Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Другими словами, доказанное утверждение справедливо н в этом, несколько более общем, случае. Более сложным является вопрос о произведении числовых рядов. Нам потребуются новые определения. Определение 1. Занумеруем каким-либо образом счетное множество лар (т, п) натуральных чисел т и и, т.е. поставим каждая ларе в соответствие свой номер Ь. Тем самым мы получим две последовательности: т = т(Ь) и и = п(Ь), принимающие натуральные значения. Такую нумерацию будем называть линейной нумерапией лар. Если теперь ~ а„и 2,'Ь« — два числовых ряда и Ьк = а !к!Ь«!»1, то ряд Ьк будем называть их произведением, отвечатошим данной лик=1 нейной нумерапии пар индексов (т, п) или данной'перестановке лоларяых произведений а Ь„.
Задача (теорема Штейнипа). Пусть (с«) — последовательность, составленная из векторов Ь-мерного пространства Нк (Ь > 2). Пусть для любого вектора у' б Рк~, у ф О, ряд ~ а„, где а„= (с„,у«) скалярное произведение векторов с„и у, условно сходится. Требуется доказать, что для всех Ь б !к» существует перестановка 2 с !«! такая, что !пп ~ с 1„! = Ь. ~'~~ «-1 Определение 2. Ряд 2 Ь„, где Ь„= ~ а»Ь„»+и называется ««и »«д формальным произведением (или просто произведением) двух рядов ~ а„и 2 Ь„. 377 Т е о р е м в 1.
Если оба ряда ~ а„и ~ ,'Ь„абсолютно сходятся, причем ~',а« = А, а ~ ,'6„= В, то при любой перестановке непарных произведений их членов ряд ~ Лй абсолютно сходится к сумме АВ. й=1 Д о к а з а 1« е л ь с 1в в о. Зафиксируем какую-либо перестановку попарных произведений Л (-й (гп(й),п(Л)). Докажем сначала, что ряд Л» сходится абсолютно. Пусть Н» — последовательность частичных сумм ряда ~ )Лй~ и пусть г — какой-либо номер. Тогда имеем Н, '= ~~' (ят(»)Ь«(») (. »=1 Положим п1э = птахой(Л), пэ — — п1ахп(6). В этом сдучае, очевидно, »б. * »б.
«о г п~о Н„' = 1 !о~(»)!. (6«(»)! < 1 ~а~(~~~,/6»/ < АВ', »=1»=1 где А' = ~ (о„(, В' = ~', )Ь„(. Таким образом, частичные суммы ряда С(Л»~ ограничены в совокупности, а это значит, что ряд ~; Л» абсолютно сходится к некоторой й=1 своей сумме Н. Но тогда при любой перестановке его членов сходимость не нарушается и сумма не изменяется. Переставим эти члены так, чтобы при любом Л = пз частичная сумма Н» имела вид Нй = (а1+ . + о„) (61 + -"+ 6„) = А„В„. Тогда при п -й оо будем иметь Н„* — ) АВ. В силу сходимости ряда ~ Л» последовательность Н» его частичных сумм сходится к Н, и так как Н„~— подпоследовательность Н», то Н = АВ. Итак, если абсолютно сходятся оба ряда ~'а«и ~',6„, то сумма произведений'рядов равна произведению их сумм.
В общей ситуации на такое равенство рассчитывать не приходится. Действительно, если ряд ~ а„сходится условно, а в качестве 6„взят простейший ряд вида ~,'6„= 1+ О+ О+, то, исходя яз определения, можно убедиться, что их произведение, отвечающее некоторой перестановке пар (гп, п), дает ряд ),с«, являющийся некоторой перестановкой ряда ~ и„. Но согласно теореме Римана при перестановках такого ряда его сумма может измениться.
Естественно, что при определенных ограничениях утверждение предыдущей теоремы допускает различные обобщения. Например, справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 2 (теорема Мертенса). Пусть ряд ~ ,'а«абсолютно сходится к сумме А и ряд ~ Ь„условие сходится к сумме В. Тогда формальное произведение ~ Л„этих рядов сходится к сумме АВ. «=1 ,7 о к а з а иг е л и с и! в о.
Пусть Н» — последовательность частичных сумм ряда ЯЬ«. Имеем »»-к+1 ак „/ 6!. к»а и » ш Н» = ~~! /! = ~ ~~ ~акЬ ка! —— »1=1 г«=1 к=! Обозначим / = гв — /г+ 1. Очевидно, имеем 1 ( 6 < и! < в, откуда получим 1 < ог — 6+ 1 = / < в — /с + 1. Следовательно, »»-к+! и Ни - ~ ак ~~~ 6! = ~~! акВп-к+!. Здесь В» к+! — соответствуюпкая частичная сумма ряда ~'Ь„. Поскольку ряд ~;Ь„сходится к сумме В, разность /г! =  — В! является его остатком //! = ~ Ь», который стремится к нулю с »=!+! ростом /. Поэтому, обозначив через А» и а» остаток и частичную сумму ряда ~;а», будем иметь п п Н = ~~~ акВ -к+! = ~~~ ак! — //и к+!) = к=! к=! ак — ~~~ ак/1 -к+! = А — о»В — ~~! акВ»-к+! «=1 Осталось показать, что если В» = А — Н», то Н„-+ О при в -+ оо.
