Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Если в условии теоремы 2 неравенство й„< р„заменить неравенством 3"-~-'- < ~~-, то ее утверждение также будет иметь место. Д о к а з а гп е л ь с гп е о. Поскольку отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на его сходимость, с самого начала можно считать, что пе — — 1. Перемножая все неравенства из условия теоремы до номера и включительно, приходим к неравенствам вида 1» Р» < й»Р7 < Р»й 41 Р7 Применяя теорему 2, мы получаем требуемый результат относительно рядов р1 2 „, 7„и 47~ „,р„, а так как умножение всех членов ряда на одно и то же число, отличное от нуля, не влияет на сходимость, то тем самым теорема 3 доказана полностью.

Т е о р е м а 4 (признак Даламбера). Пусть для членов ряда ~,р„, начиная с некоторого номера пэ, выполнены условия: Ц р„>О; 2) П„= ~-"~-'- < е, где 0 < д < 1. Тогда ряд 2 р„сходится. Если же при всех и > по вместо неравенства 2 имеем р„~1/р„> 1, то ряд )'р„расходится. 2У о к а з о тп е л ь с »7 е о, Сравним ряд 2 р„со сходящимся рядом 2 6„, где 6„= д".

При и > по имеем р„+1 6„+1 — < д = —. — 6„ Поэтому первое утверждение теоремы 4 вытекает из теоремы 3. Во втором случае надо положить 6„= 1 для всех и. Тогда ввиду расходимости ряда 2',6„и неравенств — >1=— Р»+7 6»+1 р„- =6„ из той же теоремы 3 следует расходимость ряда 2 р„. Теорема 4 доказана полностью. 357 Т е о р е м а 5 (признак Даламбера в предельной форме) Рассмотрим ряд ~,рп с условием рп > О для всех и. Положим д= 1пп —, г= 1пп —. — рп+1 . р +1 п-+оа рп п ~оа Рп Тогда при д < 1 ряд ~',рп сходится, а при г > 1 — расходитсн.

Напомним, что 1пп ап = )пГ Вир ап, )йп ап аа Вир )пГ ап. «-+ао п»ЕН п п-+о» п»ЕН »>»и п>п» Д о и а з а та е л ь с га в о. Рассмотрим сначала первый случай. Положим 41 — — к~-. Тогда д < д1 < 1. Поскольку 1пп каях = д, при г п-+оа Г некотором по имеем р+, 4+1 1 — 4 Вир — < 41 — — — — — д+ — < 1. рп 2 2 п>па Следовательно, ряд ~ ,'рп сходится в силу первого утверждения теоремы 4. Рассмотрим теперь второй случай.

Положим г, = ст2х. Тогда имеем г > г1 ) 1. Поскольку 11пт сазх = г, при некотором п1 имеем оценку »~о» р+1 г+1 и — 1 1пà — )»'1 ао — = 1 + — ) 1. п рп 2 2 »>п» Тем самым ряд Яр» расходится по второму утверждению теоремы 4. Теорема 5 доказана полностью. Замечание. При д = 1 вопрос о сходимости ряда ~,'рп в теоремах 4 и б остается открытым. Для примера можно указать на ряды ~ ,'1/и~ и ~ '1(п, один из которых сходится, а второй — расходится, но в обоих случаях имеем д = 1. Для исследования сходимости подобных рядов требуются более "тонкие" признаки, которые будут рассмотрены позже. Несколько более тонкий признак дает следующая теорема.

Т е о р е м а 6 (признак Коши). Ясли для членов ряда ~',рп с условием рп > О, начиная с некоторого номера по, имеет место неравенство рп < д, где число д < 1 и фиксировано, то ряд ~ рп 1/й сходится. зьа Если же для бесконечно многих и имеем р„> 1, то этот ряд 17» расходится, Д о к а з а тп е л ь с т в о. Рассмотрим сначала первый случай. Последовательно имеем р„< о, р„< о", и так как д < 1, то ряд ~ р„ сходится по признаку сравнения вместе с рядом '1 о". Во втором случае для бесконечного количества значений и имеем р17" > 1, р„ > 1, Это значит, что 1цп р« ф 0 и ряд ~ р„ расходится, »-+о« поскольку условие необходимого признака сходимости ряда 1р„-+ 0 при и -+ оо) не выполняется.

Теорема б доказана. Т е о р е м а 7 1признак Коши в предельной форме). Пусть )Гт Р„~" = 11, » -поп где р„> О при всех и. Тогда прн о < 1 ряд ~ р„сходятся, а пря д > 1 — расходится. 7 о к а з а п1 е л ь с 1п в о. Положим сначала 01 — — + и »4-1 допустим, что д < 1.

Тогда при некотором по > 1 имеем вир р„'~" < д1 < 1. » «>по Поэтому по первому случаю признака Коши ряд ~ р„сходится. Если же д > 1, то при всех п1 > 1 имеем оценку ЗПР Рп > Ч1 » п>«с Это означает существование бесконечного множества значений и, для которых справедливо неравенство р„> д1 > 1. СледоватеЛьно, ряд 17» ~ р„расходится по второму случаю признака Коши.

