Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Если величина ( увеличивается на 2я, то и величина и увеличивается на 2я, Позтому совпи,в(ппи являготся 2в-периодическими функциями от (, т.е. сов (пи((+ 2в )) = сов (пи(()). Ранее было доказано, что и(() — гладкая функция. Следовательно, ряды Фурье функций совпи(() и в(ппи(() по признаку Липшица сходятся. В силу нечетности функции и(() будем иметь ао сов пи = — + а1 сов ( + аг сов 2(+ .. 2 шипи = Ь| в(п(+ Ьгв1п 2(+ .. 2 Г 2 Г а = — ~ совписови(~К, Ь„= — / в1пиив1пи(И(. о о Теперь вычислим коэффициенты Фурье зтих функций. Имеем я я 2 Г 2 Г ао = — ~ сов пиЫ( = — / сов пи(1 — в сов и) Ии. о о Здесь мы воспользовались тем, что (= и — вв1пи, И(= (1 — всови)Ии.
Таким образом, — в, если и=1, ао = О, если п>1. При и > 1 получим 2 а„= — ( совписовиЩ = о 2 . " 2п Г. = — совпав(пи( — — / в1ппив(пи(о1и = яи с=о о 2п Г = — / (сов(пи — и() — сов(пи+ и())Ии = яи! о вгг 2п 2п = — / соэ ((и — и) и + ис в1п и) 7гп — — / соа ((и + и) и — ис а1п и) г~п = хи,/ 7П / 2п = — (l~ „(ие) — .~и+„(ие)), и где 1 ,/~,.
(*) = — ~ сов (я а1п 1и — )с~7) Нф. о Аналогично находятся коэффициенты (7„, имеем 2 Р.. 2п би = — / в1пппа1пибг~~ = — / соаписоаи1",71п ли / 2п = — (l„„(ис) +,7„+„(ис)) . и Следовательно, ч — ~ соэ и7, СОЗ П = — — + 2 ~ (./и 1(ис) — 7и+1(ис)) 2 и=1 сбп и~ э1п и =,2 ~~~ (У„1(ие) +./„+1(ие)) —. и и=1 Значение угла п,О < и < 2я, однозначно определяется по его синусу и косинусу. Поэтому указанные разложения этих функ1шй решают задачу об определении движения двух планет. Они были найдены В. Бесселем. Эти ряды сходятся при всех значениях 7, и любом значении эксцентриситета эллипса е, До Бесселя задача двух тел решалась Лапласом с помощью разложения в степенные ряды по малому параметру с, сходимость которых была доказана при е < 0,66274....
Заметим, что функции (ь(х) называются функциями Бесселя. П:Ьеан 1и аяиевч сюи1 юапцп Лекция 28 .1 1О. ЯДРО ФЕЙЕРА И АППРОКСИМАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА Наряду с тригонометрическими многочленами Фурье, которыми, согласно определению, являются частичные суммы ряда Фурье, большую роль в теории тригонометрических рядов играют многочлены Фейера. В качестве примера использования свойств этих многочленов докюкем теорему Вейерштрасса о равномерном приблн!кении функции, непрерывной на отрезке, последовательностью тригонометрических и алгебраических многочленов. Определение 1.
Тригонометрическим многочленом Фейера поряд»а и для функция у(х) называется функция Р«(х) вида 1 «-! Р«(х) = ~ ут(х) м«о где у„,(х) — многочлен Фурье порядка и для функции у(х), т.е, частичная сумма ряда Фурье вида ао д~(х) = — + ~~ (а» сов lсх+ 6» в!пих), 2 »=! причем числа а» и 6» прн все!г lс = О, 1,, тп являются коэффициен- тами Эйлера — Фурье функции у(х).
Из'определения, очевидно, имеем ао / »1 Р«(х) = — + ~«( 1 — -) (ар, сових+ Ь» в!и!1х), Используя интегральное представление для у„,(х), приходим к равен- ству где 1 ~ в1п(п»+ 1/2)у 2!гн ~' вш у/2 Определение 2. Функция г»(у), определеннан последним равенством, называется ядром Фейера порядка,п. Установим некоторые свойства функции Р»(х). Справедливы следующие утверждения. Л е м м а 1. Прн и > 1 справедливо равенство щ "х/2 Отсюда, в частности, следует, что Р„(х) > 0 при всех х.