Но о» -+ О, поэтому В„', = а»В + О при п -+ со. Рассмотрим теперь » сумму В,", = ~ ак/г -к+!: «=1 «=! Е, Е, = ~, 1ак! )//и-к+!!+ ~, !ак! |//и-к+!! =Ег+Ег «/!<к<» к<п)г Ег ( ~~' )ак1' 1!у -к+!! ( ~ ~!!ак!!с ( с ~~~ !!ак! = сТ. »)2<к<и »/2<к < и «)2<к<» 379 Так как //к -+ О, то при некотором с > О для всех 6 имеем неравенство )//к) ( с, откуда 1!о ряд 2,' (а„) сходится, поэтому, согласно критерию Коши, при всяком е > О и достаточно большом и > пэ(е) справедливо неравенство Т < е, откуда вытекает, что Ез < се.
С другой стороны, так как 4, -+ О, то при достаточно большом 1 = п — й+ 1 > п~(е) имеем ~Д) < е. А это значит, что если п(2 > п~(е) и /с < и/2, то (4, ее~~ < е, откуда Е~ = ~~~, !аа! 1Ф -ь+~! < е ~, 1аа! < еА', або/2 абе/2 где А' — сумма сходящегося ряда 2 ~аа ~. Таким образом, при аж1 и > 2п~(е) + пе(е) имеем В,", < еА'+ ес = е(А'+ с).
В силу произвольности е > О это означает, что В'„' -+ О при и -э со. . Но тогда и В„= В'„+ В'„' -+ О, откуда Н„-~ АВ. Теорема 2 доказана. Лекция Т 8 8. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ РЯДЫ Понятие произведения двух рядов можно рассматривать как пример более общего понятия двойных рядов, изучению которых посвящен этот параграф. Определение 1.
Числовая функция а(т, п) = ат „= ам„двух натуральных аргументов т и и называется двойной последовательностью. Для таких последовательностей мы также будем использовать обо. значение (а Определение 2. Двойным рядом г' <!м,« = Х~~ аг«,« = Х~~ а«1,« гл«! ««! называется формальная бесконечная сумма 5 вида З = а„+ а„+ а!з+ "+ ам + ам+ азз+ + аз!+ аз!+ азз+ . Определение 3. Конечная двойная сумма А,» =~~~! аы =а!, +. +а!„+ +а, !+ +а ь=! 1=! называется (прямоугольной) частичной суммой двойного ряда вида ~'ам „.
Исходная последовательность а„, „называется обшнм членом ряда. Далее нам необходимо дать определение сходимостн двойного ряда как предела частичных сумм А Определение 4. Число ! называется пределом двойной последовательности (Вм „) (или двойным пределом), если для всякого е > 0 найдутся числа та(е) н пс(е) такие, что для всех пар (т, п) с условием т > тс(с) и п > пд(с) выполнены неравенства (В „— !) <е. Понятие предела двойной последовательности полностью согласуется с общим определением предела функции по базе В.
В данном 38! случае база В представляет собой совокупность окончаний Ь каждое из которых образовано множеством пар (т, и) натуральных чисел т и и с условием т > гпо,п > по. Предел А = 1ппА „по в этой базе и есть указанный выше двойной предел. Для самой базы В будем использовать обозначение т -+ оо, и -+ оо. Также будем писать: 1ип А „=А. ю->о» »-»»о Дпя двойных пределов выполнены все свойства предела по базе множеств.
Например, предел суммы равен сумме пределов, имеет место единственность предела. В частности, отсюда для сходящегося двойного ряда вытекает необходимый признак сходимости. з'тверэкдение 1 (необходимый признак сходимости двойного ряда). Если ряд ~;а „сходится, то а „-+О при тьос,п-ьоо. Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем а „= А „— А — Ам 1„+ Ам 1„ь Так как по условию А~„-+ А, то !ип а„,„=А — А — А+А=О, »1-»О» » — +»о что и требовалось доказать. Исходя из общей формулировки критерия Коши для существования предела функции по базе множеств, можно сформулировать критерий Коши для двойных рядов. Т е о р е м а 1 (критерий Коши). Для того чтобы двойной ряд а „сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовали числа то(е) и по(е) такие, что при всех ты та > то(е) и пм пэ > поЯ справедливо неравенство ~Ато», — А,р,»р) < е В важном случае двойных рядов с неотрицательным общим членом р,„> О справедлива следующая теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
