Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Для этого достаточно выбрать натуральное число к большим, чем 2М. Другими словами, зэо подпоследовательность зх не ограничена и потому она расходится, как и сам гармонический ряд. Для доказательства сходимосги ряда 2 „— по теореме Вейерштрас- 1 са достаточно доказать ограниченность его частичных сумм (» = 1 т 1/2»+ . + 1/н», поскольку они монотонно возрастают. Рассмотрим какое-либо 6 условием п < 2".
Тогда справедлива следующая оценка 1!11! /11111 (» <(зз =1+ — + ~ — + — ) + ~ — + — + — + — ) +" 2» 13» 4») 1,5 6» 7» 8») 1 1 ~ + 12з-! „)„!)» + + < 2" » / /! 1! (! 1 1 1! <1+1+ ~ — + — )+ ~ — + — + — + — )+... ),2» 2») ),4» 4» 4» 4») 1 1 (2(з-!)» 2(з — !)»з! < 1 1 „, 1 1 < 1+1+ — +2 — + +2 2 2' 2("-') — 1 — 2 -' ' < 1+ Таким образом, частичные суммы 1(„) ограничены в совокупности, что и означает сходимость искомого ряда. Установим теперь несколько простейших свойств сходящихся рядов. Утверисденме 2.
Отбрасывание любого конечного числа членов в бесконечяой сумме или добавление к ней любого конечного числа новых слагаемых ие влияет на сходимость ряда. Д о и а з а т е л ь с и! и о. Рассмотрим случай отбрасывания слагаемых, так как второй случай разбирается аналогично. Итак, пусть мы отбросили члены ряда 2 а„с номерами и! « ° пю Оставшиеся слагаемые перенумеруем в порядке возрастания нх прежних номеров.
Общий член получившейся таким образом последовательности обозначим через 6„. Тогда при любом и! > пз будем иметь ОЪ т-з Е а» = ~ 6» + а», + + а»„. »=1 »=1 Отсюда следует, что последовательности частичных сумм этих рядов п~ га-з з = ~' а„ и з' = ~', 6„ = з„, — а„, — — а„„ сходятся н расходятся »»1 »»1 одновременно.
Утверждение доказано. 351 Утверякдение 3. Если ~ , 'аи сю з и с е Ж, то ~',саи сю сз. Утверисдение 4. Если 2'аи»ю з я 2'6„= 1, то 2 (а«+6„) = з+1. Д о к а з а ш е л ь с т в о утверждений 3 и 4 есть прямое следствие определения суммы ряда и арифметических свойств сходящихся последовательностей зи и $и как частичных сумм рядов ~ аи и 2 6„. Доказательство закончено. Утверждение 5 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд ~ аи сходится, то а„-+ О при и -+ оо, Другими словами, аи есть бесконечно малая последовательность.
Доказаясельство. Имеемаисюзи — зи с. Отсюдапри и -+ оо получим а„-+ з — з = О, что и требовалось доказать. Примеры. 1. Ряд ~ и,( — 1)и ' = 1 — 1+ 1 — 1+... расходится, так как аи»ю ( — 1)и ~ не стремится к нулю. Заметим, что Л. Эйлер приписывал этому ряду сумму, равную 1/2. И хотя в рамках наших определений это неверно, существует иной, более общий взгляд на проблему, и он позволяет придать утверждению Эйлера строгий математяческий смысл. Речь идет о корректной и продуктивной постановке задачи суммирования расходящихся рядов. Например, можно сумму расходящегося ряда рассматрявать как значение особого линейного функционала, определенного на последовательности (аи), и т.п.
Однако здесь мы этих вопросов, по существу, касаться не будем. 2. Ряд ~,'япи расходится. Чтобы доказать это утверждение, «=1 достаточно установить, что равенство 1пп япи = О не имеет места. и-+с« Действительно, пусть япи -ь О при и -+ оо. Тогда, так как вш и = вш ((и — 1) + 1) = вш (и — 1) сов 1 + яп 1 сов (и — 1), яп1 ф О, сов1 ф О, то, переходя к пределу в предыдущем равенстве, получим О= 11ш в(пи =сов1 1пп яп(и — 1)+яп1 1пп сов(и — 1) и-+сю июсю и-+ю» = О + яп 1 1пп сов (и — 1). и-+ю» Отсюда имеем 1пп сов(и — 1) = О. Но тогда при и — > оо и-+сю 1 = (яп и) + (соз и) -+ О + О = О, что невозможно.
