Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 44
Текст из файла (страница 44)
А это значит, что »-~о« р(А) = ~ , 'рА». Теорема доказана. »=1 Важным следствием доказанного выше свойства счетной аддитивности меры Лебега является измеримость пересечения счетного числа измеримых множеств, а также измернмость объединения счетного или конечного числа измеримых множеств при условии ограниченности этого объединения. В частности, отсюда имеем измеримость любого ограниченного открытого множества как объединения не более чем счетного числа открытых стандартных прямоугольников.
Но 'тогда и любое замкнутое множество будет измеримым как дополнение до открытого множества, а следовательно, будет измеримым по Лебегу и любое не более, чем счетное, объшгинение и пересечение открытых и замкнутых множеств. Докажем еще одно полезное свойство меры Лебега: свойство непрерывности. Т Е О р Е М а 3.
Пусть А1,...,А»,... — ИЗМЕриМЫЕ МНОжветВа, и пусть А = О А» — ограниченное множество. Кроме того, пусть «=1 А1С Ат С С А С .... Тогда р(А) = !1щ р(А»). ,П' о к а з а гп е л ь с п1 в о. Имеем А» = А1 и (Ат ~ А1) О и (А„~ А„1), А = А1 О (А, ~ А, 1), 279 причем для любых э,1 > 2,э ф 1, справедливы соотношения А, и (А, 1 А,,) = а, (А, 1А,,) и (А, ~ А,,) = а. Тогда в силу свойства счетной аддитивности меры получим !цп р(А„) = р(А~) + ) р(А, 1А, ~) = р(А).
Теорема 3 доказана. Отметим, что не всякое множество на плоскости измеримо по Лебегу, но неизмеримые множества имеют довольно экзотический вид. Можно поставить вопрос о том, как связаны между собой понятия измеримых множеств для разных размерностей. Например, если мы имеем измеримую плоскую фигуру Р и будем пересекать ее прямыми, параллельными одной из осей координат. Тогда в сечении будут получаться линейные ограниченные множества. Измеримы ли они по Лебегу? Этот. вопрос на самом деле имеет принципиально важное значение и вот ответ на него. Да, но за исключением некоторого множества прямых, которое в пересечении с другой осью координат образует множество линейной меры нуль. Вообще, если какое-нибудь условие выполнено для всех точек множества М С К, за исключением множества точек М' С М, мера которого равна нулю, р(М') = О, то говорят, что это условие имеет место для почти всех точек множества М.
Термин почти все в смысле меры Лебега означает, что некоторое свойство выполняется на всем множестве, за исключением, быть может, множества меры нуль. Рассмотрим теперь линейную меру Лебега, т.е, меру Лебега для ограниченных множеств на числовой прямой Ж. Очевидно, что счетное множество имеет меру нуль. Возможен тогда второй вопрос: существуют ли несчетные множества меры нуль? Да, существуют, например, канторово совершенное множество М, являющееся подмножеством отрезка (О, 1] и состоящее из тех чисел, которые записываются в троичной системе счисления в виде бесконечной дроби, не содержащей цифры 1. Например, числа 0,2; 0,200202; 0,222...2...
= 1 и т.д. Очевидно, множество М имеет мощность континуума, в то же время оно получается так: отрезок (О, 1] делится на три равные части и выбрасывается средний интервал (1/3,2/3), затем эта процетура повторяется с каждым из двух отрезков, полученных после первого деления, и т.д. Пусть Еэ — исходный отрезок [0, 1], Е( — то множество, которое осталось после первого шага, Ез — множество, оставшееся после второго шага, и т.д. гао Очевидно, Ее Э Е1 Э -' . З Е„Э ... и множество М равно г1 Е„.
че1 Тогда при любом к > 1 для верхней меры множества М справедливы оценки р (М) < ЯЕ„). Очевидно, имеем р(Е,) = ~-) д(Ео) = ~-) -+О при п -+оо. ~з) 1,з) Следовательно, мера множества М равна О. На зтом мы завершаем изучение основ теории меры Лебега. Лекция 16 з 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА Понятие линейной меры Лебега позволяет расширить класс интегрируемых функций с помощью введения понятия интеграла Лебега. Для того чтобы сказать, что это такое, сначала введем понятие измеримой функции.
Определение 1. Функция 1(х), заданная на отрезке[а,6],называется измеримой на этом отрезке, если для всякого у б Ж множество Е точек х е [а,6], для которых выполяяется неравенство 1(х) < у, является измеримым множеством на отрезке [а,6] в смысле линейной меры Лебега. Из свойств меры Лебега, доказанных в предыдущем параграфе, имеем, что вместе с множеством Е измеримыми будут множества точек х б [а,6], для которых справедливы соотношения 1(х) > у, 1(х) = у, х < 1(х) < у. В частности, любая непрерывная на отрезке [а,6] функция 1(х) измерима, поскольку множество 1т — — [х б [а,6]] 1(х) > у) будет замкнутым, а любое замкнутое множество является измеримым.
В качестве второго примера измеримой на отрезке 1 = [а,6] функции 1(х) рассмотрим ограниченную функцию, имеющую разрывы на множестве лебеговой меры нуль. В силу критерия Лебега она будет интегрируема по Риману. Покажем, что эта функция является измеримой. Возьмем любое число у б й. Достаточно показать, что множество 1з-— (хб1Щх) >у] является измеримым. Предельные точки хе множества 1 могут быть двух видов: точками непрерывности функции 1(х) и ее точками разрыва.
