Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Тогда при з -~ ао будем иметь (2з — 1) 1п 2+!и Г(з) + 1п Г з+ — ~ = (в Г(2з) +!и Г ( - ), /1Ъ 2,~ !,2у' з+ — 1п з+ — — з+ — — 1пз+ сз+ 1т /1! +(з + 1)!и (з+ 1) — (з + 1) ' — !и з+ -) + сз + О ~-) + (2з — 1) 1п 2 = 2) 3 — 2з + — ! и 2з + — — 2з + —, — 1п (2з) + со +! и ь/к + О Далее воспользуемся соотношением а /1! !п(з+ а) = 1пз+ — + О ~ — ~ . з зт Получим з+ — 1пз+ -+ Π— — з+ — + со — !пз+ /1Ъ +(з + 1) 1п з + 1 + О ( -) — (з + 1) + сз — (п з + (2з — 1) 1п 2 = 2б+ — !п2+ 2б+ — 1пб+ — +О й — 2б+ -) — 1п2 — !по+ со+ /я. 2) Приводя подобные члены, приходим к равенству со = !пт/2яя+О ~-), /1Ъ б откуда имеем со — — 1п ~/2яя.
Теорема 1 доказана. Отметим, что если снова воспользоваться соотношением а /11 1п(б+а) =1пб+-+01 — ), б ~бт то из теоремы 1 можно получить еще один вариант формулы Стир- линга вида 1~ /1~ 1п Г(б) = б — — ) 1п б — б + 1п ~/2яя+ О ~-~ . б В частности, при б = и+ 1 отсюда имеем 1п Г(п + 1) = 1п и! = и + -) 1п и + 1 — (и + 1) + 1и ~/2я + О ( — ) = 11 /1~ 2) (~п) /11 = и 1и и — и + 1и ъ'2 яп + О ( — ) . Следовательно, справедлива асимптотическая формула которая тоже называется формулой Стирлинга.
Более тщательные вычисления позволяют получнть оценку вида О > В > — 1/(24б+ 12) для остатка Л в асимптотической формуле теоремы 1. Этот результат был установлен Гауссом. Он же доказал, что величину сор~"! в асимптотической формуле для п! можно заменить иа еб", где О < дб < 1/(12п). Разумеется, теория эйлеровских интегралов далеко не исчерпывается доказанными здесь утверждениями, однако рамки нашего курса треоуют ограничиться рассмотренными вопросами.
Глава Х лг111 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ Лекция 23 6 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДРОБНОЙ ДОЛИ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ. ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ПУАССОНА. СУММЫ ГАУССА Эта глава в основном посвящена изучению тригонометрических рядов Фурье. Важность рассматриваемой темы обусловлена той большой ролью, которую играют ее приложения не только в математике, но и в механике, физике и других научных дисциплинах. Во многом это обусловлено тем, что тригонометрические ряды Фурье соединяют в себе особенности как тригонометрических рядов, так и общих рядов Фурье. Заметим, кстати, что при знакомстве с очередным утверждением полезно отмечать для себя, какую из двух указанных сторон теории оно по преимуществу отражает.
Обширность темы не позволяет сколько-нибудь полно охватить в программе курса лекций по математическому анализу даже классические ее аспекты, так что ограничимся наиболее простыми теоремами, отражающими общую ситуацию. В конце главы коснемся также и некоторых вопросов элементарной теории интеграла Фурье. Сначала дадим основные определения. Определение 1. Функция Р„(х) вида п Р„(х) = — +~ (аэсоэбх+6ээ!пйх) 2 ьи! называется тригонометрическим многочленом степени п или порядка и. Поясним, почему при определении одночлена "нулевой степени" аа!!2 коэффициент аэ берется с числовым множителем 1/2. Дело в том, что указанная запись позволяет единообразно представить коэффициенты аа, а2,..., а„и 6!,..., 6„в следующем виде: 2л 1 1 аь — — — 1 Р„(х)соэйхл)х, 6а = — ~1 Р„(х)элп6х!(х, где й = О, 1,,, и. 47! Определение 2. Функциональный ряд вида Д„(х) = — ~ + ~(а» соз Ьх + Ь» з(п Ьх) 2 »=1 называется тригонометрическим рядом, точнее, формальным тригонометрическим рядом.
