Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Докажем еще две теоремы о несобственных повторных интегралах, которые потребуются нам в дальнейшем. Т е о р е м а 5. Пусть ~(х,у) задана и непрерывна на Р = К х У, где Х = [а,+ос), У = (ь,+со) и э(х,у) > О на Р. Пусть при всех у Е У интеграл ~ э (х, у)(сх скодится к функции й(у), непрерывной на а У, и при всех х Е Х интеграл ) Т(х, у)с(у сходится и функции И(х), О непрерывной на Х. 'Тогда если сходится интеграл 1) — — ) й(у)с(у, то сходится я интеграл ь 1э —— )' сс(х)ох, и наоборот, причем 1с — — 1з, те.
О 00 ОО 00 00 / Иу Дх, у)(сх = (сх Т(х, у)Иу. Ь а О ,7 о к а э а пс е л ь с сп в о, Будем считать, что существует 1с, так как второй случай рассматривается аналогично. Рассмотрим произвольную монотонную числовую последовательность 4, подчиненную требованиям 4 > а н 4 -4+ос, и натуральные числа и > 6. Символом 1 „обозначим повторный интеграл вьща С О вЂ” С' С(* У) У- а Ь Положим еще У (У)=/С(*,У)У* "-(*)=)С(*У)УУ. По теореме об ннтегрируемостн собственного параметрического инте- грала имеем О С О У,=) УУ) С(*,У)У*=~У (У)УУ Ь а ь Далее, так как Дх,у) > О, то О < й (у) < у(у).
Повтому справедливо неравенство и ОО ~,„< ~ й(у) йу < ~ й(у) йу = ~с. ь ь 453 С другой стороны, При этом Ь„(х) > О и при каждом фиксированном х эта последовательность является неубываюшей; кроме того, она составлена из непрерывных функций и ее предел, т.е. функция Ь(х), также непрерывен. Следовательно, по теореме Дини при и -+ со имеем Ь„(х) =~ Ь(х). (ас ) Поэтому, переходя к пределу при н -с со в неравенстве 1 „< 1с, получим соотношение 1(сн) = Ь(х) сЬ< 1,, а Но так как Ь(х) > О, то с ростом пс последовательность 1(пс) монотонно возрастает и ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса величина 1(пс) ямеет предел 1, причем ! < 1с. Ввиду произвольности выбора последовательностя г отсюда вытекаег, что ( одновременно является пределом величяны с са (пп Ь(х) Их = Ь(х) ссх = 1з.
с-+аа 1 Таким образом, 1т существует и 1з =! < 1с. Но тогда, меняя в проведенных выше рассуждениях величины 1с и 1г местами, одновременно получим неравенство 1с < 1ю Следовательно, 1с — — 1з. Теорема 5 доказана полностью. Приведем еше некоторое обобщение предыдущей теоремы. С а с 1 „= с(х 1(х, у) Ыу = Ь„(х) Их. а Ь а Но тогда при п -+ со выполнены равенства с( ~= а с,.= с )с.Э)с*=) (с с„ь)) с*= а а с Ь(х) сЬ.
а Т е о р е м а 6. Пусть функция у(х,у) удовлетворяет условиям теоремы 5, кроме' условия Дх,у) > 0; но функция г'(х, у) > ~Дх, у)~ удовлетворяет всем ее условиям. Тогда утверждение теоремы 5 имеет место не только для фуякции Р'(х,у), яо и для фуякцяи Т(х,у). Я о и а з а ш е л ь с и! е о. Заметим, что функции г (х, у) + у(х, у) г (х, у) — у(х, у) Мх у)= 2 и ссз(х,у) = 2 удовлетворяют условиям теоремы 6, но тогда ср! (х, у) — у!з (х у) = ! (х у) тоже ей удовлетворяет, Теорема 6 доказана.
Заметим, что, вообще говоря, условия теорем 6 и 6 являются избыточными. Далее будет доказано значительно более общее утверждение, а для наших ближайших целей этих теорем вполне достаточно. В заключение приведем пример, указанный Коши, в котором при перемене порядка интегрирования получаются различные значения повторных интегралов. Это связано с тем, что подынтегральная функция (хз+у!)! дх (, к!+уз/ ду с!я!+уз имеет разрыв в точке (0,0), в частности, при подходе к этой точке по прямым у = lсх.
При )/с~ > 1 имеем 1пп у(х, ссх) а +со, а при )Ц ( 1 к-+О имеем 1пп у(х, кх) = — оо. ~-+О Но для двух повторных интегралов от этой функции справедливы равенства ! ! с(у Т(х, у)с(~ =— о о ! 1 ! с(х у(х,у) у = о о о Отметим, что данный пример относится к несобственным интегралам второго рода, которые будут рассмотрены в следующем параграфе. Лекция 20 з 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА Здесь мы сформулируем основные понятия элементарной теории несобственных параметрических интегралов второго рода и приведем формулировки некоторых утверждений, соответствующих доказанным нами теоремам об интегралах первого рода.
