Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Фуикция 1(х) иазывается гладкой в области П С Ж", если для любой точки х б П оиа является двффереицируемой и ее частные производиые иепрерывиы. Докажем теперь теорему о пеявпой фуикции. Т е о р е м а (теорема о иеявной функции). Пусть: 1) функция т'(х,у) непрерывка в иекоторой с-окрестиости Й точки (а, Ь) б' ЬЬ~; 2) 1(а,ь) = О; для любой точки (х, у) б П частные производиие Ц и э1 являются непрерывными функциями; 4) +эь~ ) О Тогда существует едииствеииая функция у = р(х), определенная в некоторой 6-окрестиости точки а, такая, что; 1) р(а) =Ь; 2) для любой точка х, прииадлежащей 6-окрестиости, имеет место равеиство 1(х,р(х)) = О; Более того, оказывается, что эта функция ~р(х) является гладкой, причем Д(х, у)/„ ~э (х) =— ~„'(х, у)( ззз ,з о к а з а я1 е л ь с т е о. Так как ~„'(х,у) — непрерывна на й и ~„'(а,Ь) > О, то существует замкнутый, квадрат К С й с центром в точке (а,6) и со сторонами, параллельными осям координат,'длины 26, внутри которого минимальное значение ~„'(х,у) равно гп > О.
В силу того, что ~„'(х, у) > О, функцяя У(а, у) возрастает. Далее, так как у(а, Ь) = О, то Яа, Ь+ Ь) > 0 и У(а, Ь вЂ” и) ( О. В силу непрерывности функпии 1(х,у) существует число б > 0 такое, что для любого значения х Е [а — Ь,а+б] тгмеем,г(х,6+ 6) > 0 и у(х,Ь вЂ” И) (О. Отсюда следует, что на отрезке, соединяющем точки А1 — — А1(х) = = (х, 6 — Ь) и Аз = Аз(х) = (х, 6+ 6), монотонная функпия д(у) = у(х, у) обращается в нуль только.в одной точке у,. Каждой точке х е [а — Б,а + 6] поставим в соответствие точку у,.
Оно определяет функцию у = 1о(х) = у„ для которой У(х, у(х)) = У(х, уз) = О, при зтом из равенства г(а,6) = 0 имеем оо(а) = у, = 6. Фунмция 1о(х) и является искомой. Надо только доказать, что у = 1о(х) лифференпируема внутри интервала (а — 6, о + Ь), причем Д (х, ~р(х)) 4(х у'(х))' Докажем сначала непрерывность у(х). Пусть точки х и хо принадлежат интервалу (и — Б, а+6).
Помажем, что Ь1а(хо) = 1о(х)-1о(хо) -+ 0 при Ьх = х — хо -+ О. Положим у = у(х), уа = 1о(хо), Ьу = ЬОо(х). Имеем 1(х,у) = У(хо,уо) = О. Следовательно, лля функции д(1) = у(хо + 1оьх, уо + 1озу) справелливы равенства д(0) = д(1) = О. Фунмция д(1) при любом 1Е [0,1] имеет производную д'(4) = У,'(хо + осъх, до + 1Лу) съх + У„'(хо + 1Ьх, уо + 1Ьу) 0 у. По теореме Ролля существует чясло д Е (0,1) такое, что д'(д) = О. Отсюда получим ~~и У.'И) Ьх ~„'(~)' где б = (хо + дгьх, уо + дну). Следовательно, — ~ ( —, М = щак]у,'(х,у)), гп = пнп]у'(х, у)] > О, ~у~ т.е. величина дк — ограничена.
Поэтому имеем, что б у = (Ь,х дк -+ 0 д при бх -+ О, т.е. р(х) является непрерывной функцией. Кроме того, так как при (Ьх -+ 0 имеем, что 1ху -+ О, то С -э (хе,уе). Далее, в силу непрерывности частных производных ),' и ~„' > 0 получим (Ь,у Д(х, у))„ (е'(х) = !пп д*-+е б,х ~„'(х, у) ! Теорема доказана. Замечания. 1. Случай 1„'(х,у) ( 0 сводится к рассмотренному заменой функции )' на д = -У.