Д а к а з а т е л ь с т е о, Суммируя по гп, с помошью известных тригонометрических формул получим 1 ~ в1п (т+ 1/2)х вгп*» ~ в)п ~т+ -/1 ха(п — = 2лп (в1п х/2) . (~ 2( 2 1 ~~- совтх — сов(т+1)х 21гп (в)п х/2) 2 1 в!и пх/2 1 — сов пх 2лп,2(а;па) 2лп в1пх/2 Лемма 1 доказана. Л е м м а 2. При е > 1 имеем /„= / г„(х)г1х = 2 /' Р„(х)йх = 1. о Д о к а з а т е л ь с т е о. Так как при всех гп справедливо равенство 1У (х)Их = 1, то 1» = г ~" 1 = 1. Лемма 2 доказана. 1»ее 515 и' Л е м м а 3.
Для любой функции у(х) б И'м справедлива формула Р„(х) — у(х) = (у(х + у) — д(х))Р„(у)г(у. Это утверждение прямо следует из леммы 2.и из формулы интегрального представления для Р„(х). Т е о р е м а 1 (теорема Фейера). Если функция у(х) непрерывна на отрезке 1 = [ — я,я] и у( — л) = у(л), то последовательность ее многочленов Фейера Р„(х) сходится и д(х) равномерно на Г, Д о к а з а гв е л ь с нг е о. Функцию д(х), как 2л-периодическую, продолжим на всю вещественную ось.
Она будет непрерывна на й, следовательно, и равномерно непрерывна на Е Это значит, что при любом б > 0 найдется число б = б(б) > 0 такое, что при всех у с условием [у] < б и всех х б! выполнено неравенство ]у(х+ у) — у(х) [ < е/2. Кроме того, ввиду ограниченности у(х) на отрезке 1 при некотором С > 0 и всех х и у б У имеем [у(я+ у) — д(х)[ < С. Но тогда справедливы оценки [д(х) -Р.(х)] < Р-(у)]д(х+д)-у(х)Му < б ю ю к < Р«(д)-1у+2~ Р (у)С1у< — б( Р (у)ду+ — б(, 1у< е г е / С / (в)ппу/2) -б б -а б е С 1 < — + —, <е, — 2 и (апб/2) если только и > па(е) = -(-,ф — т.
Но это и означает, что Р„(х) =$у(х). В силу 2л-периоднчности Р„(х) г и у(х) отсюда при п -б оо также имеем Р„(х) ~у(х). я Теорема 1 доказана. Из этой теоремы немедленно вытекает справедливость следующей аппроксимационной теоремы Вейерштрасса для алгебраических многочленов. 516 Т е о р е м а 2. Пусть функция д(х) непрерывна на отрезке 1о — — [О, л]. Тогда существует последовательность алгебраических многочленов ф,(х), равномерно сходящаяся к д(х) на этом отрезке.
,11 о к а з о н0 е л ь с т е о. Доопределим четным образом функцию д(х) на отрезке [ — к, О] и затем периодически продолжим ее на всю числовую ось 2 с периодом 2к. Тогда функция д(х) будет удовлетворять условиям теоремы 1. Поэтому при е = 1 найдется номер гп, для которого многочлен Фейера Р (х) приближает д(х) с точностью до е/2.
Но сам многочлен Р (х) можно разложить в ряд Тейлора, который сходится равномерно на 1о — — [О, к] к д(х). Теперь в качестве Я„(х) возьмем многочлен Тейлора, приближающий Р (х) с точностью до е/2. Тогда всюду на 1о многочлен Яа(х) будет приближать д(х) с точностью до е. Обратим внимание на то обстоятельство„что степень многочлена Я„(х) вовсе не обязательно будет равна номеру н, но этого нам и не требуется. Итак, при всех х б 1о имеет место неравенство Отсюда следует, что О„(х) эд(х) при и -+ со. 10 Теорема 2 доказана. 1 11.
ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ Используя свойства ядра Фейера, вычислим значение интеграла Дирихле. Очевидно, имеем 00 1 = — ° 01х = — о1п хо1 г +' а1п х / 2а(п хссах 1 э(их +! 0(х = — 0(х. х о х х о о Далее, делая замену переменной интегрирования х = А1у, Л ) О, получим 1 = — 1(х = — 01х = о о 517 Имеем яп к(х — п) ув(х) = 1 с к ') 7г 1 „Г,япк1()Г+1/2)! лз 76 й= ) 2 / в!п ГГ1/2 и=-й -1 1 в!п к$ ()Г + 1/2) СО6 7Г1Х -1 Так как имеет место соотношение 1 / =)1. ~ 2, если а=О, 6.),п,Д ~ ).О, если н~О, пЕ К, — 1 то 1 в в!п ГГГ (х + 1/2) /' ~, — и -! -1 Отсюда получим в!п ГГГ (77 + 1/2) — у~(~) — — ( — 2*) — 1 2 7Г1Х 6!п ГГГ (77 + 1/2) 2 в1п (кй/2) = /-' —- -1 1 ,/ 2 1, 2 = 2л яп — с!и ™ 6!п (к)71) + сов (к!71) Й = 2 к1х ~гй 2 Гг"Х7 = 2666(6!п — с!~ — ) + 27гав(яп — ). 2 . 2 Следовательно, при 17 -+ оо имеем к-ув(х) -+ О, т.е.
