Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 70
Текст из файла (страница 70)
При этом в имеем Нга-)ипу(х) = )оп у(х). и и 439 Для того чтобы подчеркнуть, что !1п»Дх) есть обобщение предела в по Коши, будем также писать 11птУ(х) = С-)ппУ(х). Доказательство этой теоремы опирается на две следующие леммы, имеющие самостоятельный интерес. Л е м м а 1. Пусть (х„) — монотонная последовательность по базе В.
Тогда найдутся ее подпоследовательность у» = х„» н соответствующая ей последовательность окончаний (6» б В) такие, что при всех 6 б И имеем 6»+» С 6», У» б 6ю но У» и 6»+м Определение 4. Последовательность окончаний (6») из леммы 1 будем называть основной последовательностью окончаний. Ее члены обозначим символом 6».
Л е м м а 2. Для любого окончания 6 б В найдется член 6» последовательности основных окончаний, для которого имеем 6» С 6. Введенные выше понятия позволяют по-новому подойти и к общему определению равномерной сходимости. Для этого определим на декартовом произведении Х х У двух множеств Х и У функцию у(х,у) и будем считать, что на множестве Х задана база В. Определение б. Функция у(х,у) сходится к функции д(у) по базе В равномерно на множестве У, если для всякого е > 0 найдется окончание 6(е) б В такое, что прв всех х б 6(е) независимо от у б У справедливо неравенство 1д(х, у) — д(у)) ( е. В этом случае пишем Х(х,у) Зд(у). У Определение 6. Будем говорить, что функция ~(х,у) сходится по Гейне к функции д(у) равномерно на У, если для любой последовательности (х„), монотонной по базе В, ' функциональная последовательность ~„(у) = ~(х„,у) сходятся к д(у) равномерно на множестве У.
В этом случае пишем )(х, у) ='» д(у). 1в) 6 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ Теперь мы можем перейти к теореме об эквивалентности понятий равномерной сходимости по Коши и по Гейне. 440 Т е о р е м а 1. 1. Если функция у(х, у) сходятся по Гейне к у(у) в по базе В равномерно яа множестве У, то тогда имеем Дх, у) =«у(у). г 2. Если у(х,у) е«у(у) то Лх у) =«у(у) Я а к а з а ш е л ь с ш в о. Рассмотрим сначала утверждение 1.
Будем рассуждать от противного, Допустим, что у(х, у) =«у(у) для 1в1 у любой монотонной по базе В последовательности (х„), но равномерная в сходимость у(х, у) =«у(у) ые имеет места. Последнее условие означает, г что найдется е > 0 такое, что для любого окоычания 6 Е В найдутся точки хь Е Ь и уь Е У такие, что Щхь, уь) — у(уь)( > е, Возьмем сначала в качестве такого 6 окончание Ь~ из основной последовательности окончаний и обозначим через хь н уь соответствуюшяе ему точки хь, и у»у,. Точка хь не может принадлежать сразу всем окончаниям 6, так как нх пересечение пусто. Поэтому найдется 6 Е В с условием х~ ф 6.
По лемме 2 ыайдется число Ьь такое, что 6», с 6, н для него также имеем хь ф 6»,. Теперь в качестве хт и уз возьмем точки хз = хь„ Е Ь», и уз = уь-, Е У и повторим указанную процедуру снова и снова. Таким образом мы получим последовательность точек х„ и у„, для которых справедливо неравенство (у(х„,у„) — у(у„)( > е прн всех и Е И. Покажем, что последовательность х„является монотоныой по базе В. Для этого установим сначала ее фундаментальность.
Заметим, что последовательность натуральных чисел Ь„монотонно возрастает. Но всякое окончание 6о Е В по лемме 2 з 2 содержит некоторое 6»„ а при 6„> Ьо имеем х„+~ Е Ь», С Ь», С Ьо, значит, вне Ьо лежит не более Ьо точек из последовательности (х„), т.е, оиа фундаментальна, Чтобы доказать монотонность х„, заметим, что х„(о 6»„, а хаьь Е Ь»„, Но если для некоторого 6о ~ Ь»„мы имеем условие х„Е Ьо, то нз двух допустимых включений Ьо С Ь»„или Ьо Э 6»„может иметь место именно второе, так как иначе хо Е Ьо С Ь»„, т.е, х„Е Ь»„, что ыеверно.
Но тогда ха+» Е 6»„С 6о, т.е, последовательность (х„) монотонна. Итак, мы построили монотонную последовательность точек х„Е Х такую, что при соответствуюших У„Е У справедливо неравенство (У(х„,у„) — у(у„)( > е прн всех и Е И. Это значит, что равномерная сходнмость функциональной последовательности у„(у) = у(х„,у) к функции у(у) прн и -ь оо не имеет места, что противоречит нашему предположению. Таким образом, утверждение 1 доказано. Рассмотрим утверждение 2. Поскольку у(х,у) «у(у), прн любом г е > 0 найдется окончание 6 = 6(е) Е В, такое, что прн всех у Е У и при всех * Е Ь(е) имеем )у(х, у)-у(у) ( ( х.
Пусть теперь (х„) — любая монотонная последовательность по базе В. Тогда вне 6(е) лежит лишь конечное множество точек х„и при достаточно большом и > ио(е) имеем, что х„б Ь(е), откуда при тех же и имеем Щх„,у) — д(у)( < е, а зто значит, что /(х„,у) =«д(у) при п — «оо. У Утверждение 2 и теорема 1 полностью доказаны. В заключение подчеркнем, что в теореме 1 на базу В мы накладываем следующие ограничения: 1) каждое окончание 6 базы В непусто, но пересечение всех окончаний пусто; 2) для любых двух окончаний 61 и Ьт имеем либо включение 61 С Ью либо включение 61 ~ Ьр, 3) существует хотя бы одна монотонная по базе В последовательность. На первый взгляд может показаться, что эти ограничения весьма обременительны, особенно условие 2, которое ужесточает обычное условие, указывающее на существование 6з с 61г16т.
