Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Тогда будем иметь 4оь = а"Р (У(к) У(у)) < 2 не а 2(Ь вЂ” а) Отсюда получим о о й(Т) = ~~~ ь~ьАкь < — ~, Акь = — < г- 2(Ь вЂ” а) „, 2 Следовательно, для всякого с > 0 мы нашли число 6 = 6(г) > 0 такое, что для любого разбиения Т с диаметром 1ьт < Ь выполыяется неравенство й(Т) < г, т.е. )пп й(Т) = О. Отсюда в силу критерия аг о интегрируемости следует, что функция 1(к) интегрируема на отрезке [а, Ь]. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2. Всякая функция у(х), ограниченная и монотонная на отрезке [а, 6], ннтегрируема на нем.. ,У о к в з а я! е л ь с са в о. Без ограничения общпости можно рассмотреть только случай неубывающей на отрезке [а,6] функции у(х). Зададимся произвольным числом с > 0 и положим у(6 — 0) — у(а + 0) + 1' ы» = зир (у(х) — у(у)) = ~(х» — 0) — у(х» ! + 0). мяла! Тогда для любого разбиения Т: а = те «х„= 6 с диаметром с»т < б будем иметь а ь й(Т) = ~ ы»Ьх» < б ~, ы» < (~(6 — 0) — ~(а + 0))б < с, »ю! »ю! т.е.
получим, что [пп й(Т) = О, и, значит, в силу критерия интеат-со грируемости функция У(х) интегрируема на отрезке [а, Ь]. Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Всякая ограниченная на отрезке [в,6] функция, нелрерывяая всюду, за исключеняем конечного числа разрывов, иятегрируема на этом отрезке. ,с1 о к а з а я! е л ь с я! в о. В силу критерия интегрируемости функции У(х) в форме !паяй(Т) = 0 нам достаточно для любого с > 0 т построить разбиение Т с условием й(Т) < с. Пусть количество точек разрыва у(х) равно о! и М =- зпр ]у(х)[.
хе[а,а] Каждую точку разрыва Ы„з = 1,..., и!„окружим окрестностью вида Л» — (!1! — ~--,4, + а ~-). Тогда в каждом из отрезков функция у(х) непрерывна, и, значит, по теореме Кантора она является равномерно непрерывной на каждом из этих отрезков, Поэтому мы можем выбрать число б = б(с) > 0 такое, что для любых точек х, р, принадлежащих этим отрезкам, и [х-у] < б, выполняется неравенство [У(х) — У(у)[ < ![6 — '„). Построим теперь произвольное разбиение Тд ука. занных отрезков так, чтобы выполнялось условие с»т, < б. Объединим это разбиение Те с построенными ранее окрестностями точек разрыва, получим разбиение Т отрезка [в,Ь].
Далее имеем й(Т)=й +й, г»о е йг = ~ мьгакь < 2Мог. 4Мтю Маг е с Йг =,~' огьа кь < (Ь вЂ” а) . 2(Ь вЂ” а) 2' Следовательно, 0(г") < е. Теорема 3 доказана. Леи)кви б 3 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рассмотрим свойства интеграла, связанные с автеграруемостью на заданном фвксироваввом отрезке. Множество всех интегрируемых функций ва отрезке [а,б] будем обозначать символом В[о,6] ила просто 1В. Утвервщевие 1. Пусть функция 1(х) отлична от нуля только в 1 точкак. Тогда 1 б 1В и ь 1(х) ь(х = О.
о ,П о к о э о яь е х ь с яь е о. Пусть М = пьах ]7(х)]. Возьмем 1<»б) проазвольвое число с > О и положим 6 =:Дуг. Тогда для любого размеченного раэбиевиа У с условием Ьт < 6 имеем в ]о(У)] = ]~~) у(4»)Ьх»] <1. †. М = — < х. »»л Здесь мы воспользовались тем, что сумма о(У) содержат не более 1 слагаемых, отличных от нуля, и тем, что Ьх» < 6.
