Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Если хм.,.,хз»+~ — их новая нумерация, то 426 г,~~ — г, = 2 " < б при всех з = 1,..., 2" + 1. По построению любая из числовых последовательностей (Л(г,)) сходится, и поэтому для нее найдется номер и, такой, что при всех и и га > и, имеем [Л,„(г,) — Л„(г,)[ < е/3. Теперь в качестве па(е) выберем номер пе(е) = птах и, и покажем, .<г ьп что он удовлетворяет требуемым условиям.
Действительно, пусть я Е Е [О, Ц и гс — ближайшее к нему число из множества гю ...,гз~.ь,, Ясно, что [е — г~[ < 2 ~ < Ю, откуда вытекает, что [Ль(я) — Ль(гф)[ < е/3 при всех й Е И. Окончательно при всех гп и и > пе(е) > пс имеем [Л (*) — Л„(я)[ < [Л (*) — Л ( )[ + [Л (,) — Л„(,)[ + [Л„(,) — Л„(*)[ < < е/3 + е/3 + е/3 = е. Это значит,что по критерию Коши последовательность Л„(я) сходится равномерно на Г, Теорема 1 доказана.
Замечание. Утверждение теоремы 1 можно рассматривать как достаточное условие компактности некоторого множества в пространстве С[О, Ц всех функций, непрерывных на отрезке 1 = [О, Ц. Можно показать, что это условие является и необходимым для замкнутого множества функций, но здесь мы этого вопроса касаться не будем. Г ХЧП ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Леипяя 1б ~ 1. СОБСТВЕННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ НЕПРЕРЫВНОСТЬ Изучение интегралов, зависящих от параметра, или параметрических интегралов, составляет вторую большую тему третьего семестра, охватывающую элементарную теорию собственных и несобственных интегралов. Сначала рассмотрим собствеииые интегралы от функций, зависящих от одного числового параметра.
Пусть функция у(х,у) задана иа прямоугольнике П = 11 х !т, где и /т — отрезки вида У~ — — [а,Ь), Ут = [с,~(). Другими словами, П есть множество точек ((х,у)) коордииатиой плоскости хОу, удовлетворяющее условиям а < х < Ь, с < у < И. Будем считать, что при любом фиксированном у б 1т функция д(х) = дт(х) = 1(х,у) иитегрируема по Римаиу иа [а, Ь[. Определение 1.
Интеграл [, т(х,у)Нх = 1о(у) называется интеь гралом, зависящим от параметра у. Отрезок Ут = [с,д] в этом случае будем яазывать множеством значений параметра у. Разумеется, вместо 1т в качестве множества значений параметра у может выступать любое подмножество М вешествеииой оси Оу, и в этом случае будем сохранять введенную выше терминологию. Помимо отрезка 1ю чаше всего в качестве такого множества мы будем рассматривать интервалы, открытые и замкнутые лучи, проколотые окрестности точек или саму вещественную прямую %.
Т е о р е м и 1. Если т(х,у) непрерывна на прямоугольнике П = 11 х 1т, где !1 я !т — отрезки, У1 — — [а, Ь), Ьт = [с, И), то фуякцяя ь р(у) = ((х, у)ь(х а непрерывна яа отрезке !ь ,Ч о к а з а «ь е л ь с пь в о. Поскольку прямоугольник П является компактом, функция у(х,у), непрерывная иа ием, является равномерно непрерывной яа П, Следовательно, при любом е > 0 42з найдется число б = 6(е) > О такое, что при любых точках (хму1) и (хм уз) е П справедливо неравенство йх! у1) У(хю узП < е. )г(хП = )У(х, у) — 1(х, уо) ) < с, поскольку расстояние р(А, В) между точками А = (х, у) и В = (х,уо), равное )у — уо), не превышает 6. Интегрируя г(х) по отрезку 1, получим ь ь г(х) ь(х < )г(хП Их < е(6 — а).
а а )ь (у) — о(уоП = В силу произвольности выбора г > О отсюда следует, что (о(у) -+ у(уо) при у -+ уо, т.е. оь(у) непрерывна в точке у = уо, и так как точка уо выбрана произвольно, то ~р(у) непрерывна на 1з. Теорема 1 доказана. Доказанная теорема допускает следующее простое обобщение. Т е о р е м а 2. Пусть функция (оь(у) и (от(у) непрерывны на 1т — — (с,З) и удовлетворяют неравенствам а < ~р1(у) < (от(у) < 6. Тогда в условиях теоремы 1 функция 6(у), где ею(о) Ь(У) = 1(х,У) Ых, е (о) тоже непрерывна на 1т. Прежде чем доказывать теорему 2, заметим, что функцию 6(у) тоже можно рассматривать как параметрический интеграл, поскольку ь Цу) = Уь(х,у)Нх, а где ~ь(х, у) = ~(х, у) при оьь(у) < х < ььз(у) и ~ь(х, у) = О в противном случае. Я о к а з а нь е л ь с нь е о. Снова рассмотрим произвольную точку уо отрезка 1ю Для приращения гьИ(уо) = 6(у) — Муо) функции Ь(у) в этой точке имеем соотношения ~ ~(о) я (оо) ~6(уо) = 1(х, у) (х — У(х, уо) (х = и (о) Ф~(УО) Зафиксируем произвольно некоторую точку уо на 1т.
