Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Примеры. 1. При у > 1 справедливо равенство ОО с дх, /с1х х' " 1 — — !пп / — = !пп хэ с-с+ссс / хэ с-с+со 1 — у 1 — у 1 1 2. При у > О имеем а о о Определение 2. Интеграл )' /(х,у)Ых называется равномерно сходящимся по параметру у на множестве У, (у) = У, если г(х, у)с1х =- г (у,1) =$у(у) при ! ~ +ос. У а Другими словами, это значит, что для любого е > О существует 1 = 1о(е) такое, что пря всех ! > 1о(г) и всех у Е У имеем с У(х,у)1 — у(у) < г, а где у(у) = ) Г(х,у)с!х.
Исходя из общей теоремы сформулируем критерий Коши конкретно для равномерной сходимости несобственных интегралов первого рода. Т е о р е м а 1. Необходимое. я достаточное условие равномерной сходимости несобственного иятеграоа первого рода ) у(х,у)ссх на множестве У состоит в том, чтобы для любого г > О существовало Т = Т(е) такое, что при всех 1о > 1с > Т в любом у Е У выполнялось бы неравенство у(х,у)с1х < е. ! сс Приведем также прямую формулировку критерия отсутствия равномерной сходимости несобственного параметрического интеграла. 445 Т е о р е м а 1А. Равномерная сходнмость несобственного инте- грала / Т(х, у)ах а / Дх,у)Их м Определение 3.
Если интеграл ) у(х) Нх сходится н прн всех а х > а и у Е У имеем Щх,у)~ < у(х), то функция у(х) называется мажорантой для Дх, у) на П = 1 к К Т е о р е м а 2 (признак Вейерштрасса равномерной сходнмости несобственных интегралов первого рада). Интеграл 1 = ) ~(х, у)ох а сходится равномерно на У, если функция 1(х,у) имеет мажораяту д(х) на Л = Х х У, где Х = [а, +со) . Д о к а з а ш е л ь с т в в.
Воспользуемся критерием Коши. Поскольку интеграл ) у(х)Их сходится, при любом е > О найдется а число Т = Т(в) такое, что при всех ~т > ~1 > Т выполнено неравенство с, у(х)ах < е. Но тогда прн всех у Е У имеем м / 1(х, У)Их с, м <~)йх у)Их<~у(х))х<' Отсюда согласно критерию Коши заключаем, что интеграл / сходится равномерно на У.
Теорема доказана. Пример. При в > вв > 1 интеграл ) х Ях сходится равномерно 1 на множестве в > вв, поскольку он имеет мажоранту у(х) = х на множестве У не имеет места, если найдется е > О такое, что для любого Т Е И найдутся числа П и 1т > Т и у Е У такие, что Т е о р е м а 3 (признаки Абеля и Дирихле для равномерной сходимости параметрических несобственных интегралов первого рода). Пусть функция 3(х, у) определена на множестве П= Х х У, где Х = [а,+сю), У = [с,с(] и Г(х,у) = а(х,у)с3(х,у). Пусть с3(х,у) монотонна по х нри любом фиксированном у б У (А) (признак Абеля).
Пусть, кроме того; Ц интеграл ) а(х, у)с(х сходится равномерно по у на У; 2) функция 13(х,у) ограничена на П = Х х У, т.е. [13(х,у)[ < с при некотором вещественном числе с > О и всех (х,у) Е П. Тогда интеграл Г = ) 3(х,у)с(х сходится равномерно на У. а (Д) (признак Дирихле). Пусть вместо условий (А) имеем: Ц при некотором с > О и всех г > а, у Е У имеет место неравенство с а(х,у)с(х < с; а 2) функция с3(х,у) равномерно на У сходится и нулю при х -з О.