В салу произвольности выбора числа х > О мы получим, что 1пп )г(У) =О. а, о Утверждение 1 доказано. Утверждение 2. Пусть функцив 1(х) и д(х) ннтегрнруемы на отрезке [а, Ь]. Тогда Ц функцвя 1(х) +д(х) б В[о,6] я 2) для любого естественного чнспа х функция ку(х) б В[а, 6] и ь ь Ц(х) 6х = 6 Цх) Ых. Д о к а э а т е л ь с т а о. 1) Поскольку г'(х) и у(х) интегрыруемы ва отрезке [а,6] и для любого размеченного разбиения У: а = хо < 6 < хь « ° " 4» < х, = 6 справедливы равенства ау(У) +аэ(У) = ог+ (У), переходя к пределу при Ьт -+ О, мы видим, что предел левой части равеыства существует, следовательно, существует и предел правой части, т.е. функция у(х)+у(х) внтегрируема на отрезке [а,6], и, кроме того, имеет место равенство ь ь ь (~(х)+у(х))ах= ~(х) ах+ у(х) ах.
В случае 2) имеем, что вью(У) = Ьау(У). Из этого следует внтегрируемосгь фувкцив у(х) и выполнение равеыства ь ь / Ьу(х) ах = 6 /(х) ах. а О Утверждение 2 доказано. Утверщданве 3. 1) Пусть фуякцвя Дх) ивтегряруема в яеотряцательяа ва отрезке [а, Ь]. Тогда ь У(х) ах > О. а 2) Пусть функция ~(х) иятегрируема и иео грвцательяа яа отрезке [а,6], и пусть в точке х = хь веярерывяосгв /(х) выцолиеио неравенство у(хо) > О. Тогда ь Дх) ах > О. Д о к а э а т е л ь с т е о. 1) Составим для любого размеченыого разбиения У интегральную сумму а(У). Она — ыеотрыцательна, в, следовательно, интеграл как предел интегральных сумм будет величиной неотрицательной.
2) Посколъку хо — точка непрерывности ы /(хо) > О, существует число о > О такое, что для всех х с условием ]х — хо] < о имеем з(х) > ььрл. Возьмем любое размеченное разбиение У с диаметром тэ оьо < ага. Тогда на интервале (хо — 6, хо + 6) будут содержаться полностью некоторые отрезки разбиения У с суммой длин не меньшей, чем Ео. Отсюда получим о'($ ) > ( о) > О. 2 Утверждение 3 доказано.
Утверждение 4. Пусть функция у(х) непрерывна и 'иеогрицательь иа ва отрезке [а, Ь] я / у(х) Их = О. Тогда для всех точек х б [а, Ь] а имеем у(х) = О. Д о к а з а пз е л ь с пь е о. (От противного.) Допустим, что сушествует точка хо Е [а, 6] такая, что у (хо) > О. Тогда из утверждения ь 3 имеем, что ~Дх) Их > О: Противоречие. О Утверждение 4 доказано. Утверждение б. Пусть а < Ь и иа отрезке [а,6] справедливо яеравевство у(х) > у(х). Тогда имеем ь ь у(х) Их > у(х) Их.
о Ь ~7 о к а з а ш е л ь с пз е о. Рассмотрим функцию Л(х) = ь = у(х) — у(х) > О. Тогда из утверждения 3 следует, что ) Л(х) ~)х > О, а а из утверждения 2 имеем ь ь ь ь ь / Ях) Их = (Л(х)+о(х)) Их = Л(х) Ых+ о(х) ~)х > у(х) Их. Утверждение б доказано. Утверждение 6. Пусть а < Ь и иа отрезке [а,Ь] справедливо неравенство пз < у(х) < М. Тогда имеем гл(Ь вЂ” а) < у(х) ах < М(Ь вЂ” а). а Д о к а з а пь е л ь с т е о. Утверждение б является простым следствием утверждения б.
Ъ'твержденне 7. Пусть функции У(х) иитегрируема иа отрезке [а,Ь]. Тогда функции !У(х)! иитегрируема иа ием и имеет место неравенство ь а ь < / ]У(х)]Их а до к а з а вь е л ь с гл в о. Поскольку ]У(х) — У(у)1> !У(х)1 — ]УЬ)1 нмеем зпр. ]У(а) — УЬ)1> звр (!У(хН вЂ” !УЬ)0, з,оса» з,оеа» и, следовательно, мь(У) > ыь(]У]). Отсюда для любого разбиения Т имеем, что — 1У(01 < У(О < 1У(0! то для любого размеченного разбиения Ь< получим -ощ(У) < о»(Ь') < ощ(Ь<). Переходя в последнем неравенстве к пределу, будем иметь — ] ~л,ьа,</»в<*</~л,»г*.
