Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Таким образом, для любого с > О нашлось число по = пс(е) такое, что для всех п > по, для всех р > 1 и для любого х Е (к выполняется неравенство Е < е(л+ 1), что в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда означает равномерную сходимость 2х 6„э(ппх. Теорема 4 доказана полностью. п=1 Отметим, что интересные обобщения этой теоремы даны Г. Х, Харди Лекции 10 1 5. ТЕОРЕМА ДИНИ Докажем теорему Дини, которая важна для прояснения сущности понятия равномерной сходимости.
Т е о р е м а 1 (признак Дини). Пусть последовательность неотряцательпых функций р„(х), непрерывных ва отрезке 1 = [а,Ь), сходится поточечво и нулю на этом отрезке, причем р,(х) > р„+~(х) пря всех х б 1 и при всех и б И. Тогда эта сходимость равномерная ва отрезке 1, т.е. р„(х) =$ О при п -э со. Д о к а э а щ е л ь с т в о.
Ввиду поточечной сходимости последовательности р„(х) к нулю для всякого е > О и для каждой точки х б 1 можно указать номер и = п(е,х) такой, что р„(х) < е/2. Но так как р„(х) непрерывна, то у точки х найдется некоторая Б- окрестность, где Б = Б(е) > О, для всех точек у которой имеем р„(у) < е. Совокупность всех таких окрестностей полностью покрывает отрезок 1, и в силу того, что он является компактом, из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие О(Бмх~),...,0(Бь, хь). По построению каждому из чисел хы..., хь соответствуют свои номера пм..., пь и функция р„,(у),...,р„,(у) такие, что О < р„,(у) < е при всех У б О(а,, х,).
Положим па = щах~<а<к пз. Тогда имеем О < Р„,(У) < < рп.(у) < е пря любом у б 0(бп„х„,) и э = 1,...,/с, Поскольку каждая точка у иэ отрезка 1 входит в некоторую такую окрестность, в каждой из них выполняется неравенство О < р,(у) < е. Но тогда для всех и > па — — па(е) и одновременно для всех у б 1 имеем [р„(у)[ < е, т.е. р„(х) эО при и -+ со. Теорема 1 доказана. Г Если в теореме 1 в качестве р„(х) рассматривать последовательность остатков г„(х) функционального ряда ~ а„(х) с условием а„(х) > О, то вместе с доказанной ранее теоремой о сохранении непрерывности суммы ряда при его равномерной сходимости мы получим следующий критерий. Т е о р е м а 2.
Для того чтобы сумма ряда, составленного из непрерывных и неотрицательных функций яа отрезке 1 = [а,а), была также непрерывна ва 1, необходимо я достаточно, чтобы ряд сходился равномерно ва этом отрезке. Замечание. Для справедливости утверждения теоремы 1 существенно, что отрезок 1 является компактом. Если, например, в ее условии отрезок 1 заменить интервалом, то она уже не будет верной. Это 4о~ подтверждает разобранный ранее пример ряда 2,х(! — х)", который не является равномерно сходящимся иа интервале (0,2).
! б. ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДА Наша дальнейшйя цель состоит в нахождении условий, обеспечивающих возможность почлеииого дифференцирования я интегрироваиия функциональных рядов. Понятие равномерной сходимости ряда и здесь играет главную роль. Обратим внимание на то, что теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда означает, что А(хе) = )ип А(х) = )ип ( )ип А„(х)) = Вп! ~~ а„(х) = а„(хо) = (ип А (хо) = (пп ( (ип А„(х)).
Другими словами, эта теорема позволяет менять порядок выполнения двух последовательных предельных переходов вида х -+ хс и и -! оо. Далее будет доказано утверждение весьма общего вида, а пока отметим, что почлеиное дифференцирование, как и почлеиное интегрирование, тоже можно рассматривать как изменение порядка выполиеиия предельных переходов относительио двух баз множеств разного типа.
Рассмотрим вопрос о почленном интегрировании ряда. Т е о р е м а 1. Сумма А(х) равяомеряо сходящегося на 1 = [о, !У] ряда 2 'а„(х), составлеияого из фуякпяй, иятегрируемык яа [а,!у) по Рямаяу, тоже является яятегрнруе!кой по Римаяу функцией, прячем Д о и а з а ш е л ь с и! в о. Согласно критерию Лебега интегрируемости функции по Римаиу мера множества Т„точек разрыва каждой из функций а„(х) равна нулю. Но тогда объединение Т всех таких множеств, Т = ОТ„, также имеет лебегову меру нуль. Все остальные точки промежутка Г будут общими точками непрерывности одиовременио для всех функций а„(х). Поэтому в силу равномерной сходимости ряда 2 а„(х) сумма А(х) этого ряда будет ограничена и в этих точках непрерывна. Другими словами, тогда лебегова мера точек разрыва ограниченной функции А(х) тоже равна нулю и 4оз Это равенство означает, что А'(1) = >>'(1) = ~ , 'а'„(1).