Тогда, «ак и в случае (А), интеграл Г сходится равномерно на У. ,ГГ в к а з а нс е л ь с ш в в. Эта теорема как по своей формулировке, так и по доказательству похожа на соответствующие утверждения из теории рядов. По существу, все отличие сводится к замене использования преобразования Абеля на применение второй теоремы о среднем значении интеграла. Дпя доказательства снова воспользуемся критерием Коши. Применяя вторую теорему о среднем, имеем сс сс сс а(х, у)с3(х,у)с1х = 13(П,у) / а(х,у)с1х+ 13(гг,у) / а(х,у)41х, с, где 1з — некоторая точка отрезка [гс,1г!. Теперь в случае (А) в силу равномерной сходимости интеграла ) а(х, у)с(х при любом с > О и всех достаточно больших гг > П > гг(с) а сс [с, имеем ) а(х,у)с(х < е и ~~ а(х,у)с(х < с, откуда с, с с, сс а(х, у)с3(х, у)с1х + [Р(сг, уН <!3(П, уН а(х, у)с1х а(х, у) с(х 447 < сс + сс = 2сс, поскольку )р(х,у)) < с при всех х и у.
В силу произвольности числа с > 0 зто влечет за собой равномерную сходимость интеграла / и справедливость утверждения (А). В случае (Д) интегралы от функции о(х,у) ограничены числом с и ф(х,й) стремится к нулю равномерно по у, позтому при всяком е > С и достаточно больших 1з > 11 > 1с(е) выполнено неравенство ф(х,у)! < е, откуда с учетом предыдущей формулы имеем м и(х, у)ф(х, у)Нх < сс + св = 2сс, что влечет за собой справедливость утверждения (Д). Теорема дока- зана. Деисхии 19 ! 7. НЕПРЕРЫВНОСТЪ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЪ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЪ ПО ПАРАМЕТРУ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Докажем теорему о переходе к пределу функнии в точке под знаком несобственного интеграла.
Т е о р е м а 1. Пусть функция У(х,д) задана на множестве Р = Х х У, где Х = (а,+оо), У = [Ь,с], Пусть, далее, выполнены следующие условия: Ц при некотором уе б У и при любом ! б Х на промежутке Е = Ес — — [о, !] имеет место равномерная сходимость з(х,д)'=сд(х) при у-+до; Ес 2) несобственный интеграл Ь(д) = ] с(х,у)бх сходится равномерно а на У.
Тогда: а) функция д(х) интегрируема по Риману на любом отрезке Ес; б) интеграл 1 = ] д(х)с!х сходится; а в) существует предел 1 = 1ип Ь(у); у~ус г) имеет место равенство 1 = 1ип Ь(д) = 1ип У(х,у)с(х = !ип ~(х,д)с(х = д(х)с(х = а. улус у~ус у у у~ус а а а Д о к а з а сп е л ь с т е о. Рассмотрим произвольную монотонную числовую последовательность д„б У с условием у„-+ де. Тогда в силу условии 1) дли функциональной последовательности д„(х) = у(х,д„) при и -+ оо справедливо соотношение д„(х) =$д(х), где Ес — — [а,!] и Ес ! > а — любое фиксированное число. Далее, из теоремы ! $6 гл.
ХЧ! об интеграле от функциональной последовательности вытекает, что функция д(х) = 1ип д„(х) интегрируема на Ес, причем «~о« с с с ~(х,д„) с!х = д„(х) с!х = Сазс,« -+ сазс = д(х) с!х, И Зсиоо и «ссаопооооое сос|ссо где величины 1~» „и ф определяются последним равенством. В силу условия 2) при 1-+ +ос имеем»',)с „-4Я„, поскольку для любого е > 0 существует 1е — — 1(е) > о такое, что при всех 1 > 1о и при всех натуральных и справедливо неравенство фс,„— О„[ < е. Следовательно, по теореме о двойном и повторном пределах по базам Яб гл. Хт'1) существуют и равны оба повторных предела, т.е. ]пп 1пп Фл = 11»п 1»п» Юс, а-»оо с~+оо ' ».4+ос а.асо Но тогда 1пп ]пп 4;]с„— — 1пп / г'(х,у„)»(х = ]пп Ь(у„) =1, «~00 »~+00 " «-%00 у ' " ПИОО а также 1пп 1]п»»,гс „— — ]пп у(х)»сх = а, с-а+со а~ос ' с-о+ос / а откуда 1 = Х В силу произвольности выбора последовательности у„ отсюда вытекает утверждение теоремы.
