
Для этого убедимся в справедливости цепочки утверждений: 1) =::г 2) ==Ф 3) =-Ф 1). а) о) в) а) Нам надо доказать, что если !пп й(Т) = О, то !. = Г. Но этот аг-оо факт уже установлен при доказательстве достаточности условия 1. б) Сначала докажем, что )пЕ й(Т) = Ь = 1' — 1,. Т Число Ь = 1' — 1, — нижняя грань й(Т), поскольку из леммы б имеем й(Т) > à — 1, = Ь. Докажем, что Ь вЂ” точная нижняя грань множества (й(Т)). Для этого возьмем произвольное о > О. Тогда в силу определения сумм Дарбу будем иметь, что существуют разбиения То и То такие, что Б(Т~) < 1 + —, о(То) > 1* — —. 2' 2 Возьмем разбиение Тз = Т1 Отт.
Получим о(тз) < Б(Т1) < 1*+ —, а(тз) > е(тз) > 1* — —. 2' 2 Отсюда следует, что а(т) < Р— Г. + = Ь+ е, т.е. Ь =!пГЙ(т). т Таким образом, из доказаниого и условия 2 имеем !пГП(т) = Р— 1 = О. т Тем самым утверждеиие б) доказана. в) Нам надо доказать, что если )п1 П(т) = О, то )ппй(Т) = О. т ' аг Имеем, что для любого е > О существует разбиение Т| такое, что П(т~) < с~2.
Разбиению Т1 соответствует пара разбиений (Т1 (х), Т1(у)) по осям Ох и Оу. Количество точек разбиений Т1 (х),Т1(у) обозначим через е. Далее, поскольку у(х, у) ограничена на Р, существует М > О такое, что (у(х,у)( < М для всех (х,у) Е Р. Обозначим через И длину наибольшей стороны прямоугольника Р. Положирю б = -+~. чч Возьмем теперь любое разбиение Т = (Т(х), Т(у)) с условием Ьт с б. Тогда для разбиения тт — — ТОТ1 имеем а(т) с П(т) < посколькУ тт есть измельчеиие РазбиеииЯ Ты т.е. Тт Э Ть Перейдем к оценке сверху величины П(т). Имеем П(т) = П(тт) + о(т, Т1 ). Здесь о(Т,тг) = а(Т,тт) > О, поскольку тт Э Ть Кроме того, о(Т,Т1) = г ~ ~(ыь~ЬхьЬр — мьгЬхьЬу~ — — ыь~Ьхь Ьу~ ) < ОО (~) ОО (ь,й < ~ ~у ыыЬхьЬуп Оьй причем символ ~',~', обозначает, что суммирование ведется по тем раб парам (х,!), для которых прямоугольник Рю~ разбиения Т разлагается на меньшие прямоугольники с индексами ',...,!'! посредством разбиения Т, (или Тг).
Другими словами, пара (к,() такова, что внутри отрезков А„или А~ лежит по крайней мере одна точка разбиения Т~(х) или разбиения Т~(у), Достаточно оценить сверху величину о(Т,Т~). Будем считать, что символ 2 2 означает, что суммирование ведется по тем парам (Й,1), 1ь1 ! для которых внутри отрезка Ье находится по крайней мере одна точка разбиения Т~(е), а переменная 1 принимает все возможные значения, определяемые разбиением Т.
Аналогично определяется символ 2'2". При проведении оценки воспользуемся следующими неравенр) " ствами ыеу<2М, Ьяь<6, ЬИ <о, ~ 2хе<д, ~~~ Ау~ <Н. Тогда будем иметь о(Т,Т~) < ~~~ ~~~ и>ь~ЬхеЬ1а < 1еу) < ~~' ~~~ мауАхаЬу~ + ~~~ ~~~ мь ~ЬееЬ1Х < 1е) а р) 2М4 ~~~ ~ А1Е + ~ ~~~ Ае„< < 2МИ ~~~ 1+~ ~1 < 2МЫ1 < —, 1ь) 11) Следовательно, 11(Т) = П(Те) + а(Т, Т, ) < — + — = е, 2 2 Утверждение в) доказано, и тем самым теорема 1 доказана полностью. ~ 4.
СПЕЦИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Рассмотрим последовательность разбиений Т„прямоугольника Р, отвечающую разбиениям каждого из отрезков [а~,б~], (амЬ|], на и равных частей, т.е. разбиение Т„будет состоять из пе равных между собой прямоугольников. Соответствующие разбиению Т„верхнюю и нижнюю суммы Дарбу обозначим через У„и а„, а омега-сумму— через П„. 553 Т е о р е м а 1. Для нптегряруемостя ограниченной фуякцпк на прямоугольнике необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие !пп йи = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
