Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Тогда справедливы равенства Н(хо) = С(Г(хо)) = С(уо) = го. Так как отображение С непрерывно в точке уо, то для любого числа е > О найдется б = б(е) > О такое, что при любом у б Оу(уо,б) имеем С(у) б Ох(го е). зав Далее, в силу непрерывности отображеняя г в точке хо найдется б! = б~(б(с)) > О, такое, что для всякого х Е От(хо, б!) имеем Г(х) Е От(уо,б) м От(уо,б(с)). Отсюда следует, что для всякого с > 0 нашлось б~ = бо(б(с)) > 0 такое, что пря любом х Е Ох(хо, б~) имеем Н(х) = О(Р'(х)) Е Ох(хо, с), т.е.
отображение Н(х) непрерывно в точке хо, что я требовалось доказать. Т е о р е м а 2. Пусть последовательность (х„) в метрическом пространстве Х сходятся к точье хо, а отображение г: Х -э К непрерывно в точке хо. Тогда имеем 1пп г'(х„) = г(хо), т.е. Г(!цп х„) = 1пп г(х„). ,7 о х а э а ш е л ь с гп о о. В силу непрерывности отображения Р' для всякого е > 0 найдется б = б(с) > 0 такое, что для любого * Е Ох(б) имеем г(х) Е Ог(Г(хо),с). Далее, так как 1пп х„= хо, то можно указать по = по(б) = по(б(с)) э-эсо такое, что для любого п > по имеем хв Е От(хо,б). Отсюда следует утверждение теоремы. Задачи.
1. Пусть функция у(х,у) определена во всех точках квадрата К Е Ит, и пусть для любого фиксированного у функция д(х) = /(х,у) непрерывна. для каждой точки х. Тогда внутри квадрата К найдется точка непрерывности у(х,у) как функции двух переменных. 2. Пусть функция у(х, у) определена на мо, и пусть для каждого фиксированного значения одной переменной она является многочленом по другой переменной. Тогда функция у(х, у) является многочленом от двух переменных. 3. Построить замкнутое множество А, содержащееся внутри замкнутого единичного квадрата на плоскости хОу, которое обладает следующим свойством: для любого линейного замкнутого множества Ь на отрезке (О, 1) С Ох найдется точка уь Е [0>1] С Оу такая, что проекция на ось Ох множества точек плоскости, лежащих на пересечении с горизонтальной прямой у = уь, точно совпадает с множеством Е.
о 6. ПОНЯТИЕ КОМПАКТА. КОМПАКТЫ В !йм И ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА !йм СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА КОМПАКТЕ Определение 1. Множество К в метрическом пространстве Х называется компактом, если нэ любого покрытия открытыми множествамн этого компакта можно выделить конечное подпокрытне. Определевме 2. Множество В метрическом пространстве называется огрвммчеввым, если оно содержвгся в некотором шаре 0(хе, г) с центром в точке хе в радиуса г.
Л е ы м в 1, Компакт является ограниченным множеством. Д о к а з а ш е л ь с ю е о. Пусть К обозначает компакт. Возьмем любую точку хе Е К. Тогда шары О„= 0(хо,п) в совокупности покрывают все пространство Х, в том числе и К. В силу компактности К из них можно выделять конечное подпокрытие (Ос, С Ос, С - С Ос., С1 < Сз « " С.; К С Ом), а зто означает, что компакт К является ограниченным множеством. Лемма 1 доказана. Л е и м а 2. Пусть К вЂ” компакт. Тогда любая бесковечяая последовательвосгь (х„) С К имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую К. ,У о к а з а гл е л ь с ш е о.
Будем рассуждать от противного. Пусть последовательность (х„) не имеет предельных точек, принадлежащих К. Тогда любую точку х Е К можно окружить своей е-окрестностью 0(х, е), внутри которой не будет точек из (х„), кроме, может быть, самой точки х. Получим покрытие компакта К открытыми множествами. Выберем из него конечное подпокрытие. Но тогда получим, что точками К, принадлежащими последовательности (х„), могут быть только центры выбранных е-окрестностей, а их конечное число. Следовательно, множество точек последовательности (х„)— конечно. Противоречие. Лемма 2 доказана. Л е м м и 3, Компакт К является замкнутым множеством. Д о к а з а т е л ь с т е о.
Достаточно показать, что компакт К содержит все предельные точки. Действительно, пусть хь любая предельная точка К. Тогда можно указать последовательность (х„) С К такую, что при и ф пт имеем х„ф х и х„-~ хе при и -+ оо. Отсюда по лемме 2 получим, что хе Е К. Лемма 3 доказана, Перейдем теперь к описанию компактов в и-мерном пространстве и доказательству полноты пространства Й". Т е о р е и в 1. Любой замкнутый куб в В", т.е. множество точек й = (хы..., х„) с условием а, < х, < х, +!, з = 1,..., и, является компактом.
Д о к а з а ю е л ь с тл е о, Будем рассматривать только случай Йз, так как общий случай Ж" принципиальных отличий не имеет. Итак, пусть б — замкнутый квадрат покрыт бесконечной системой открытых множеств (У). Надо доказать, что из зтого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Докажем зто утверждение от зго противного. Разделим а на 4 равных квадрата прямыми, проходящими через середины его сторон„параллельно осям координат, Так как квадрат Ь не допускает конечного подпокрытия, то, по крайней мере, один мз четырех новых замкнутых квадратов не допускает конечного подпокрытия. Тогда этот квадрат делим на 4 равных квадрата и т.д. Мы получим систему вложенных квадратов. Их проекции на любую из двух осей образуют систеыу стягивающихся отрезков, которая имеет единственную общую точку, т.е.
