Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Т е о р е м а 2. Для сходимости двойного ряда ') ~ „р с условием р „> О необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы Р „были бы ограничены в совокупности, т.е. чтобы существовало число С > О, для которого Р „< С при всех натуральяых тип. Д о к а з а т е л ь с т в о.,Постаточпость. Заметим сначала, что если гп1 < гпэ, и, < пэ, то Р, „, < Р, „,. Далее из ограниченности частичных сумм Р „следует, что существует число М такое, что заэ М = впр Р „. Тогда при любом е > 0 число М вЂ” е уже не является п|,» верхней гранью для (Р,„), поэтому найдутся пта(е) и пв(е) такяе, что М вЂ” е < Р, и, < М, Но вэтом случае при всех пт > птэ и п > пв имеем Д о и а з а тп е л ь с нт в о. Положим ~ат,п! ат,» Чп,» = 2 ~ат,п1+ агл,» Рп1,п = 2 Тогда имеем ~а„,»~ = р,„»+ в, » и Р п,п Чп~,п аппп = ' Р»ь» > О 1~»»» > О .
Поскольку ряд ',т ~„~а,„~ сходится, найдется число С > 0 с условием ~п п А „= ~ ~~~1 )аь,т) < С а=1 1»1 при всех пт и и. Но для частичных сумм Р и и ьт и справедлмвы неравенства Р и < А „,Я л < А „, поэтому по теореме 2 ряды 2,'2 Р и и 2„~ й „сходЯтсЯ. Следовательно, РЯд 2,"'т„а „, Равный их разности, тоже сходится. Теорема 3 доказана. Бесконечная сумма вида 2,' 2,' а „позволяет рассматривать и т»1»п! мпую важную конструкцию исйользования предельного перехода, которая приводмт к понятию повтормого ряда. Определение 6.
Пусть (а~л) — двойная последовательность. Зафиксируем параметр пт и рассмотрим формальный ряд 2, а п»1 Обозначим его символом 6 . Тогда формальная бесконечная сумма К» — ~ ~ ап»п М вЂ” е < Рпп,пп < Рпъ,п < М~ откуда ~Р и — М~ < е. Это значит, что Р -+ М при пт -+ оо, и ~ оо, т.е. 2, 2 »рта» =М. Необходимоспть. Заметим, что ограниченность последовательности Р и в случае ее сходммости есть следствие соответствующего общего свойства функции, имеющей предел по базе.
Теорема 2 доказана. Определение 5. Двойной ряд 2 2 и а„, „называется абсолютно сходмшимси, если сходитсЯ РЯд ~ 2 „~а„, п~, составленный Яз модулей его членов. Т е о р е м а 3. Двойной абсолютно сходящийся ряд ~ 2, а,,п сходи тс я. называется повторным рядом. Очевидно, с одной и той же двойной последовательностью а можно связать еще один двойной ряд, а именно, ,) дп = ~~ ~~! ат,п п=1 п=1 !.тп! гдето,= ~ а„,п. п1= 1 Заметим, что если здесь опустить скобки, то, вообще говоря, выражение ~ ~, а „можно рассматривать и как двойной ряд, и тп! п=1 как повторный ряд, и это может приводить к недоразумениям. Там, где эти недоразумения возможны, необходимо ставить скобки или специально оговаривать точный смысл выражения. Введем понятие сходимости повторного ряда и рассмотрим связи между сходимостью двойного и повторного рядов.
Определение 7. Если при любом 1п ряд ~ а „сходится к тп1 сумме о и рид ~ о тоже сходится к некоторому числу А, то п|=1 повторный ряд ~ ( ~ а „называют сходящимся к сумме А и п1=1 ',и=! записывают в виде а и =А, Определение 8, Пусть (гп(к), п(к)) — некоторая линейная нумерация совокупности всех пар (гп, и). Тогда обычный числовой ряд ~ аю Ьп! где а!ь = а !ь! п(иц называется линейной перестановкой двойного ряда ~ ~ а,„п, отвечающей данной нумерации его членов. п|=1 пп1 Т е о р е м а 4. Пусть а > 0 для всех пар (т,и) и пусть ряд !!ь — некоторая его линейная перестановка. Тогда если сходится хотя бы один из трех рядов а~п,п, ~~' ~~' ап!,и и ~~! аы аппп! п=1 и!и! !пп! / Ьп! то два других тоже сходятся к той же сумме. Д о к а з а и! е л ь с т е о.
Обозначим через А,В и П сумму каждого из рассматриваемых рядов. Требуется доказать,' что если существует хотя бы одно из этих трех чисел, то существуют и два других и все они равны между собой. Для этого достаточно доказать трн утверждения: 1) если существует сумма А, то существует сумма В и В < А; 2) если существует суммк В, то существует сумма О и 1й < В; 3) если. существует сумма Р, то существует сумма А и А < б Рассмотрим их по порядку. 1) Существование числа А означает сходимость частичных сумм Ат,» РЯДа ~', ~ ат„К ЕГО СУММЕ А ПРИ ии — З ОО,П -+ ОО. РаНЕЕ «з=1»=1 было доказано, что в этом с.чучае А = эпрА,„„, откуда Ат „< А з»,» при всех натуральных сп,п.