Замечание. В определениях 1 и 2 аргумент х может принимать любые числовые значения.,Поэтому вместо независимой переменной х можно рассматривать любую функцию х = !а(1). Полученный таким образом формальный функциональный ряд будем также называть тригонометрическим рядом. Определение 3. Если существует функция а(х) такая, что все коэффициенты а» и Ь» тригонометряческого ряда ~„/„(х) могут быть выражены ло формулам Эйлера — Фурье вида 1 Г 1 ໠— — — ~( у(х) соз ЬЫх я Ь» = — 2( у(х) э)п Ьх!(х, Ь = О, 1,.
то этот ряд называется тригонометрическим рядом Фурье функция а(х). Пря этом интегралы во всех формулах могут быть и несобствепнымя. При изучении тригонометрических рядов возникают, в основном, те же вопросы, что и в случае любых функциональных рядов. Например, для конкретного ряда можно ставить задачу определения области сходимости и функциональных свойств его суммы. Можно также рассматривать вопросы о представлении данной функции в виде тригонометрического ряда, о единственности такого представления, о специальных признаках сходимости ряда в точке и на некотором множестве, о правилах почленного интегрирования и дифференцирования ряда и т.д.
С другой стороны, будут доказаны неравенство Бесселя, равенство Парсеваля н другие утверждения, отражающие свойства общих рядов Фурье. Здесь следует сказать, что коэффициенты ряда Фурье конкретной функции несут в себе полезную информацию о ней даже и тогда, когда ряд расходится. В этом случае существуют различные способы ее извлечения.
В частности, большую роль играют здесь методы суммирования расходящихся рядов, о которых упоминалось ранее. Но сначала разберем один пример, важный для дальнейших приложений. Рассмотрим тригонометрический ряд Дх) вида з!и яйх яй э=! 472 Его и-ю частичную сумму обозначим через вп(х), Определим функции р(х) и ро(х), полагая р(х) = 1 — (х) и р(х), если х — — — нецелое число, Ро(х) = О, если х — — — целое число, Функция ро(х) называется функцией Бернулли.
Т е о р е м а 1. При натуральяом и справедливы формулы Р(х) = вп(х) + ип(х) Ро(х) = оп(х) + гп(х)~ прячем Доказательство теоремы 1 будет проведено несколько позже, поскольку оно опирается на две следующие леммы. Введем еше одно обозначение. Положим Тп(х) = у сов2Мх= 1+2сов2ях+.
° +2сов2яих. Л е м м а 1. Имеют место соотношения; 1 а)в„(х) = Тп(х) — 1; 6)~Тп(х)~ < 2и+ 1; и) ) Тп(х)г(х = 1; о )т ( ) пппппо Ип пп ,(г о к а з а т е л ь с гп е о. Утверждения а) — в) очевидны. Рассмотрим утверждение г). Имеем 2совахвгп)ух = ага(а+Р)х — в(а(а — )1)х, откуда следует, что 1 Т (х) = . ~ 2сов2хйхвшях = 2 ага ях йп-п (в(ая(2гг+ 1)х — вши(2й — 1)х) = 1 2в(пггх „ Йи-п в1а я(2и + 1)х — вга я( — 2и — 1)х в(а я(2и + 1)х 2в1а хх вга ях Лемма 1 доказана. 473 Л е м м а 2. При 0 < 6 Я 1/2 справедлива оценка 1Гг 1-б ~ Т„(х)г1х 172 Т (х)г(х /- б бУ о к а в а пг е л ь с пг е о.
т„(х) — функция периодическая с периодом 1 и четная, позтому 1Гг -б 1-б Т„(х)йх = Т„(х)йх = Т„(х)Их = А. б -172 112 Положим а = я(2п+ 1). Тогда имеем 1-б 1Гг 112 1-б Пг 1-б 1-б сов ах гб 1!2 совах!г'(х)г!х 1Гг 1 = — — 1, вш яо" сьбьг11 б( 1 — ( (< -„„-г, имеем Отсюда, учитывая, что )А( < авш яб Далее, так как функция у = вгпх/х убывает на промежутке (О, 2) и хб < гг/2, то имеем вш яо" в1п гг/2 2 яб гг 1 1 > — — — «-, — —. х6 гг/2 гг ' вш яо 2 ' вш х6 — 2о' 474 Заметим, что на участке интегрирования функция вгпях монотонно убывает, а функция гр(х) = 1/вшях монотонно возрастает, поэтому го'(х) > О. Кроме того, ~совах~ < 1, и при х = 1/2 имеем совах = = сов -'(2п + 1) = О. Следовательно, Следовательно, 2 1 1 а.