Рассмотрим множество Р = Х х У, где Х = (а,6], У С К. Пусть функция У(х,у) задана на Р и не ограничена как функция от * хотя бы при одном фиксированном у б У. Далее, пусть при любых у б У и д > О,б б (0,6 — а) функция У(х,у) интегрируема по Риману на отрезке [а+ б,6] как функция от х. Определение 8ь Введенное выше формальное выражение вида ь ) У(х, у)пх называется несобственным параметрическим ннтеграа лом второго рода с одной особой точкой х = а. Определение 2.
Если при любом фиксированном значении у б б У этот иятеграл сходится, то множество У называется областью ь сходимости интеграла и его значения у(у) = ) У(х, у)пх порождают О функцию, определенную на множестве У. Подобные определения имеют место и в случае, когда особая точка находится на правом конце промежутка интегрирования Х = [а,6], т,е. в точке 6. В случае когда особая точка х = хо лежит внутри отрезка Х, его можно разбить на две части этой точкой хо и рассматривать каждую часть отрезка отдельно. Аналогичные рассуждения позволяют рассматривать несобственные интегралы с переменной особой точкой хо = хо(у), но здесь мы входить в детали ие будем. 1 Пример.
Интеграл 1 = ] —,йь сходится на У = [О, 1] и его можно о ~~~* И вычислить. Действительно, имеем У пх У ах У(У) = з1(У) + Уо(У) = ~ — + ~ = 2чуу + 2~/à — у. Определение 3. Несобственный интеграл второго рода ь д(у) = / У(х уИ О называется равномерно сходишимси по у на множестве У, если дли функции ь д(б,у) = / Дх,у)ах Б-+О+ а+б выполнено условие д(А у) ~ д(О, у) = д(у) Исходя из общей формулировки критерия Коши можно сформулировать его для равномерной сходимости несобственного параметрического интеграла второго рода.
Но мы ограничимся формулировкой одной сводной теоремы, содержащей утверждения, важные для практических применений. Т е о р е м а 1. Пусть функция б'(х, у) непрерывна на Р = К х У, где К = (а,6),У = (с,И~. Пусть а — — особая точка несобственного параметрического интеграла ь д(у) = / У(*, ) *. а Тогда справедлявы следующие утверждения.
ь 1. Если интеграл )' Дх, у) Нх скодитсн равномерно на У, то функция а д(у) непрерывна при всех у б У. 2. В этом случае имеем б ь б / д(у) (у = ~~к~ 1(х,у)4у ь 3. Если интеграл ) у(х, у)пх сходится, частная производная ~„(х, у) а ь существует и непрерывна на Р, а интеграл ) ~„(х, у)пх сходится а равномерно на У, то существует д'(у), причем д'(у) = ~У„(х,уИх. а Если особая точка хо является внутренней точкой отрезка Х = [а, Ь), то, как было отмечено выше, необходимо отрезок Х разбить этой точкой на две части и рассматривать каждый из двух получившихся интегралов отдельно. Тот же подход можно применить и в случае, кргда бесконечный промежуток интегрирования Х = [а, +оо) содержит конечное число особых точек хм..., х„. Тогда этот промежуток можно разбить на 2п промежутков точками П < 1з «: 1з„таким образом, чтобы на каждом отрезке вида [1„1,в1), где о = 1,...,2п — 1, лежала бы ровно, одна особая точка, а на промежутке [1о„, +оо) особых точек не было.
В результате получим 2и — 1 несобственных интегралов второго рода и еше один — первого. На этом мы закончим изложение теории несобственных параметрических интегралов и займемся ее приложениями. т 9. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ Начнем с вычисления интеграла Дирихле Р(а), называемого еше разрывным множителем Дирихле. По определению имвем Г з1пах Р()= à — *. о 1 — соз а1 2 < —. а а ош ахо1х о В этом случае возможна линейная замена переменной интегрирования вида ах = 1, и тогда имеем Р(а) = / п(ах) = ~ — п1 = Р(1) = Р. Г а)пах Г о1п$ ,/ ах о о Если же а < О, то а = — [а[,о1пах = — о1п[а[х, откуда Г з1пах Г з1п [а[х Р(а) = ( — о(х = — ~ Ых = — Р. о о 45а Заметим прежде всего, что точка х = 0 не является особой, так как подыптегральная функция ограничена.
Очевидно, что Р(0) = О. Далее, если а > О, то интеграл сходится по признаку Дирихле, поскольку Таким образом, имеем Р при а>0, Р(а) = 0 при а=О, — Р при а<0. Теперь перейдем к вычислению значения Р. Т е о р е м а 1. Справедливо равенство Р = «г/2. Д о к а з а п«е л ь с п«в о. Рассмотрям параметрический интеграл у(у), где у Е У = [О, «т], А«.Е Й и Г е "вв«пх у(у) =/ о Подымтегральмая фумкция /(х,у) = е "*в«их/х будет непрерывна всюду ма Р = Х х У, где Х = [О,+со), У = [О, А«], если положить Д(0,у) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