Следовательно, ряд ~з1п и расходится, что и требовалось доказать. Рассмотренные примеры показывают, что даже простейшие признаки сходимости ряда оказываются полезными прн исследовании рядов на сходимость. С другой стороны, наличие общего критерия Коши для сходимости последовательности позволяет установить соответствующий критерий и для числового ряда. Т е о р е м а 1 (критерий Коши). Для сходнмостн ряда ~„а» необходимо н достаточно, чтобы для любого е > 0 существовал номер ио = ио(е) такой, что прн всяком натуральном р н всех и > ио(е) имело место неравенство »+р (б»тр 8»( = ~~' апз ( я т=»+! Д о к а з а т е л ь с ш е о. Утверждение теоремы равносильно критерию Коши для сходимости последовательности о» частичных сумм ряда, что согласно определению и есть сходимость его самого. Тем самым теорема 1 доказана.
Теорему 1 можно переформулировать таким образом, чтобы иметь критерий расходимости ряда ~ а» в прямой форме. »+р а >е. т=»+1 »+р а,„ из=»+1 Оприделение 5. Всякое выражение вида з„тр — з» называется отрезком рида ~ а». Примеры. 1. Ряд 1,' ' — '„;" сходится. »=1 Для доказательства воспользуемся теоремой 1.
Имеем ( сов (и + 1) сое (и + р) 1 1 1 1 (и+р)т — и(и+1) (и+р — 1)(и+р) 2 + + < (и.1- 1)з 1 ' Лев» но р ее» инион»»аи» ззз Т е о р е м а 2 (критерий Коши для расходимости ряда). Для расходнмостн ряда '1 а» необходимо я достаточно, чтобы существовало хотя бы одно е > О с условием, что для любого ио > 1 найдутся натуральные и > ио и р, для которых справедливо неравенство 1 1 1 [' 1 1 '1 1 1 1 — — — + . + — < п и+1/ 1п+р — 1 и+р/ п и+р п Требуемое неравенство [и«+р — р„[ < е будет выполнено, если, например, 1/п < е, те.
п > 1/е. Положим пе(е) = [1/е[+ 1. Тогда пе(е) > 1/е и для любого натурального р и любого п > пе(е) выполняются неравенства 1/п < 1/пе(е) < е, [е«ер — р«[ < г, следовательно, по теореме 1 ряд сходится. 2. Гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + ... расходится. Применим теорему 2. При всех п и р = п имеем 1 1 1 1 1 82« — 3» = + ''' + > + ''' + и+1 2п 2п 2п 2 Таким образом, условия теоремы 2 будут выполнены, если положить е = 1/2 и при любом пе > 1 в качестве п и р взять числа п = р = пе.
Тем самым расходнмость ряда установлена. 3. Ряд 1 1 1 ,'у — = — +" + — + п!пп 21п2 п1пп расходится. Действительно, при любом натуральном й имеем 2~+~ 1 Е 2« 1 > п!пп 2"+1(6+ 1) 1п2 2(6+ 1) 1п2' »=2~+1 Следовательно, при 6 > 1 получим 1 1 й 1 ры1 — ее~ — 2(6 + 1) 1и 2 46!и 2 461п 2 4 1и 2 ' + .+ — > — = —. Положим е = 1/(41п2). Тогда, если в качестве п и и+р взять числа п = 2" и п+ р = 2~", то при любом 6 > 1 выполняются условия теоремы 2, и, значит, данный ряд расходится. Обратим еще раз внимание на тесную связь между теорией сходимости рядов и последовательностей.
Мы установили, что всякий ряд порождает последовательность частичных сумм, которая определяет его сходимость. Имеет место и обратный результат, а именно: всякую последовательность можно рассматривать как последовательность частичных сумм некоторого ряда. Действительно, если (Ь„)— некоторая последовательность, то с ней можно связать ряд ~,а„, полагая а1 — — 61 и а„е! = 6»~1 — Ь„при п > 1. Лекпия 2 1 2.
РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Определение 1. Ряд 2„"а„называется рядом с неотрипательными членами, если при всех и имеем а„> О. Ряды с неотрицательными членами — это простейший тип числовых рядов. Их свойства используют при изучении рядов общего вида, и поэтому изложение теории рядов обычно начинают именно с рядов с неотрицательными членами. Для общего члена такого ряда будем преимущественно использовать обозначение р„(вместо а„).