Очевидно, что при этом справедливы неравенства » «з зз Ь,„(П) = ~~~ а,» ! < ~ ~~~ а!с,! = Ат» < А 1=1 !с=1 1=1 Следовательно, при любом п1 существуют числа Ьз» = эир 6з» (и) = ~ 6т (Ь) . » !с=1 Далее, так как ~66(п) = ~~з ~~ а1,! = А „< А, Кт! а=1 1=1 то, устремляя п -э оо, при любом ип имеем А)~ Ь1,=В !с=1 Но В не убывает, поэтому прн пп -+ со последовательность В сходится к некоторому числу В, прячем В < А, 'Утверждение 1 доказано.
2) Пусть В существует. Тогда для любой частичной суммы Рь = ь и» найдется пара чисел (гпс,по) с условием, что сп(г) < ипо и з =1 п(г) < пе при всех 1 < ь. но тогда все слагаемые п(, одновременно будут входить и в суммы А, „„причем то»о то то с« А~,»,=~~ ~ а6,1<~~ ~~з а!1»и~ Ь1,=В,<В. Ь»11»! Ь»1 1=1 ~3 ясзиии по из»иззи «сзо«1аиазизз' 385 Другими словами, все частичные суммы Ра ограничены сверху числом В и поэтому при некотором Р имеем Ра -+ Р < В при Ь -+ ос. Утверждение 2 доказано.
3) Пусть существует Р. Тогда для любого А „можно найти ап номер Ьв такой, что сумма Ра, = ~, Иа содержит все слагаемые аа ь ат3 входящие в сумму А „. Но тогда при всех щ,н имеем А „< < Ра, < Р. Следовательно, существует А = аирА и н А < Р, что и т,» требовалось доказать. Теорема 4 доказана полностью. Т е о р е м а 5. Утверждение теоремы 4 останется в силе, если условие а „> 0 опустить, а сходимость рядов рассматривать «а« абсолютную. ,Воказащвльсщвв.
Числаа »представимввнде ат,» = р,п 7т,п~ Гдв ~а~»,») + ат,п )ат,»~ ат,» Рт,п 2 Чт,п— Далее достаточно применить теорему 4 к рядам с общими членами р и и д и и рассмотреть их разность. Теорема 5 доказана. Т е о р е м а 6. Любая перестанов«а членов двойного абсолютно сходящегося ряда не нарущает его сходнмостн н не изменяет его суммы.
Д о к а з а щ е л ь с ти в о. Пусть ~ ~ Ь„,„— перестановка двойного абсолютно сходящегося ряда ~" ~от„= А. Рассмотрим соответствующие рядам ~ ~" а„, » ~ ~ Ь„,,п однократные ряды ~, '4, ап1 и ~" 4~а из теоремы 4. Тогда ряд ~ а« = А абсолютно сходится, а»1 а ряд ~ а",, является некоторой .его перестановкой. Но тогда он тоже абсолютно сходится, а вместе с ним абсолютно сходится и ряд ~ ~ Ь ,и, причем ,'Ь ап,,» -— ~~ йа = ~~' А, =,~ Ьт,». Теорема 6 доказана. Т е о р е м а 7.
В повторном абсолютно сходящемся ряде вида (~ и а и) можно менять наряда«суммирования. При этом ряд остается абсолютно сходящимся н его сумма не изменяется. ~7 в к а з а щ е л ь с ш в о. В силу теоремы 5 двойной ряд ~',~'а „также абсолютно сходится, а вместе с ним по той же теореме абсолютно сходится и ряд ~ Я ам„, причем суммы всех трех рядов совпадают. Теорема 7 доказана. В заключение подчеркнем, что вообще свойство сохранять сумму пря изменении порядка суммирования будет в дальнейшем представлять особый интерес.
Теорема 7 дает первый пример возможности изменения последовательности выполнения предельных переходов. Глава ХУ1 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Ленцня 3 з 1. СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА Понятия функциональной последовательности и функционального ряда связаны между собой так же тесно, как и в обычном числовом случае, С этими понятиями мы, по существу, ранее уже встречались. Примерами могут служить бесконечная геометрическая прогрессия д = — при (д)(1 » д 1 — д или дзета-функция Римана 1 С(з) = ~~ — при з ) 1. »»1 Если в первом случае зафиксировать д, а во втором з, то мы получим обычные числовые ряды.
Но эти же параметры можно рассматривать как аргументы числовых функций, и тогда суммы рядов тоже будут представлять собой некоторые числовые функции. Подобные соображения приводят нас к следующим определениям. Определение 1. Функциональной последовательностью называется залумероваиное множество функций (1»(к)), имеющих одну и ту же область определения Р С й. При этом множество Р называется областью определения функциональной последовательности (у»(я)). Здесь термин»занумеровать» означает "поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом 1»».
Определение 2. Пусть (а»(я)) — некоторая функциональная последовательяость (ф. и.), определенная на множестве Р. Формальная бесконечная сумма вида аг(я) + аг(я) + аз(я) + . = ~ а»(я), »=г или просто 2 а»(я), называется функциональным рядом, опреде- ленным на Р. Фиксируя какое-либо значение я = ко б Р, получаем обычный числовой ряд 2 а»(кв). Как и в числовом случае, определим понятие частичной суммы функционального ряда.
звв Определение 3. При всех и б 1ч функция Аи(х) = а1(х) + аг(х) + и +аи(х) = ~ аь(х) называется (и-й) частичной суммой функцяэи! онального ряда 2', аи(х) и аи(х) — его общим членом. В дальнейшем пусть Р обозначает область определения функционального ряда ~ аи(х), т.е. последовательности (Аи(х)), Определение 4. Если лри фиксированном х = хс б Р сходится числовой ряд ~ аи(ха), то говорят, что функциональный ряд ~„а„(х) сходится в точке х = хщ Определение 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