2. Графим функции у = (е(х) является частью линии уровня г = 0 для поверхности г = 1(х,у). С л е д с т в и е (обшая теорема о неявной функции). Пусть: 1) функция )(х,у) непрерывна в некоторой е-окрестности Й точки (а, Ь) = (ам, .,, а„ш Ь) Е 21~; 2) 1(а,Ь)=0; 3) для любой точки (х, у) Е Й частные производные у~-,..., у~— и -~ являются непрерывными функциями; еэ 4) -6ф~ > О. Тогда существует единственная функция у = р(х), определенная в некоторой 6-окрестности точки а такая, что: 1) р(а) = Ь; 2) для любой точки й, принадлежащей б-окрестности, имеет место равенство 1(х, р(х)) = 0; 3) функция р(х) является гладкой, причем У', Р, у)~„ ,(,) (е' (х) =— 4 (х у)1„ ,(,) .Д о к а з а т е л ь с т е о, по существу, дословно совпадает с доказательством теоремы.
Надо только вместо точек (а,б ~ Ь) рассмотреть точки (а, Ьж Ь), а вместо интервала (а — б,а+ 6) — шар 0(а, 6). В.качестве приложения предыдущей теоремы рассмотрим задачу об арифметических свойствах неявных функций, представимых степенными рядами. Приводимый здесь результат является частным случаем одной теоремы Эйзенштейна. Т е о р е м а 2. Пусть задано аагебраическое уравнение г' (х, у) =,0 с целыми коэффициентами, причем Р'(О, 0) = 0 и г'„'(0,0) ф О. Пусть также степенной ряд у = у(х) = 2 а„х" является решением этого а=0 ЗЗ4 уравнения, т.е.
у = у(х) — алгебраическая функция. Пусть, далее, коэффнцяенты аа, й > О, — рациональные числа. Тогда существует такое целое число 1, что при замене х на 1х коэффициенты степенного ряда, получиашегося из ряда у = у(х), будут целыми числами, за исключением, быть может, ао. Д о и а з а я1 е л ь с ти е о, В силу теоремы о неявной функции существует единственная функция уо — — уо(х), удовлетворяющая уравнению Р(х,у) = 0 в некоторой окрестности точки (0,0). Следовательно, эта функция совпадает со степенным рядом у = у(х). Запишем многочлен Р(х,у) в виде Р(х~у) = Ро+ Р|У+ ''+ Кэу где Ро = Ро(х),..., Р,„= Р,„(х) — многочлены от переменной х.
Так как Р(0, 0) = О, то Ро(0) = О. Иэ условия Р„'(О, 0) ф 0 получвм: Р1(0) ф 0 Представим многочлены Ро — — Ро(х),...,Р = Р (х) в следующей форме: Ро =уох+ Ьох + Р, = д, + Л, + ..., у, ~ О, Рт = уш + а эх + Положим теперь < х=у11, г У = У1и1 где 1 и и — новые переменные. Сократим равенство Р(уз11, у1и) ва у~~.
Получим Оо1+ Но1 + + (1+ С11+ Н11 + ...)и+ (С„+ Н„,1+...)и~ = О, где бо Но,, бы Нп ", О~о, Н,,... — целые числа. Из последнего уравнения имеем Сот+ Но1 + 6 +Н 1+... и й., — 1+гз,1+Н1г+ ''' 1+С,1+Н,1г+ Далее при )х) (1 воспользуемся равенством 1 — = 1 — а+ хо —. +(-1)"х" +... 1+к Тогда предыдущее выражение для величины и принимает вид: и = (А11 + Аз1~ +'... ) + (Во + В11 +... ) и~ +.... ззо Будем искать функцию и = и(!) в следующей форме: и = тгС + тг! + тз4 +....