при х ф К получим (-1)" — !пп ВШ Кх 6-77 '" Х вЂ” и 1 |~и~ = — Г Е 2 .7' -! к !777!6-77),11 2/ 6=-77 или, в другой форме записи, 1 у ( — 1)" '2х яп ггх х п2 — х »«! Формула 1 доказана. Заметим, в частности, что при х = -' получаем следующее выражение для числа л: ( 1)«-1 л =2+4~ «=1 Докажем теперь формулу 2. Для зтого рассмотрим функцию з1п 27гх к /л(х) = =Е. „ ««-Й Найдем интегральное представление суммы /л(х).
Имеем 1.1*1= 2 ""'*= Е./' "о'-"'Ю= х — и »«-л »«-в 1 / -! (=-)=/" —: / Г е-2мм 2«н1о+1) 2«н« '~ -2»и«2 2«ие 11 -1 »«-л -1 1 — гг е «1» - l"". 2»п згпл1(2/о+1) Г, згпх1(2/1+1) гг! = 2л / сов 2лтх яп хг ап кг -1 о 1/2 1 яп хг(2/г + 1) / в!ах!(2/г+ 1) 21г соз 2гггх г/2 + 2гг 1 соз 2 х1Х Й= ' в!пи! / вгп хг о 1/2 1/2 яп кг(2/г+ 1) = 2х сов 2хгх Й+ ап х/ о о яп хи(2х+ 1) +22' соз 2вх(и + 1) .
1(и. яп ви -1/2 Вап Кроме того, 112 112 ) / к яплв(2/с+1) 'Г l л 2„11„) яп лт -1/2 лж-к Аналогично выводу формулы 1 получим, что функция ук(х) — гг(1+ сов2лх) выражается в виде линейной комбинации коэффициентов Фурье Ьк(яп лМхс1йлМ), Ьк(яп лап ап лх(и + 2) с1к ли), Ьк(ап лхи ап лх(и — 2) с1л ли) и коэффициентов ак от тех же функций, но не содержащих множителей секет и с$к ли. Эти коэффициенты стремятся к нулю с возрастанием их номеров к бесконечности. Следовательно, 1к(х) . ~ 1 гг(1 + сгж 21гх) 1пп, = 1пп 5 = лс1клх. к-«яп 2ггх к~се х — и вгп 21гх и=-к Формула 2 доказана. Лекция 29 1 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Пусть /(х) является периодической функцией с периодом 2я1 и разлагается в сходящийся ряд Фурье. Тогда имеем /(х) = ~ сье 1 где 1 Г сь = — ( 1(1)е 1 !11.
2я! ./ — л! Обозначим через уь величину !!/1, и пусть д!(уь) = /(1)е !""Й. Тогда функция /(х) представляется в следующем виде: Последняя сумма представляет собой формальную бесконечную ин- тегральную сумму Рима!га с шагом !аь = 1/1 для интеграла Р!(х) Ы вЂ” д!(у)е'*"!1у, 2я д где д!(у) = ~ /(!)е !"~!!Ь Если в интеграле Р!(х) формально перейти к пределу при 1-+ оо, то получится повторный несобственный интеграл вида Определение 1. 'Функция Р'(х) называется интегралом Фурье или интегральной формулой Фурье. Если строго регулярная функция (/(х)) интегрируема по Риману (в несобственном смысле) на всей числовой оси, то интеграл д~(у) сходится равномерно на ( — оо, +оо) по признаку Вейерштрасса и можно доказать возможность предельного перехода при 1 — 5+со.
Исходя из этого дадим следуюшее определение. Определение 2. Функция д(у) = / /(1)е '" с!1 называется преобразованием Фурье функции /(х), причем интеграл д(у) .понимается в смысле главного значения по Коши. Функцию же Р'(х) называют обратным преобразованием Фурье функции д(х). Заметим, что,.как правило, имеет место равенство Е(х) = /(х). Кроме того, следует сказать, что часто вместо "весовых" коэффициентов 1 и 1/(2т) в функциях прямого и обратного преобразований Фурье берут коэффициент 1/ч/2л. Ясно, что от этого вид интеграла Фурье не меняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