Теорема 7 доказана. Признак Коши, как и признак Даламбера, является довольно грубым. Он, например, тоже не позволяет решить вопрос о сходимости рядов ~ 1/и и ~ 1~в~. Однако он тоньше или, как еще говорят, сильнее признака Даламбера, поскольку можно указать ряд, к которому признак Коши применим, а признак Даламбера нет, но не наоборот. Точнее, можно доказать, что если для ряда ~р„выполнены условия признака Даламбера с некоторыми й и по, то для него выполнены и условия признака Коши с тем же значением д и, возможно, иным значением по Лекмия 3 6 3.

ОСНОВНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Рассмотренные ранее признаки сходимости рядов относятся к числу простейших и являются исходными для построения основных признаков сходимости. Например, гораздо более тонким признаком сходимости ряда является признак Раабе, который мы сейчас докажем.

Т е о р е м а 1 !признак Раабе). 1. Ряд 1 р„сходится, если для всех и, начиная с некоторого значения по, и некоторого а > 1 имеет место неравенство Рк+1 а — < 1 — —. р„п 2. Ряд 1 р„расходится, если, начиная с некоторого пы выполнено неравенство Рк+1 1 — > 1 — —. р„п Д о к а з а гп е л ь с ш в о.

1. Для доказательства воспользуемся теоремой 3 6 2. Рассмотрим вспомогательный ряд вида 2 1/по, где ф = и+., а > !У > 1. Этот ряд сходится !см. пример 3 к утверждению 1 61). Обозначим. его общий член через о„= 1/по. Тогда при п -+ со имеем Но так как а > Р, то при достаточно больших и, т.е. при и > пы где п| — некоторое число, имеем Чк+1 !у / 1 1 а рп+1 — =! — — +О~ — у! >! — — > —. й„п ~пт / и р„ Тем самым для ряда ~р„выполнены условия теоремы 3 6 2 и поэтому он сходится.

2. При и > 2 положим 6„= „— ', и 61 — — 1. Неравенство п.2 при и > 2 можно переписать в виде 6„+, р„+1 и — 1 1/и — > — = р„п 1/1п— 1) Ь„ Поскольку ряд 2',Ь„расходится (это просто гармонический ряд), по второму утверждению теоремы 3 6 2 ряд 2 р„тоже расходится. Теорема доказана полностью. зво Т е о р е м а 2 !признак Раабе в предельной форме). Пусть р„) О для всех п н существует предел 1пп Ь„= 1пп п 1 — — ) =!. Р»+! ».»»»».»оо Р» Тогда прн ! > 1 ряд ~" р„сходится, а прн ! < 1 — расходится.

Эта теорема выводится из предыдущей теоремы 1 аналогично тому, как теорема 7 З 2 из теоремы 6 Э 2 или теорема 5 6 2 из теоремы 4 1 2. Замечание. Иногда вместо последовательности Ь„в формулировке теоремы 2 рассматривают последовательность В„=а — — 1 =п — — 1 При этом в обоих случаях имеем соотношение О„= р»+!/р» — ! 1 при п -+ оэ. А так как имеет место равенство 6„= В„О„, то 6„В„при п -+ со. Следовательно, в теореме 2 замена 6„на В„допустима. Из подобных соображений неравенство в условии 1) можно заменить на неравенство В„> 1+а, а неравенство в условии 2) этой теоремы— неравенством В„ < 1. Т е о р е м а 3 (признак Куммера).

Пусть (а») н (с») — две последовательности положительных чисел. 1. Если существует о ) О н номер па такие, что для всех п ) по имеем ° а»+! с„— с»+! — > о, а» то ряд 2 а„сходится. 2. Если найдется число иа такое, что прн всех п > па выполнено неравенство а»+! с„— с„е! — < О а» н ряд ~ —, расходится, то н ряд ~ а„тоже расходится. ! Прежде чем перейти к доказательству теоремы 3, обратим внимание на замечательную ее особенность, состоящую в том, что заключение о сходимости выводится относительно одного тольке ряда ~ а„, в то время как вторая последовательность 1с„) никак не фиксируется, что предоставляет воэможности для ее подбора в каждом случае применения признака Куммера к исследованию сходимости конкретного числового ряда. зе! ,о о к а э а т е л ь с та е о теоремы 3.

Без ограничения общности будем считать, что пс = 1, так как ясно, что члены с номерами и < пэ можно просто отбросить. В случае 1 имеем С„ал — С„+1О„+1 > аа„. Суммируя это неравенство по п при всех О = 1,..., т, получивг С1а1 — С,„+1О,»+1 > а(О1+ ° + а,„), откуда С1а1 — С,»+1О~»+1 С1О1 вт =О1+" +ат < < а а Это означает, что все частичные суммы э ряда ~„а„ограничены в совокупности и по теореме 1 3 2 этот ряд сходится. Неравенство п. 2 можно переписать в виде а„+1 1/с„+1 — > а„— 1/с» Но так как по условию ряд ~ 1(с» расходится, то по теореме 3 расходится и ряд 2" а„.

Характеристики

Список файлов книги