Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Д о к а з а нь е л ь с гп е о. К сумме о' мы применим формулу суммирования Эйлера. Получим ь ь Я = ~ у(х)йх — ~ р(х)у (х)бх. а а По теореме 1 имеем р(х) = вн(х) + ни(х). Следовательно, ь ь о = ~йхУх — ~ вн(х)у (хая+ Вн, а ч ь где Вн = — ) нн(х)У (х)Их.
Интегрируя по частям и учитывая, что а ви(а) = ви(6) = О, получим ь ь у(х)с(х — / вн(х)~ (х)Их = в а ь ь = / Дх)Ых — 1(х)вц(х)(", + з~ в~и(х)Дх)Ых = а а ь у ю =)д)ьг.',)я)(В 2аг — !)ьг= а а ьж-м 477 ь 2~ у1х) сов 2я/гхг/х. в=-/в . Осталось оценить остаток Кн. Применяя теорему 1 и учитывая, что )У (х)) < М, получим оценку < 4М г/х Ь нн!х)у'!х)ах 1Вн! < Подынтегральная функция в последнем интеграле периодична с пе- риодом 1 и четна, поэтому имеем 2/2 1/вг 1/2 1я /<<в(г- )~ * <<яв-» ./ <*.../ 1<№ 2Ух в г//в /' 1 1п У/2'! 8М(/г — а)!и У \,А/ 2Ж / ' Аг Теорема 3 доказана.
Изящное приложение формулы суммирования Пуассона дал Дирихле, Он нашел точное значение сумм Гаусса вида Ю 2кп2 /в 2яп2 сов —, ~ вш Ж ' /г/ »ац »=1 Т е о р е м а 4. При натуральном /Г/ справедлива следующая формула: С! </) Ч, < 2»Л»в/и /у 1+ 4-' ,// о к а в а»г е л ь с ги в о. Сначала напомним формулу Эйлера: е' = сов ф+ гв1п гв, втв Упомянем еше об одном красивом применении формулы Пуассона, данном в 1903 г. Г.
Ф. Вороным, к задаче о нахождении асимптотического выраженяя для количества целых точек под гиперболой !эта задача носит название "проблема делителей Дирихле»). Остановимся на вычислении значений сумм Гаусса. Отметим, что Гаусс в своих "Арифметических исследованиях" предложил несколько рваных способов их вычисления, но мы будем основываться на методе Днрихле. С(У) = ~~ 1(т) + В, где и+о,ь 1(гн) = ~ е 1~ ~4(я,В=О ~ — ) .
1 2м( +тя) lУ!не 1 ) о,ь Преобразуем интеграл 1(тп). Имеем и+о,ь 2 1(1 +о,ъти1*1и- 'и14) 1 и(о,ь +11+9,ь э е2«11)т,(у э =е -2«ьа — и о,ь и+о,ь Суммируя величины 1(т) отдельно по четным числам т (тп = 21) и отдельно по нечетным числам пь (гп = 21 — 1), получим и11+ц+о,ь и11+о,21+о,ь Я г б!(»1) ж ~~ / 42«1%.«1у+ ~ е- г / е «в'Ь.,1у+ д— И1+О,Ь и11-о,21+о,ь и(»+о,ь>+о,ь и<»+1>+о,ь — / 42«1)т11у+ 1 и / еь«1)г1(у+ 12 = - и»+о,ь -и1»-о,21+о,ь = ь/1«' (1+.1 и) ~ е2"" 412+ О (1«' 1 ") + 14, так как при ~а~ < АУ имеет место неравенство 42«1«,1 г й-1/2 «1-1/4 »~/и+а 4Т9 где р — действительное число.
'Записывая формулу суммирования Пуассона в комплексной форме, мы при й -+ со получим Переходя к пределу при /е -+ со в последней формуле для С(М), получим а(А!) = ч/Р(1+ ' ) ~ е " 4г. В частности, при Ф = 1 имеем С(1) = (1+1 ) о~ е ем ах. Следовательно, Теорема 4 доказана. Далее нам потребуется выражение характеристической функции 1о(х) = 1ог(х) промежутка I = [а, 6], где 0 < а < 6 < 1, через функцию ро(г). Определение 4.
Функция ~р(х) = 1ог(х), заданная па отрезке [О, 1], 1, если а <х< 6, 1о(х) = 1/2, если х = а или х = Ь, О, если х<а или х>6, называется характеристической функцией промежутка 1. Л е м м а 3. При х Е [0,1] справедливо равенство !от(х) = (Ь вЂ” а) + ро(х — а) — ро(х — 6). Д о к а з а гп е л ь с гп е о.
Обозначим через у(х) правую часть доказывйемого равенства. Очевидно, при всех х ф а или 6 имеем ~'(х) = р~о(х — а) — ро(х — 6) = — 1+ 1 = О. Следовательно, у (х) — кусочно-постоянная функция, как и функция ~рт(х). При атом точки их разрыва совпадают. Кроме того, 1 1 у(а) = Ь вЂ” а+ ро(0) — ро(а — Ь) = Ь вЂ” а+ ро(Ь вЂ” а) = Ь вЂ” а+ — — (6 — а) = —.
2 2 Аналогично проверяется равенство ~(6) = т~. Имеем также — = Ь вЂ” а+ Ро — Ро — = 6 — а+ 2ро Ь вЂ” а /а+ 61 = 6 — а+ 1 — 2 — = ! = !ог ~ — ) . 2 [, 2 ) В точке х = а обе функции имеют скачок, равный +1, а в точке 6 зтог скачок равен — 1. Это значит, что обе функции совпадают во всех точках отрезка [0,1]. Лемма 3 доказана. Из леммы 3 и теоремы 1 непосредственно вытекает справедливость следующей леммы.