Но это не совсем так, поскольку вместо базы В практически всегда можно рассматривать базу Во, эквивалентную В в том смысле, что существование предела по базе В влечет за собой сходимость по Во, и наоборот. При этом все три сформулированных выше условия для базы Во уже будут выполнены. К примеру, в случае прямого произведения баз Н = В х Р, где В и .Р есть базы х -+ +ос и у -+ +ос, в качестве соответствующего Но можно взять базу, составленную из окончаний вида Л = ((х, у)(х > а, у > а), Для полноты изложения приведем еще обобщение критерия Коши равномерной сходимостн функций по базе множеств.
Т е о р е м а 2 (критерий Коши для равномерной сходимости функции). Для того чтобы функция /(х, у), определенная на множестве К х У, сходилась к некоторой функции д(у) ло базе В, заданной ва множестве К, равномерно на множестве У, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О нашлось окончание 6 = 6(г) базы В такое, что для любых его точек х1 и хт и любого у б У выполнялось бы условие ~/(хму) — /(хюу)! < е. ~7 о к а з а т е л ь с 1п в о. Необходимость. Если в /(х, у) =6 д(у), У то для всякого г > О существует окончание Ь(е) такое, что для всех у б У справедливо неравенство Щх,у) — д(у)~ < е/2.
Тогда для любых х1 и хт б 6(е) и любого у б У имеем )/(хму) — /(хюу)) < Щхму) — д(у)(+ )д(у) — /(хюу)! < е/2+с/2 = е. Достаточность. Зафиксируем произвольную точку у.б У. Тогда функция Л(х) = Л„(х) = у(х,у) удовлетворяет обычному критерию Коши для сходимости по базе. Следовательно, существует число в д = д(у) такое, что Л(х) ~д, т.е. имеет место поточечная сходимость Л(х) = Л„(х) = у(х, у) ~д(у) где д(у) — некоторая функция, определенная на множестве У.
Покажем, что данная сходимость является равномерной на У. Действительно, рассмотрим окончание 6(е) с условием, что при любых х1 и хт б 6(е) и при любом у б У выполннется условие ~1(хм у) — У(хт,у)~ < е/2. В этом неравенстве при фиксированном у перейдем к пределу по бэле В применительно к переменной хт. Тогда получим )1(хну) — д(уН < /2< Последнее неравенство выполняется при любом х1 б 6(е) и при любом у б У. Это означает, что Теорема 2 полностью доказана. В заключение в качестве прямого следствия теоремы 2 приведем прямую формулировку критерия Коши отсутствия равномерной сходимости на множестве У для функции у(х,у) по базе В, заданной на множестве Х.
Т е о р е м а 3 (критерий отсутствия равномерной сходимостн). Пусть (х, у) б Х х У. Для того чтобы равномерная сходимость функции у(х,у) на множестве У по базе В, заданной на Х, не имела места, необходимо и достаточно, чтобы при некотором е ) 0 для любого окончания 6 б В существовала пара точек х1 б 6 и хт б 6 и точка у б У с условием (У(яму) У(хт~у)~ ~ е Замечание. И в теореме 2, и в теореме 3 из двух возможных определенай равномерной сходимоста, по Коши и по Гейне, рассматривается первое определение. Если же опираться на второе определение, которое, как было показано выше, ему эквивалентно, то тогда вопрос по существу сводится к критерию Коши равномерной сходамости функцаональной последовательности, доказанному ранее в 53 гл.
ХИ. Лекция 18 з 6. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ Дальнейшее развитие теории интегралов, зависящих от параметра, приводит к рассмотреыию несобственных интегралов, которые составляют ее наиболее существенную часть. Из двух типов таких интегралов сосредоточим свое внимание главным образом на интегралах первого рода. Интегралов второго рода коснемся лишь вскользь, поскольку их теория не имеет принципиальных отличий от интегралов первого рода.
Рассмотрим функцию у(х, у), заданную на множесве У х У, где 1— промежуток вида [а, +оо), а У вЂ” некоторое множество вещественных чисел, т.е. У С Ж. Допустым, что при любом фиксированном у б У функция у(х, у) интегрыруема по Риману на любом конечном отрезке вйда [а, ()] и существуег несобственный интеграл первого рода от этой функции по переменной х Е 1 = [а,+со). Тогда этот интеграл сам представляет собой некоторую функцию от у, заданную на 'У равенством у(у) = / У(х,уИх Ь Определение 1.
Функция у(у), представленная в указанном выше виде, называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра у б У. Замечание. Вместо несобственных интегралов по промежутку вида [а,+со) можно, разумеется, рассматривать интегралы по промежуткам вида ( — оо, 6] или по всеЯ вещественноЯ прямой И = (-оо, +оо).
Все эти случаи сводятся к рассмотренному точно так же, как это делалось при изучении обычных несобственных интегралов. Например, интеграл у(х, у))Ь, у б У, достаточно представить в виде суммы интегралов и сходымость этой суммы понымать как сходнмость каждого из двух ее слагаемых. Первое слагаемое сводится ко второму заменой переменной х на — х.
Кроме того, можно, конечно, рассматривать и формальные несобственные параметрические интегралы и при этом ставить вопрос об области их сходимости У. Подобного рода вопросы разобраны при рассмотрении функциональных рядов, поэтому мы им много внимания уделять не будем, иногда, однако, будем пользоваться аналогичной терминологией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