Тогда для любого у из ее проколотой д-окрестности на оси Оу и любого х Е 11 — — [а,6] для разности г(х) = г(х,у,уо) = 1(х,у) — 1(х,уо) имеем оценку Фз(О) Фз(О) Фз(тз) = 1 (л*.з)-л*.ззоз*-'- 1 л*.зоз*- 1 л*.зоз*) = Фз(О) (о) Фз(тз) (у) + г(у). Оценим величины г1(у) и гг(у) в предположении, что [у — уо[ < б(с), где б(е) > О и к > О имеют тот же смысл, что и в теореме 1. Имеем Фз(О) [гз(у)[ < / [у(х,у) — у(х,уо)[з1х < е[озг(у) — р1(у)[ < с(Ь вЂ” о). Фз(О) Далее если М = вар[1(х,у)[, то для величины гг(у) получим оценки Фз(вз) Фз(О) У(х, уо) бх+ 1(х, уо) бх [гг(у)) = Фз (У) Фз(тю) Фз(О) Ф з (Оз) = М[са)г1(уо)[+ М[ЬФг(уо)[.
Фз(О) з(яз) Поскольку функции ог1(у) и ~рг(у) непрерывны на 1г, при достаточно малом [сгуо[ = [у — уо[ < б1(е) выполнены неравенства [за(о1(уо)[ < е и )(ЬФрг(уо)[ < е. Положим бо(е) = пз1п(б1(е),бг(с)). Тогда при всех у с условием [у — уо[ < бо(с) будем иметь [ЬЬ(уо) [ < [г1(у) [ + [гг(у) [ < к(Ь вЂ” а) + 2кМ = е(Ь вЂ” а + 2М). Но так как к > О произвольно, то отсюда следует, что функция Ь(у) непрерывна в точке у = уо е 1г, а также и на всем отрезке 1г.
Теорема 2 доказана. Следует заметить, что приведенное выше доказательство теоремы 1 фактически состоит из вывода следующих двух утверждений. Ъ'твержденне 1. Если функция 1(х, у) непрерывна на П = 1з х 1г, где 1з и 1г — отрезки вида 11 — — [а,Ь[ и 1г — — [с,з([ и если фуикци» д(х) = до(х) = ~(х, у), то при любом уо й 1г имеем д„(х) =Ьдо(х) = У(х, уо) прн у †) уо (з Утверзсденне 2. Пусть для некоторого уо Е [с, Ы] при у -ь уо имеет место равномерная сходимость у(х, у) =$ у(х, уо). Кроме того, в |а,ь] некоторой окрестности точки уо существует параметрический интеграл ь вида ] у(х, у) ах. Тогда при у -ь уо существует предел а ь ь !пп | |(х,у) ах = / |(х,уо) ь]х. У-аУа д а а | 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СОВСТВЕННЪ|Х ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ Т е о р е и а 1 (правило Лейбница).
Пусть функция г'(х, у) непрерывна на П = 11 х |т, где |ь и !т — ' отрезки, |, = [а, о], |з = [с, а]. Пусть частная производная ~„(х, у) существует и непрерывна на П. Тогда функиия д(у), где ь д(у) = / у(х, у)ь]х, а является дифференпируемой на |з, причем д (у) = / ~„(х, у)ь(х.
а Д о к а з а т е л ь с т е о. Зафиксируем произвольно точку у Е Ут. При любом 6 ф О с условием у+ й Е |з можем записать равенство д(у+ и) — д(у) ( (1х,у+ й) — |(х, у) л / л а Подынтегральная функция в правой части этого равенства непрерывна по х, и поэтому она ннтегрируема по Риману. Применяя к ней формулу конечных приращений Лагранжа, получим = / ~„(х, у+ дЬ)ь(х, О < д < 1.
а озь Ввиду непрерывности ~„'(х, у) на П и на основании утверждения 1 2 1 имеем ~„'(х, у+ дЬ) =2 ~„'(х, у) при Ь -+ О. Наконец, используя утверждение 2 2 1, приходим к равенству 1пп = д (У) = 1о(х У) ~(х' д(у + И) — д(у) а Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2 (обобщенное правило Лейбница). В условиях теоремы 1 будем считать, что а(у) и )1(у) дифференнируемы на 12 и о ( а(у), (1(у) ( Ь, Тогда имеет место формула В(о) д'(у) = Лх у)(х а(о) В(ю) ~„'(х, у)Их + 1()г(у), у),1'(у) — 1(а(у), у) а'(у), а(о) Д о к о з о ог е л ь с яг в о. Пусть, как и выше, Ь ф О и точки у, у+ И Е 12.
Рассмотрим выражение Н(И), где В(о+а) В(о) Н(И) = = — Дх, у+ И)(1х — Дх, у)Их а(о+ь) а(о) Используя стандартные обозначения (ха = а(у+ И) — а(у), (а)г = = Р(У+И) ДУ), (ИУ = У(х у+И) — г(х,у), его можно записать в виде В Й,И) = И ~ (Дх, у+ И) — 1'(х, у))с(х+ а +И ' У(х, У+ И)йх+ И ' 1(х,у+ И)Их = а+йа = Аг+ Аг+ Аэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
