Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Тогда интеграл / 1(х) (1х сходится. а Действительно, имеем 3 3. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ И ДИРИХЛЕ Сначала дадим определения понятий абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов. +(.'О Определение 1. Несобственный интеграл 1' 2(х) (1х называется О +(О абсолютно сяодяшнмси, если сходится интеграл ) (у(х) ~ (1х.
а +(О Определение 2. Несобственный интеграл ( у(х) (Ь называется а +(О условно сходншимсн( если интеграл ) у(х) (1х сходится, а интеграл О / Щх) ~ ((х расходится. а Из общего признака сравнения непосредственно следует, что абсолютная сходимость интеграла влечет за собой его условную сходимость. Обратное неверно. Как и ранее, будем считать, что функция у(х) интегрируема на отрезке [е, А] при любом А > а.
249 Первый нз интегралов суммы является +СО грал ( у(х) (1х сходится по признаку ОО сходится при а > 1. собственным, а второй инте- сравнения, поскольку ОО 1 = / 1(х)д(х) Их Ф сходится. Д о к а з а га е л ь с т е о. Поскольку функцвя д(х) на плюс бесконечности не возрастает и стремятся к нулю, для всякого е~ > 0 существует В = В(е~) > а такое, что для всех х > В имеем нераведство 0 < д(х) < е~. Пусть, далее, М = вар(г'(х)~.
Тогда по о>а второй теореме о среднем для любых АмАз, Аз > Аг > В найдется такое число Аз, А~ < Аз < Аз, что вз 1(х)д(х) ах 1 вз д(А~) 1(х) Ых в~ я < с~ 1(х) Их 1 л, в~ 1(х) Нх — 1(х) Ых О О < 2е~М. Если теперь мы зададимся произвольным е > О, то, взяв с~ —— у)й', получим, что для любых А~,Аз, Аз > А~ > В(у)у) выполнено неравенство л, / У(х)д(х) (х т.е.
въцюлняется условие Коши, поэтому интеграл 1 сходится. Тео- рема 1 доказана. +са Т е о р е м а 2 (признак Абеля). Пусть иятегрвл ( 1(х) Нх схо- Ф дится и пусть фуняция д(х) яеотрицвтельяв, мояотоява и ограничена сверху яа промежутке (а, +со). Тогда интеграл 1 = 1(х)д(х) ах а тзо Т е о р е м а 1 (признак Дирихле). Пусть лри любом числе х б (а, +со) фуякцяя Р(х) = ) 1(и) аи ограяичеяв и пусть функция О д(х) яеотрицательиа я, не возрастая, стремится к нулю лри х -+ +со. Тогда интеграл +со СХОДЯТСЯ. +с« ,7 о к а з а ез е л ь с т е о. Поскольку ) 1(х) ах сходится, в силу О критерия Коши имеем: для всякого е1 > О существует В = В(в1), такое, что для всех А1,Аг, Аг > А1 > В справедливо неравенство 1(х) Их < В1. Далее, по второй теореме о среднем существует число Аз, А1 < Аз < Аг такое, что Аз Аз Аз 1(х)у(х) Их = у(А ) У(х) Их+у(Аг) ~(х) Их.
Положим М = вару(х). Но так как «)« 1(х) ах 3 у(х) ух < В1, то получим Аз 1(х)у(х) ззх з < 2МС1, 1(х)у(х) ззх 1 Следовательно, по критерию Коши интеграл 1 сходится. Теорема 2 доказана. Примеры. 1. По признаку Дирихле при а > О сходится интеграл +О« А ) +«Нх, так как для любого А > 1 функция Р(х) = 1'в1пх ах 1 1 огранячена, а при а > О и при х -++ос функция х, монотонно убывая, стремится к нулю. Поэтому, взяв С1 = -$«, будем иметь, что для любых чисел А1, Аг, Аг > А1 > В («гт) справедливо неравенство 2.
Пусть у(х) — мвогочлеп степени большей, чем 1. Тогда +сю сходится интеграл 1 а1п У(х) пх. о Без огранычеыыя общности можно считать, что старший коэффициент мыогочлева у(х) положителен. Тогда, начиная с некоторого А > О, проязводыая его 1'(х) будет положытельна я монотонно возрастать к плюс бесконечности. Достаточно доказать, что сходится явтеграл +СО в (' вту(х) дх. Для любого В > А в интеграле )"е)пу(х) с(х сделаем л Я замену перемевыой ыытегрырованыя у =,г(х), х = у '(у). Получим интеграл У-'1в) У-'(л1 По второй теореме о среднем он ограничен велычыыой ~7П+-„)) в пры А -~ +со будет стремиться к нулю. А зто ы доказывает сходямость ысходыого интеграла. Леннни 11 3 4.