2б аб х(2п+ 1)б Если теперь;-(-„-'+,) < б < -', то ~А( < 1, а если 0 < б < -;(-„1'4Т), то в силу оценки ~Т„(х)~ < 2п+1 имеем 1 1 1 < — + б(2п + 1) < —, + — < 1. 2 2 7Г Таким образом, справедлива оценка ( 4 )А)<ппп 1, <2ппп 1, . < б) — ~ ' ~ Б/ — дти,,~б" так как при любых х > 0 и у > 0 имеет место очевидное неравенство Лемма 2 доказана. Д о к а з а п1 е л ь с п1 е о теоремы 1. Значения функций р(х) и ре(х) отличаются только в точках вида х = г, где г — целое число.
Проверим сначала справедливость утверждения теоремы для этих точек. Действительно, тогда имеем: е„(х) = е„(0) = р(0) — з„(0) = — < 4 = Я„(0), 1 г„(х) = г„(О) = ре(0) — з„(0) = 0 < 4 = Л„(0). Если же х нецелое, то з„(х) = г„(х) и достаточно ограничиться рассмотрением одной только функции е„(х).
Поскольку обе функции )е„(х)) и В„(х) четные и периодические с периодом 1, можно считать, что 0 < х < 1/2. В этом случае имеем а х / Ыз1п2кху — х+ ~ / — х+ за(х) ° хх "=' о 1-б (А! = Т„(х)бх 1/1 1 = — — 1/Т. (х) бх 2,/ о Но так как О < х < 1/2, то (х) = х и р(х) = 1/2 — (х) = 1/2 — х, х = 1/2 — р(х). Следовательно, ).
1 1 Т (У)ау = 2 р(х) + в (х) = — — " (х) о откуда 1/г 1/2 1/2 ав(х) = — — / Т„(у)ИУ = — — б Т„(у)б/у+ Т„(у)б/у = Т„(у)б(у. 1 Г 1 Г Теперь для оценки а„(х) применим лемму 2. Получим 1/2 ("(хН = Тп (у):/у 2 4 ~7+Р2Р '* Теорема 1 доказана. В качестве простого следствия теоремы 1 докажем ебце одну теорему. Т е о р е м а 2. При п ~ оо имеем: а) в„(х) -4 ро(х); б) если Б > О и 1 = [А, 1 — б), то в„(х) вр(х) и в„(х) -4 ро(х). / / ,/7 о к а з а пб е в ь с га е о. Утверждение а) эквивалентно тому, что последовательность г„(х) ~ О при и -6 со. Это действительно так, поскольку го(О) = О при всех п, а если х — нецелое число, то (а„(х)( < В„(х) -6 О, что касается утверждения б), то оно следует из признака Вейерштрасса, поскольку величина ~в„(х)( мажорируется на / бесконечно малой числовой последовательностью Я„(Ь) = 4 .
Теорема 2 доказана. 1+и* в164 вб Т е о р е м а 3 (формула суммирования Пуассона). Пусть а < Ь вЂ” полуцелые числа, т.е. числа вида в+ 1/2, где 2 — ЦЕЛОЕ число. Пусть функция Г(х) имеет производную Г'(х), непрерывную на Х = (а, Ь), ~Г'(х)! < М. Тогда при любом натуральном Ф справедлива формула и 6 в = Г' В ) = 2; ) ПО 1 *ь+и, а<в<6 «=-/б где 8М(6 — а) 1и Л' ~Вн~ ~ В частности, при Л' -ь оо имеем ь Я = ~ ~(п) = ~ ' / у(х)сов 2инх~(х. а<а<в я се в Здесь символ ~ ' означает, что сумма ряда берется в смысле ч=-оо главного значения по Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