ь ь т. е. ] У(х) Их < ) ]У(х)]Их. » а Утверждение 7 доказано. Утверждение 8. Пусть У(а) Е Я[а, б]. Тогда Уз(х) Е Я[а, б]. ~7 о к а з а и» е л ь с аь в о. Обозначим через М супремум функции ]У(х)1 на отрезке [а, Ь]. Тогда справедливо неравенство [У ( ) — У (уП < 2М]У(х) — УЬП и, следовательыо, мь(Уз) < 2Ммь(У). Отсюда получим а,.(т) < гма,(т), значит, по критерию интегрируемости функция Уз(х) интегрируема на отрезке [а,б].
Утверждеыие 8 доказано. мь а,(т) > ащ(т). По условию функцвя У(х) иытегрируема на отрезке [а,Ь], следовательно, супьествует разбиение Т такое, что ау(Т) < е. Отсюда имеем ащ(Т) < з. А это по критерию интегрируемости озыачает, что функпия ]У(х)1 интегрируема на отрезке [а, б], Так как имеет место неравенство Утверждение 9, Пусть фуикцив у(х) в д(х) внтегрируемы па отрезке [а, Ц. Тогда их произведение у(х)д(х) также ввтегрируемо иа отрезке [а, 6]. ,Ыохаэашельсшео.
Имеем д 4((У+д) (У д) ) 1 Тогда из утверждений 8 и 2 следует, что произведение функций у(х) и д(х) интегрируемо на отрезке «а,Ц. Утверждение 9 доказано. Т е о р е ы а (об внтегрируемости сложной фуякцив). Пусть у(х) яитегрвруема иа отрезке [а,б], п~= Ы у(х),М = вир у(х), н пусть ее(жь1 ма[а,ь1 р(х) непрерывна на отрезке [щ, М]. Тогда сложная функция 6(х) = ~р(у(х)) иптегрвруема ва [а,ь]. Д о х а з а 1а е л ь с т е о.
Возьмем произвольное е > О. Тогда в силу равномерной непрерывности функции ~р(х) на отрезке [гп, М] имеем, что существует число е = е(е) > О такое, что для лээбых хм хэ Е [гл, М] с условием [х1 — ха[ < е выполняется неравенство [р(х1) — р(хэ)[ < е. Далее, и силу критерия интегрируемости функции у(х) на отрезке [а, б] яайдется раэбвение Т этого отрезка такое, что е Йу(Т) = ~ ыь(1)ььхь < ед, ью1 где ыь(у) — колебание функции у(х) на отрезке Ьь раэбяения Т. Разобьем все отрезки Ьь, х = 1,..., п, разбиения Т на два класса.
К первому классу отнесем те Ьь, для которых справедливо неравенство ыь(у) < е. На этих отрезках также имеет место керавенство щ,(а) < с. Ко второму классу отнесем все остальные отрезки раэбнения Т, т.е. те, для которых ыь(у) > е. В связи с этям сумму йь(Т) представим в виде йл(Т) = Й1 + йг, где Й1 = ~~~, ыь(Ь)Ьхя, Йт = ~~' „~Ъ(Ь)Ьхь, причем знак "штрих" в сумме й1 означает, что суммврованве ведется по 1, отвечающим отрезкам Ьь разбиения Т, относящимся к первому классу, а знак """ в сумме Йт показывает, что суммирование ведется по числам х, отвечающим отрезкам Ьь из второго класса.
Из определения суммы й1 имеем Оценим сверху сумму длин отрезков Ь», принадлежащих второму классу. Имеем б ~~~, ЯЬх» ( ~~~ Яы»(г)Ьх» < ~~~ ы»(у)Ьх» = Йу(Т) ( й. Следовательно, 2 ЯЬх» < с. Пусть С= щах ][о(х)]. Тогда для суммы йз получим оценку »е[т,м] йт — ~~~ аы»(Ь)Ьх» ( 2С~~~ "Ьх» < 2Сс. Таким образом, имеем й»(Т) < с(6-а+2С), т.е. в салу провзвольности выбора числа с > 0 получим соотношение 1п1Й»(Т) = О, т а зто в салу критерия внтегрвруемости означает, что А(х) = р(7(х)) внтегрвруема на отрезке [а, о].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