существует точка хо на осм Ох, и аналогично, точка уо на оси Оу такме, что хо принадлежмт проекциям всех вложенных квадратов на ось Ох, а уо — проекпмям на ось Оу. Но тогда точка А = (хо,уо) принадлежмт всем квадратам. Кроме того, она покрыта каким-то открытым множеством Уо из покрытия (У). Следовательно, найдется к-окрестность О(А,е) С Уо, целиком накрывающая некоторый квадрат из построенной системы вложенмых квадратов. В частности, таким может быть квадрат Ко с длиной стороны меньшей, чем к/ъ/2 Но тогда квадрат Ко будет покрыт всего лишь одним множеством Уо. Противоречие. Теорема 1 доказана. Т е о р е м н 2.
Пусть для любых двух точек а,Ь б 1к" определено скалярное рроизиедеияе (а,о) и метрика р(а,б) задается ~( и — л с г). т %" с метрикой р является полным. Д о к а з а 1н е л ь с т в о. Достаточно показать, что любая фундаментальная последовательность (х„) сходится к элементу этого пространства.
Очевидно, что '(х„) ограничена, и потому ее можно покрыть замкнутым кубом К. Поскольку К вЂ” компакт, по лемме 2 существует предельная точка хо б К последовательности (х„). Следовательно, (х„) сходится к хо, так как фундаментальная последовательность не может иметь более одной предельной точки. Теорема 2 доказана. Докажем теперь критерий компактности множества в %". Т е о р е м а 3. Мяожестио К С 1с" является компактом тогда и только тогда, когда К ограничено я замкнуто. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если К вЂ” компакт, то по леммам 1 и 3 это множество ограничено и замкнуто. Достаточность.
Проведем доказательство от противного. Сначала в силу ограниченности К поместям его внутрь куба Ь. Предположим, что существует покрытие множества К открытыми множествами (У), не допускающее конечного подпокрытия. Тогда куб а можно разбить на 2" равных куба (аналогично разбмению теоремы 1). Далее возьмем один из получившихся кубов аы не допускающий конечного подпокрытия, и т.д. Последовательность кубов (а„) сходится к одной точке хо, которая является предельной точкой К и потому принадлежит К.
Некоторое открытое множество У б (П) покрывает эту точку. В силу з11 того, что это множество открыто, оно будет покрывать и некоторый куб 6„, что противоречит построению А„. Теорема 3 доказана. Напомним, что числовой функцией на множестве А называется отображение Г: А -+ (й.
Далее под термином "функция" мы будем понимать только числовые функцяи. Докажем несколько свойств функций, непрерывных на компакте. Т е о р е м а 4. Пусть у(х) непрерывна яа компакте К С Й". Тогда: 1) у(х) — ограничена на К; 2) существуют х1, хг Е К такие, что г(х1) = М = эпр )(х), у(хг) = т = 1п1" ~(х). *ЕК аЕК ,У о к а з а т е л ь с т е о.
1) Для каждой точки х б К найдется окрестность 0(х,о(х)) этой точки, в которой функция у(х) ограничена. Эти окрестности образуют покрытие открытыми множествами, Выделим из него конечное подпокрытие и получим, что у(х) ограничена на всем компакте К. 2) Проведем доказательство от противного. Пусть ни в какой точке функция у(х) не принимает максимальное значение. Тогда функция д(х) = 2у+,.~ является непрерывной на компакте К.
Следовательно, по утверждению 1) этой теоремы она ограничена, Отсюда имеем 1 1 О,, «М1, кли у(х)<М вЂ” —, 1 т.е. число М вЂ” ф- — верхняя грань значений функции у(х), меньшая, чем М. Это противоречит определению числа М. В случае нижней грани значений функции у(х) доказательство проводится аналогично. Теорема 4 доказана. г 7. СВЯЗНЫЕ МНОЖЕСТВА И НЕПРЕРЫВНОСТЬ Определение 1. Множество А в метрическом пространстве Х называется связным, если при любом его разбиения па два вепустых яепересекающяхся подмножества А1 и Аг ояя будут иметь общую граничную точку, принадлежащую А, т.е. точку а с условиями: 1) абА; 2) в любой е-окрестности точки а есть как точки из множества А1, так и точки яз множества Аг, отличные от а. Примерами связных множеств на плоскости являются отрезок, прямоугольник, круг.
Связное открытое множество называется областью, а связное множество, являющееся компактом, — континуумом. З1г Т е о р е м а 1. Пусть А — связное множество в %", функция Р(х) непрерывыа ыа А, и пусть суытествуют точки «т, хг Е А, Р(хт) = а, Р(хг) = 6, а < 6. Тогда для любого числа с Е (а,6) существует точка хз Е А такая, что Р(хз) = с. д о к а з а ят е л ь с вг е о. рассмотрим два множества Мт = (х Е А) Р(х) < с), Мг = А ~ Мт. В силу связности множества А сутдествует точка хз, являкнцаяся граничной точкой как для множества Мт, так я для множества Мг.
В каждой из окрестностей 0„= 0(хз,1/и) есть точка а„Е Мт и точка 6„ Е Мг. Последовательности (а„) и (6„) сходятся к хз. Тогда из непрерывности функции Р(х) имеем: Р(хз) = Р( 1пп а„) = 1пп Р(а„) < с, Р(хз) = Р( 1пп 6„) = 1пп Р(6„) ) с, т.е. в точке хз функция Р(х) равна с. Теорема 1 доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