Осталось показать, что ряд ~ а„(х) сходится равномерно на !. Имеем с с 4,(~) = ~г„'(х) Ых = / ~~~ а„'(х) Нх = 1=в+! (аь(С) — аь(хо)) = ~~' И~Я, сс3„(С) = В(с) — ~ Ьа(С). А=в+1 а=а+с Но г„(х) =$0 при и -+ оо, поэтому существует последовательность р„ с условием р„-+ 0 и [г'„(х)[ < р„при всех достаточно больших и > по и всех х Е >. Следовательно, с с [0„(й)[ < /~т (х)[ Их < / р„сЕх = р„(1 — хо) < р„(а — ф). Хо Это значит, что д„(х).=$0 при и -+ со, т.е. ряд ~ о„(1) сходится г равномерно на 1, а вместе с ним и ряд ~ а„(х) тоже равномерно сходится.
так как АЯ = ~ ~а„(С) = ~~с Ь„(й) + ~ а„,(хо), где ~ асхо) — - сходящийся числовой ряд. Теорема '2 доказана. Т е о р е и а 3. Пусть: Ц ряд ~ а„(х) сходится и некоторой точке хо Е! = [а,Сс]; 2) ряд '> а„(х) равномерно сходится на Е. Тогда ряд ~ а„(х) тоже равномерно сходитгя на У, причем его сумма А(х) имеет производную А'(х), равную сумме ряда ~ ав(х). Заметим прежде всего, что здесь нельзя воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница, поскольку функции а'„(х) могут уже нс интегрироваться по Риману и необходимо действовать по-иному.
,П о к а з а и е л ь с нс в о. Докажем сначала, что всходный ряд ав(х) равномерно сходится па 1. Для этого проверим выполнение для него критерия Коши. Точнее, мы будем рассматривать разность (а„(х) — а„(хо)) = ~ )с„(х), что допустимо, так как ~,а„(х) = ~6„(х) + ~ а„,(хо), где числовой ряд ~ ав(хо) сходится. жм Применяя к отрезку ряда ~И»(х) формулу конечных приращений Лагранжа, при некотором с Е (хо, х) будем иметь сс.!-р и+р п+р Т = ~ Иа(х)~ = ~ ~~~ (аэ(х) — аа(хо)) = ~~с (х — хо)а'„(г) !с =и+ ! !с=и+! !с=» !-! Но тогда по критерию Коши для любого е > О и при достаточно большом и > по и любом р Е И имеем и+р Т< 1х — хо!.,~ а'„(1) < г[х — хо[.
/с=и.!-! Поскольку г > О произвольно, это означает, что условие критерия Коши для ряда ~ Ии(х) тоже выполнено и он равномерно сходится вместе с рядом ~„а„(х), Теперь необходимо показать, что его сумму А(х) можно дифференцировать, причем производная суммы равна сумме производных во всякой точке х! отрезка У = [а,1У), Для этого рассмотрим отношение сзА(х) А(х) — А(х!) саА„(х) псг„(х) — + — п + и сах х — х! Ьх Ьх где и Е И произвольно. Снова применяя формулу конечных приращений, для величины Гс получаем оценку [В„[= = 1цп 2 ' < ги(х) — ги(х!) и , аэ(х) — ау,(х!) х х! ,,си х — х! !сии+! <апр ~с ~<эпр ~ а~,Я =Т!.
аа(х) — аа(х!) !с=и+1 се! и»и+! рен В силу равномерной сходимости ряда [ а'„(х) величина Т, при любом заданном значении е > О и достаточно большом и > и!(г) становится меньше, чем е. Поэтому при таких а имеем [Л ~ < г. Полагая 0(х) = [ а'„(х) и с1„(х) = ~" а!с,(х) = О(х) — Аи(х), при тех же п и иси«+! всех х Е 1, очевидно, имеем оценку [а!и(х) [ < Т! < г.
Далее, функция Аи(х) дифференцируема при любом х, поэтому ЬА„(х) П„= " =А'„(х!)+у„( ), Ьх где 7„(х) -з О при любом фиксированном п и х — ~ хь Зафиксируем теперь какое-либо и > по(е), например и = ое(с)+1, и выберем число Ю(с) > О так, чтобы при данном и и всех х с условием О < (х — хе) < е(е) выполнялось неравенство 7„(х) < с. Тогда для всех таких х имеем — (Ап(х1) + 7е(х) +гтз Р(х1)( = )7ь(х) ((п(х1) + Яе) < Зе, а зто значит, что ЬА(х)/Ьх ~ В(х~) при Ьх ~ О или А'(х) = ~', а'„(х).
а=1 Теорема 3 доказана полностью. Лекция 11 з 7. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ПО ВАЗЕ МНОЖЕСТВ Встречавшиеся ранее примеры равенства повторных пределов различных типов ясно подсказывают целесообразность выработки возможно более общего взгляда на этот вопрос. Здесь мы рассматриваем его в связи с еще одним понятием — понятием предела.по совокупности двух баз. Нам потребуется ряд новых определений. Определение 1.
Пусть функция у(х, у) определена на декартовом произведении К х У двух множеств Х и У, т.е. на множестве всех лар (х,у), где х б Х и у б У. Пусть на множестве Х задана некоторая база В. Будем говорить, что функция т'(х,у) сходится к функции у(у) по базе В равномерно на множестве У, если для всякого е > 0 найдется окончание 6(е) б В такое, что при всех х б 6(е) независимо от у б У справедливо неравенство (7(х, у) — у(у)) < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