Если такая точка хе — точка непрерывности, то она обязана принадлежать 1ю Действительно, поскольку хэ — предельная точка множества 1ю существует последовательность точек х„ б 1„ таких, что !ип х„ = хэ, 1(х„) > у. и-~сю Отсюда в силу непрерывности 1(х) в точке хэ имеем т.е. точка хв принадлежит 1ц. Если же предельвав точка хв множества 1ц не прин1щлежит ему, то она является точкой разрыва функции 1(х).
Обозвачам множество всех таких точек хв через Г. Множество Р амеет меру нуль как подмножество множества нулевой меры Лебега. В салу того, что множество А = 1ц ОР— замкнуто, оно азмеримо. Следовательно, множество 1ц — измеримо, как разность азмерамого множества а множества меры нуль. Тем самым установлена измеримость функции, имеющей множество точек разрыва нулевой меры Лебега, Рассмотрим далее функцию 1(х), заданную нэ отрезке [а,у], ограниченную и измеримую на нем. Тогда для некоторого М > 0 для всех точек х б [а, 6] выполняется неравенство [1(х) ] < М. Отрезок [ — М, М] ва оси ординат разобьем нэ и равных частей: — М < ув < у1 ° ° < У„= М.
Множество точек х, удовлетворяющих условию у, < 1(х) < у,+1, обозначим через Е„ц = О,...,п — 1. Заметим, что множество Е, измеримо. Положим р, = д(Е,). п-1 Определение 2. Сумму Я„= ~„"д,у, назовем интегральной сума=в мой Лебега. Можно доказать, что всегда существует предел 1 = !пп Я«. Этот «-а«а предел называется интегралом Лебега от функции 1(х) по отрезку ь [а,у] и обозначается так: (Ь) ] з(х) Их, а Поскольку для любой интегрируемой по Рыману функцны мно- жество точек разрыва имеет меру нуль (крытерий Лебега), в силу доказанного выше она измерима по Лебегу. Более того, интеграл Лебега от втой функции равен интегралу Римана.
Действительно, пусть Т: а = хв < х1 « " *„= 0 — произвольное разбиение отрез- ка [а,б], Ь1 = [х; 1, х;], Ьх1 = х; — х; 1, пз1 = 1пХ 1(х), М; = вир 1(х). аеа, аеа, Тогда для интеграла Лебега имеют место неравенства пз1Ьх1 < (Ь) / 1(х) 1(х < М1Ьх1. Следовательно, в силу аддитивности интеграла Лебега, для верхней Я(Т) и нижней а(Т) сумм Дарбу получим ц(Т) < (1,) 1(х) пх < Б(Т). а Отсюда, переходя к пределу при диаметре Ьт разбиения Т, стремя- щемся к нулю, будем иметь !пп э(7) = 1цп Я(Т) = (В) /Дх) нх.
дт- о дт- о Таким образом, мы доказали, что интеграл Лебега равен интегралу Римана, если последний существует. Заметим, что поэтому для интеграла Лебега используется то же обозначение, что и для интеграла Римана. Перейдем теперь к рассмотрению неограниченных измеримых функций на отрезке [а,6]. Рассмотрим сначала случай неотрицательной функции у(х). Для любого вещественного числа у определим функцию Д(х) следующим образом: Ь(') = я м Дх), если [,1(х)) < у, у, если [у(х)) > у. Эта функция измерима.
Тогда интегралом от функции Дх) на отрезке [а,6] называется предел ь ь ~(х) Ых = 1цп ~~„(х) Их. Если этот предел конечен, то функция Дх) называется суммнруемой. Очевидно, что суммируемая функция может обращаться в бесконечность лишь на множестве лебеговой меры нуль. Пусть теперь функция у(х) принимает значения произвольного знака. Тогда определим функции Д.(х) = щак(у(х),0), у (х) = гпах(-У(х),1]). Будем говорить, что функция ~(х) суммируема, если суммируемы обе функции,1+(х) и у (х), и интеграл от функции )(х) равен разности интегралов от функций у+(х) и у (х).
Отметим, что в случае ограниченной функции у(х) на отрезке [а, 6] понятия суммируемой и измеримой функций совпадают. Из определения суммируемой функции непосредственно следует, что: 1) вместе с Дх) будет суммируемой функция ],)(х)], при этом модуль интеграла от подынтегральной функции Дх) не превосходит интеграла от модуля этой функции; 2) если Дх) — измерима и ]Дх)~ — суммируема, то функция у(х) — суммируема; гач 3) если ((х) — измерима и модуль ее не превосходит суммируемой функции д(х), то функция Дх) — суммируема; 4) если ((х) — суммируема и д(х) — ограниченная измеримая функция, то их произведение является суммируемой функцией; 6) если ((х) — суммируемая функц1(я и д(х) не совпадает с ней на множестве меры нуль,,то функция д(х) — суммируема, и интегралы от этих функций равны между собой.
Отметим еще, что для интеграла Лебега от суммируемой функции верны те же свойства, что и для интеграла Римана, но кроме этого добавляется еще одно важное свойство: свойство счетной аддитивности интеграла Лебега. Его можно сформулировать так, Пусть на отрезке [а; 6] задано счетное разбиение единицы, т.е. задано счетное множество измеримых функций д„(х), принимающих всего два значения О и 1, причем для любого х Е [а,6] одна и только одна функция д„(х) отлична от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