НЕСОБСТВЕННЪ|Е ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА ь ! ='~~(х) !|х. а Замечания. 1, Точка 6 называется особой !почкой интеграла 1. 2. Если предел 1 б Ж существует, то говорят, что несобственный ь интеграл ] 1(х) !(х сходится, а если — нет, то говорят, что этот а интеграл расходится. ь 3. Есля особой точкой интеграла ] 1(х) с(х является нижний предел интегрирования, то несобственный интеграл второго рода определяется аналогично. 4. Если особая точка с лежит внутри отрезка [а,6], то несобствень ный интеграл ] 1(х) !(х определяется как сумма двух несобственных а интегралов: 1(х) |х = У(х) !(х+ 1(х) Нх, Пример.
Справедливы равенства: (.=[-." -'. а а. о+1 х" ~ 1пп ( — 1па), о а а +О+ если аф 1, если а = 1. ! Отсюда следует, что интеграл ] м сходится при о и расходится при а > 1. о < 1 и равен !' Определение 1. Пусть 1) фуикцяя у(х) задана на промежутке [а,6) я не ограничена на ием; 2) для любого о, а < а < 6, функция у (х) ограня чена и иятегрируема на отрезке [а,а]; 8) существует предел 1 = |пп [ 1(х) !|х, а-+ь-, Тогда этот предел 1 называется несобственным интегралом второго рода от фуикцяи у(х) иа отрезке [а,6].
При этом для предела 1 используется обозначение Перейдем теперь к рассмотрению оснорвых свойств несобственного ь ннтеграла второго рода на првмере янтеграла ( /(х) ~Ь с единственной а особой точкой 6. Этв свойства аналогачны свойствам несобственных натегралов первого рода. 1. Критерий Коти сходимости несобственного интеграла епьорого ь рода. Для сходамоста интеграла ( у(х) бх необходимо н достаточно, а чтобы имело место условае Коша: для всякого е > О нашлось число 8 = б(е) > О такое, что пра любых аыаг с условнямя аыаг Е (6 — 6,6), а1 < ам выполнялось неравенство аг /(х) бх 1 2. ОбиЬид признак сраененил. Пусть для всех х Е [а,6) справедливо ь неравенство Щх)! < у(х) и несобственный антеграл ( у(х) <Ь сходится.
а ь Тогда сходится внтеграл ( у(х) Их. ь 3. Несобственный ввтегрел второго рода ( у(х) ~Ь называется абсоа ь лютно сходвпхимся, если сходятся интеграл /(/(х) ~ Нх, н условно сходящимся, если ов сходятся, но ве абсолютно, т.е, вптегрел ь ( ~/(х)~ Ых расходятся. а Можао сформулировать признака, аналогичные прнзвакам Абеля в Дярвхле для антегралов первого рода. И ааконец, любой интеграл с бескоаечными пределами интегрированна (нлн одвам бесконечным пределом интегрирования) и конечным чвслом особых точек можно рассматривать как сумму несобственных интегралов, каждый аэ которых имеет одну особую точку, являющуюся границей отрезка интегрирования (точки +со и -оо также можно считать особыми), т,е. исследование любого несобственного интеграла сводится к несобственным интегралам первого а второго рода. 2ь4 3 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В НЕСОБСТВЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Т е о р е ы а 1.
Пусть производная р'(() непрерывна ва отрезке [а,)у) н отличив от нуля вв интервале (а,)у), я пусть фувкцвя у(х) непрерывна ва интервале (р(а),(в(р)). Тогда ямеет место формула м(Ф) )) /(х) йх = ~((о(())(в'(() й т(а) как для собственных, так в для несобственных интегралов. Д о к а з а щ е л ь с в1 е о. Пусть сначала точки а и )У являются конечнымя.
Тогда особыми точками функций /(х) и ~(р(()) могут быть концы соответствующих отрезков. Ввиду монотонностя функции х = р(() каждое значение * принимается лишь один рвз, когда переменная 1 изменяется на янтерввле (а,)1). Тогда для любых с) > О я ст > О по теореме о замене переменной для собственного интеграла имеем М(в+.,) в+о Переходя к пределу в зтом равенстве прн с1 -ь О и сз -~ О, получим искомую формулу. Если же а я )1 — бесконечны, то, взяв аы)11 б Ж и используя вновь теорему о замене переменной для собственного интеграла, получим в(Ф1) У(х) вх = У(р(())у (() й. / у(а~) Ю! Отсюда, переходя к пределу прн а) -) — оо я р) — ) +со, получим искомое равенство.
Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2. Пусть: 1) фувкцяв у'(х) в у'(х) — непрерывны на промежутке (а, +ос); 2) сходятся хотя бы сдав вз несобственных ввтегрвлов ).ОО +сю /(х)у'(х) 4х в у'(х)у(х) Ых; а а 3) существует предел 11 = 1пп /(х)у(х), а в случае если в а ~ + ОР особая точка, то существует предел 1з = )пну(х)у(х). в-~а Тогда существуют оба интеграла и имеет место равенство б )х)я'(х) бх = )(х)уО~.' — ~ Г')х)Мх) бх а а ,б7 о к а э а об е л ь с вб е о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