Козффициенты тг, тг,тз,... тогда определяются из равенств пг! = А!, тг = Аг + Вот,, г тз = Аз+ 2Вотгтг+ В!тазы Отсюда следует, что числа тг; тг, тз, ... — целые, Теорема 2 доказана. В частности, из последней теоремы следует, что функции з е = ~ ~—,; 1п(1+х) = ~~~ ( — 1) а=о г=! не являются алгебраическими. Лекция 2б Ь 10. СИСТЕМА НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ Рассмотрим отображение Пусть все функции /1(х),..., /, (х) являются гладкими в е-окрестности 0(а,е) точки а. Тогда такое отображение называется гладким.
Определение 1. Пусть функции /7(х),..., (,„(х) дифференцируемы в точке х б а1ь. Тогда матрица /=.Уу= ~ —,,/с=1,...,т;а=1,...,п; (д,(ь(й) 'дх, имеюрцая т строк и а столбцов, называется матрипей Якоби ото- бражения /(х) = ((~(х),...,~ (й)). Строки матрицы Якоби представляют собой градиенты функций гь(х), Ь = 1,..., т. Пусть т < и. Рассмотрим какие-либо га различных столбцов матрицы /. Они образуют подматрицу /(Ьы...,Ь ) порядка тхт матрицы ,/, где /ры...,/с — номера выбранных столбцов, Определение 2. Определитель Н матрицы /(lсы..., Ьм) называется якобианом (одннм из якобнанов) отображения,/(х) и обозначается так: о(Л" ./) О(хь,,..., хь„) Определение 3. Дифференцируемое отображение /(х) называется невырожденным в точке й = а, если один из якобианов этого отображения отличен от нуля.
Это означает, что: 1) матрица / имеет максимальный ранг или 2) градиенты функций у1(х),..., / (х) — линейно независимы в этой точке. Т е о р е м а (теорема о системе неявных функций). Пусть и = т + р, р > О, и пусть: 1) отображение у'; Ы" -р Гхм — невырожденное в точке (а, Ь), где а = (аы..., ар) и Ь = (Ь,,..., Ь,„), и гладкое в некоторой окрестности О = 0((а, Ь), е) точки (х, р) = (а, Ь); 337 2) /(а,6) = О; 3) Н(у) = ф'-- ~-"~ ~О. Тогда в некоторой окрестности 0(а,а) = П1 С Ят точки а суще- ствует единственное гладкое отображение р(х) = (1е1(х),...,х„,(х)), где й = (хы..., хр), обладающее следующими свойствами: 1) У(а,р(а)) =О; 2) для всех х б 01 имеем )(х, у(х)) = О; 3) Хр(х) = — А ~В, где А =,Уу(у), В =,Уу(х). Здесь А и  — две части' матрицы Якоби 2т, отвечающие пере- менным уы, .., У,„и х ы..., хр соответственно, Другими словами, зта теорема утверждает, что система уравнений )ь(хы...,хюум...,у, ) =О, у=1,...,гп, разрешима относительно переменных у|,, у как функций от переменных (хы...,хр) таким образом, что функпии у, = р1(х),...,у 1е (й) удовлетворяют тождествам Д(х,1е(х)) = ОИ б Йы где 01 — некоторая окрестность точки а, причем: а) )'(а, р(а)) = О; б) у(х,у) ивляется невырожденным гладким отображением в некоторой окрестности точки (а,6) с условием Замечания.
1. Матричное равенство п. 3 дает выражение для всех частных производных вида дав (х) ', й=1,...,гп, е=1,...,р. дх, 2. Если у(х) — линейное отображение, то утверждение теоремы есть простой факт из линейной алгебры о решениих,системы линейных уравнений. ,7 о к а з а гп е л ь с ги е. о. Рассмотрим определитель Якоби Н(у) матрицы А. Разложим его по последнему столбцу.
Получим: Н(у) — Н1 +На + '' +Н д)'1 дУг дУ дую дую ™ дую Так как Н(у) не обращается в нуль в точке (а,6), то по крайней мере один из миноров матрицы А не равен нулю. Без ограничения общности можно считать, что Н1 ф О. зза Будем проводить доказательство методом математической. индукции по числу уравнений пт. При и! = 1 утверждение теоремы доказано в предыдущем параграфе. Предположим, что теорема верна для и! — 1 уравнения, Докажем ее для и! уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