Теорема 1 доказана. Из этой теоремы вытекает следующее свойство непрерывности несобственных параметрических интегралов. Т е о р е м а 2. Пусть функция г"(х, у) непрерывна на множестве Р= Х х У, где Х = (о,+ос),У = [ь,с), и пусть интеграл Л(у) = у(х, у)»(х а равномерно сходится на У. Тогда функция Ь(у) непрерывна на У. Я о к о з о гп е л ь с т в о. Непрерывность Ь(у) в каждой фиксированной точке уе Е У означает, что Ь(у) с Ь(уо) при у -с Уо Для доказательства этого соотношения воспользуемся теоремой 1. Очевидно, ее условие 2) выполнено.
Далее, из непрерывности у(х,у) на Р следует ее равномерная непрерывность на Р» — — [а,1) х [с,»() при любом' 1 > о. В свою очередь, отсюда имеем, что У(х,у) =Ф У(х,уо) при у — с уа, [а,с] т.е. условие 1) теоремы 1 выполнено, а это означает, что при у 4 уо Ь(у) -с у(х,уе)»сх = Ь(хо). а Теорема 2 доказана. 450 Т е о р е м а 3 (условие интегрируемости несобственных интегралов по параметру), Пусть функция Дх,у) непрерывна яа Р = Х х У, где Х = (а, +со), У = ((), с] н пусть интеграл у(у) = ) у(х, у)((х существует и а равномерно сходится яа У.
Тогда функция у(й) будет интегряруема на У, а функция й(х) = Д Дх,у)((у будет иятегряруема яа Х = (а,+ос), прячем с со ~У(У)и!У = / (С(Х)ИХ, ь а т.е. равны повторные яятегра,аы с оо со с ~си/Л*. ) .=/ */Л*.и)си. а а 6 Д о к а з а т е л ь с са в о. Рассмотрим произвольную монотонную' последовательность Ь„Е Х с условием Ь„-ь +ос. Тогда функциональная последовательность у„(у), где у„(у) = ! с(х,у)(сх, а равномерно сходится к функции у(у) на множестве У. Каждая из функций у„(х) непрерывна на У, потому при фиксированном и по теореме об интегрировании собственных интегралов по параметру (теорема 3 !4) имеем с С„ ! Си! с(*,и)с*= ! и (и)о = !' с*!' с(*,и)си.
ь а По теореме ! !6 гл. ХУ! возможен переход к пределу при а -ь оо под знаком интеграла и существует число А такое, что с= к /и(и)ии=! о и(и)си=)и(и)си=/ии)С(*,и)и. ь ь ь ь а Переходя в равенстве (а) к пределу при п -ь оо, получим, что предел его правой части существует и равен А, С„с А = !~и ~ ((х / Дх, у)((у. а ь Но поскольку последовательность 6„— произвольная, последний предел равен интегралу оо с ( А ' / У(х, у) Ь.
а Ь (с ° 451 Тем самым теорема 3 доказана полностью. Теперь докажем теорему о дифференцировании несобственного интеграла по параметру. Т е о р е м а 4 (правило Лейбница). Пусть: 1) функция у(х,у) непрерывна на Р = Х х У, где Х = (а,+со), У=[с,И); 2) частная производная ~„(х,у) существует я непрерывна на Р; 3) интеграл у(у) = ) у(х, у)Ых сходится пря всех у Е У; О 4) интеграл ) ~„(х,у)пх равномерно сходится на У.
О Тогда функция у(у) дифференпируема на У н имеет место равенство у'(у) = / ~„(х, у)ох. а Д о к а з а о1 е л ь с та в о. В силу непрерывности функции у(х,у) при всех к > о существует непрерывная на У функция у„(у) вида п у„(у) = у(х,у)ях, а Применяя правило Лейбница для собственных интегралов, получим и у.'(у) = / У„(х,уИ . а Заметим, что для функциональной последовательности у„(у) прн п -~ оо имеют место соотношения у„(у) -+у(у) = ~Дх,у)Их и у„'(у) =$ ~з(х,у)Их. У/ а а Следовательно, по правилу дифференцирования функциональной по- следовательности имеем ~ У (б з.м) =„б п!(Е. з'Ы=~ Г,зла* а Теорема 4 доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