480 Л е м м а 4. Прв всех и > 1 имеет место формула уии (х) = (б — а) + х„(х — а) — х„(х — Б) + Е„(х), где (Е„(х)/ < Аналогичное утверждение имеет место и для любой кусочно- постоянной функции, периодической с периодом единица и равной полусумме своих предельных значений слева и справа в точках разрыва. !Ь Лиииии ии иаиииити иски Ч иииииии Лекция 24 ~ 2, НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ. ЗАМКНУТОСТЬ И ПОЛНОТА ОРТОНОРМИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ Начнем рассмотрение со следующего определеиия.
предложенного Лебегом, Определение 1. Точка хо называется регулярной точкой функция 1(х), если существуют ее левый и правый пределы при х, стремящемся к хо, а ее звачеяие 1(хо) в этой точке равпо ях полу- сумме. В этом случае говорят, что фуякцяя 1(х) регулярна в точке к=хо.
Очевидно, что каждая точка непрерывности данной функции является ее регулярной точкой. Определение 2. Функция 1(х), регулярная в каждой точке промежутка 1, вазывается регулярной на этом промежутке. Определение 3. Периодическая фуякцяя, имеющая кокечпое число точек разрыва на каждом отрезке веществеяной прямой и регуляриая в этих точках, называется строго регулярной функвзгей. Определение 4. Если периодическую функцию у(х) можво представить в виде у(х) = ~ ~ЯМ + у(а), а где 1($) — строго регулярная фуякция, то фуккцяя у(х) называется строго кусочно-гладтсой функпией.
Эти определения мы будем использовать при изучеиии тригонометрических рядов Фурье. Множество И' = И) всех строго регулярных функций, имеющих один и тот же период ( > О, образует линейное пространство. Справедливость этого утверждения легко проверяется. Для каждой пары фуикций 1(х) и у(х) из этого множества И' зададим функционал Т(),у) по формуле ТЦ, у) = х 1(х)у(х)Их. о Здесь м > Π— произвольное фиксированное число, которое назовем весовым коэффипнентом. оа2 Перечислим ряд свойств, которыми обладает функционал ТЦ,д).
1о. Симметричность, т.е. Т(у,д) = Т(д, у). 2о. Билинейность, т.е. при любых а и й Е й и б,д, Л Е И' ТЦ,ад+ йЛ) = аТ(у,д) + рТЦ,Л). Зо. Положительная определенность, т.ес а) Т(1, у) > 0 при всех у Е И', б) ТЦ,У) > О, если только у(х) отлична от нуля хотя бы в одной точке. Последнее неравенство следует из того, что если у(хо) = до ф О, то либо левый предел 1б, либо правый предел !о этой функции в точке хо отличен от нуля, и тогда при некоторых е > 0 я б > 0 для всех точек левой или правой б-полуокрестности точки хо справедливо неравенство )1(х)~ > е, Следовательно, ТЦ,~) = м / ~о(х)4х > мбео > О, о что и означает справедливость утверждения 36).
Другими словами, билинейный функционал Т = Тб „, заданный на декартовом произведении и = И' х И~, можно рассматривать как скачярное произведение, определенное на пространстве И'. Поэтому вместо символа ТЦ,д) можно писать просто (У,д). Определение 5. Функциональная последовательность б'„(х) б И~ называется ортогональной системой функпий, если пря всех гп ф я имеем (Д„,~,,) = О, т.е. у и у„ортогояальяы между собой.
Если пря этом для всех и Е Х выполнено условие ~бб(Д„,~„) = 1, то эта последовательность называется ортояормярованиой системой функций Напомним, что величина Я, у) = 'Оп называется нормой функции У(х) относительно введенного нами скалярного произведения.
Заметим, что одновременно это число является нормой функции у(х) в пространстве Ьо всех функций, заданных на отрезке (0,1), квадрат которых интегрируем по Лебегу на этом отрезке. Известно, что функциональное пространство ьо удовлетворяет аксиомам гильбертова пространства. Однако ввиду того, что понятие интегрируемости по Лебегу осталось за пределами нашего курса, этого вопроса далее мы касаться не будем. Итак, ортонормированная система функций — это такая функци.ональная последовательность Д(х) Е И~, все члены которой взаимно ортогональны и норма каждого члена равна единвце.
Определение 6. Число с„= с„(д) = (Д,д) называется коэффициентом Фурье функции д(х) Е И~ по ортонормнрованной системе функций Р = (Д„). Функциональный ряд 1 с„у'„(х) называется в=1 ридом Фурье функции д(х) по ортонормированной системе функций Р. Введенное понятие и есть общее определение ряда Фурье по ортонормированной системе функций. Конечно, коэффициенты Фурье с„ можно вычислить и для функций д(х), не обязательно входящих в Иг. Например, для интегрируемых на 1 = [0,1] в собственном или даже в несобственном смысле, если ! только все интегралы ) Д(х)д(х)ах существуют.
И в этом случае о ряд 2',с„у„(х) можно было бы назвать рядом Фурье функции д(х) по системе Р. Однако такой подход будет вполне оправданным лишь в том случае, когда функция д(х) принадлежит области определения введенного нами ранее скалярного произведения. В частности, это означает, что для этой функции существует ее скалярный квадрат (д,д) = х ) д~(х)ах, Именно это условие мы положим в основу опрео деления общего понятия ряда Фурье по ортонормированной системе функций Р. Определение 7. Пусть функция д(х) удовлетворяет условию (д,д) = х / д (х)дх < +со. о Тогда функциональный ряд 1 с„У„(х), где 7„(х) Е Р и с„= (д,~„), называется "стандартным" рядом Фурье по ортонормированной системе Р = (~„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