В основном нас будут интересовать вопросы сходнмости этих рядов. Т е о р е м а 1. Для сходямостя ряда 2„р„, где р„ > О пря всех и, яеобходяма и достаточна ограниченность последовательности его частичных сумм. Д о к а э а я! е л ь с я! е о. Пусть в„— и-я частичная сумма ряда 2,р„. Поскольку р„> О, имеем, что последовательность (в„) не убывает. Теперь требуемый результат вытекает из критерия Вейерштрасса для сходимости монотонной последовательности. Доказательство закончено. Пример. Пусть 6„-+ +ос и (6„1 не убывает и положительна. Тогда ряд ~(6„в! — 6„) расходится, а ряд 2 (р!- — 6-! ) сходится. Действительно, для частичных сумм в„и 1„этих рядов имеем 1 1 1 в»=6»ь! 6» т+оо, !»= С 6, 6„+, 6, Теперь требуемый результат вытекает из теоремы 1, Т е о р е м а 2 (прнзнак сравнения).
Пусть 2 р„и Са„— два ряда с неотрицательными членами и пусть, начиная с некоторого па, для всех и > пв имеем О < д» ( р„. Тогда: а) сходямость ряда 2 р„влечет за собой сходимость ряда ~ д„; б) из расходямости ряда 2 й„следует расходямость ряда ~',р„. Д о к а э а я! е .в ь с я! е о. Без нарушения. сходимости можно отбросить первые па членов каждого ряда.
При всех и > па полагаем » » ⻠— Х~~ Рт ~ !» — Х~' дт ° е=»,+! т»»в+! Тогда для любого и > по имеем О < ~„< з,. В случае а) последовательность (зп) ограничена, следовательно, и (гп) тоже ограничена и ряд ~ о» сходится. В случае б) последовательность г„-+ +со, поэтому зп -++сю, т.е, ряд ~ рп расходится, Теорема доказана.
Определение 2. Ряд 2 рп в теореме 2 называется мвжорвнтой длЯ РЯда 2 дп, а РЯд 2 о„— миноРентой длЯ РЯда 2 Рп. ГовоРЯт еще, что РЯд ~ Рп мвисоРиРУет РЯд 2 д», а последний, в свою очередь, его минорирует. Аналогичное определение имеет место и для неотрицательных числовых последовательностей, Схема применения признака сравнения состоит в подборе подходящей мажоранты для доказательства сходимости ряда или миноранты для доказательства его расходимости. Обычно в качестве мажоранты и миноранты используются ряды с общим членом более простого вида, чем у исходного ряда, либо ряды общеизвестные, например гармонический ряд, геометрическая прогрессия и т.д.
Пример. (Признак Разрелсения Коши). Если последовательность ОО »Э Рп > О не возрастает, то ряды ~' рп и ~', 2"рг«сходятся и расходятся п=1 Ь»1 одновременно, ~7 о к а з а т е л ь с т о о. ПосколькУ Рп > О, последовательность частичных сУмм РЯда ~ Рп не Убывает, а любаЯ ее подпоследовательность зп, сходится и расходится одновременно с зп, Далее, для любого натурального и найдется целое число й с условием 2~ < и < 2", Для таких п и /с определим последовательность Ьп = рг«.
Тогда согласно условию выполнены неравенства Ьп = Рг« < Р» < Рг«-« = Ьг«-«, Ь-1 К-1 2 Рг. <Р;- „+ +Р; <2 Рг.— . Следовательно, для частичных сумм ог««и ог* ряда 2 Ьп имеем г« к г« ог« = ~~ Ьп = ~~~ 2~ 'рг < ~~~ рп = »=1 »=1 г"-' г"-' =зг < 2~~' Ь» = ~~' 2 Рг =2ог — . »«»1 Это значит, что ог является минорантой, а 2ог«- — мажорантой для зг«. Таким образом, ряды ~', рп и ~ 2"рг«сходятся и расходятся одновременно, что и утверждалось выше. Идея, заложенная в признаке сравнения, позволяет вывести и некоторые другие полезные утверждения подобного рода. Следующая теорема относится к их числу. Т е о р е м а 3 (обобщенный признак сравнения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
