Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Но так как длиаа промежутка /(1/и) стрематся к нулю пра и, стремящемся к бесконечноста, то имеем 1пп х„= 1пп у„= хо «ча« «-!с« Переходя в последнем неравенстве к пределу, используя вепрерыввость функции /(х) в точке хв, получим О > у > О. Имеет место противоречие. Следовательво, вбей(хв) = О. //остаточмость. Нам дано, что ь!б(хв) = О. Но тогда для всякого б > О существует б = б(б) > О такое, что для любых х,у Е 1(б) амеем ]/(х) - /(у) [ ( б.
Положим здесь у = хв. Тогда получам условве непрерывности функции /(х) в точке хв. Лемма доказана полностью. /б о к а э а бп е л ь с т е о критерая Лебега. Необходимость. Нам дано, что функция /(х) автегрируема на отрезке [а, Ь]. Надо доказать, что маожество Р точек разрыва фувкциа /(х) имеет лебегову меру нуль. Предположим противное, т.е. что множество Р ве является множество нУлевой меРы. Тогда сУществУет число бв > О такое, что длЯ любого множества интервалов, покрывающих множество Р, Р с () 1«, ««1 найдется натуральное число но с условием б1+ +б„, > со. Отметим, что число но зависат от последовательности интервалов (1„).
Рассмотрим теперь любое разбиение Т отрезка [а, 6]. Среди отрезков '[х»-ь х»] разбиения Т выделим те, внушри которых содержится хотя бы одна точка множества Р. На каждом таком отрезке [х» ьх»] колебание функции 1(х) не меньше, чем а. Сумма длин зтих отрезков будет не меньше, чем со, поскольку множество Р содержится в них, за исключением, быть может, конечного числа точек, попадающих в точки х» разбиения Т. ( Если бы оказалось, что сумма длин указанных отрезков [х» м х»] была бы меньше, чем со, то, покрывая точка х» б Р конечным числом антервалов так, чтобы общая сумма длан всех интервалов, покрмвающих Р, оказалась меньше, чем со, получим систему интервалов, покрывающих Р и имеющих общую дливу, меньшую, чем со, что невозможно.) Таким образом, для любого разбиения Т отрезка [а,6] имеем й(Т) > асо. Следовательно, [пг й(Т) > асо > О, а зто в силу критерая ивтегриру-. т емости функциа по Римаву означает, что функпая 1(х) ве является интегрируемой.
Противоречие. Необходимость доказана. Досшашочность. Для любого с > О построим разбиение Т такое, что й(Т) < о. Пусть М = шах [1(х)[. Положам б = Ду,а = ~6 — ';[. хо[а,»] Так как множество Р имеет лебегову меру нуль, то его можно покрыть системой интервалов 1, имеющих сумму длин меньшую, чем б. В каждой точке хо множества К = [а,6]~ 1 колебание функбаи 7(х) равно О, позтому существуег интервал, покрывающий эту точку хо, на котором колебание функцаи будет меньше, чем а. Итак, получим систему интервалов,7, покрывающих множество К. Из системы интервалов 10 1 покрывающих отрезок [а, 6], можно выделать конечное покрытие [а,6].
В качестве точек х» разбаения Т концы интервалов этого конечного покрытия. Сумму й(Т) представим в ваде й(Т) = Й1 + йю где Й1 и йо представляют собой суммы слагаемых вида ш»Ьх», причем в первой сумме Й1 переменная суммирования 6 пробегает значения, удовлетворяющие условию (х» 1, х») С 1, а все оставшиеся значения 6 входят во вторую сумму Йо.
Тогда для Й(Т) получим оценку вида й(Т) = Й1 + йз < 2Мб+ а(6 — а) = — + — = о, 2 2 Отсюда в силу того, что [п1Й(Т) = О, следует автеграруемость т функцаи 1(х). Теорема доказана полностью. При использоваяви критервя Лебега (в частности, для доказательства иеивтегрируемости функции по Римаву) иногда бывает полезна другая его формулировка в виде приведецвой ниже, теоремы, Докажем сначала одно вспомогательное утверждение — лемму 2.
Пусть Р(а) обозначает множество точек отрезка [о, 6], для которых выполиеио неравенство м(х) > а. Л е м м а 2. Множество точек Р(а) является замквутым. ,О о я о 'з о т е л ь с т в о. Пусть хо является предельной точкой множества Р(а). Тогда существует последовательность (х„), сходящаяся к хо при я — б оо, причем колебание фуикцик 1(х) в точках х„ве меньше, чем а, т.е. ыб(х„) > а. Заметим, что каково ви было число Б > О, вайдется член последовательности х„Е 1б(хо). Положим Бб = поп(х„— хо+Ахо+Б — х„) т.е.
велячива Бб равна расстоянию от точки х„до грапиц ивтервала 1б(хо). Тогда получим, что 1б,(хн) С 1б(хо) Отсюда имеем Мб(хо) — пы(хо) > Мб,(хн) — тб,(хн) > ыб(хн) > а. Так как при произвольном числе Б > О имеем неравенство Мб(хо)— тб(хо) > а, то шГ(Мб(хо) — тб(хо)) = мб(хо) > а. б>0 Следовательно, всякая предельная точка множества .Р(а) привадле- жвт ему самому, т.е. Р(а) — замкнуто. Лемма доказана. Т е о р е м а. Для того ятобы ограввчеввая да отрезке (о,6) фувхцяя была яытегрируема по Рямаяу, веобхсдимо я достаточно, чтобы для любого а > О мяожество Р(а) имело лебегову меру вуль, Д о.
я о з о т е л ь с т в о. НеоБходимость. Поскольку функция 7(х) иятегрируема по Римаву, по доказавиому выше критерию Лебега мера множества точек разрыва ее равва нулю, р(Р) = О. Но для любого а > О имеет место следующее включение Р(а) С Р. Следовательно, р(Р(а)) = О. Необходимость доказана. ,достаточность. Очевидно, Р = 0 Р(1/п). По условию теоремы пи1 для любого иэтуральцого числа и имеем р(Р(1/п)) = О. Следовательно, р(Р) = О, и по критерию Лебега функция б(х) ивтегрируема. Теорема доказана.
Глава 1Х НЕСОВСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Леипня 10 1 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА Наша дальнейшая цель состоит в распространении понятия интегрируемости функции по Риману на новые классы функций, а именно: 1) на функции, заданные на бесконечном промежутке; 2) на неограниченные функции.
Понятие предела, которым мы владеем, позволяет достичь этой цели без особого труда, а обобшение понятия интеграла Римана при этом называется несобственным интегралом. Для первого случая интегралы типа (Ю Ю ОО Дх) 4х, ~(х) ь(х, Ях) Их называются несобственными интегралами первого рода, во втором случае, когда функция у(х) является неограниченной на конечном ь отрезке [а,Ь], интеграл 1 У(х) ~(х называется несобственным инте- а тралом второго рода.
Случай, когда и промежуток интегрирования, и сама функция не ограничены, не вносит ничего нового в эту проблематику, так как его можно свести к случаю несобственных интеграаов первого и второго родов простым разбиением промежутка интегрирования на части, и потому отдельно мы его рассматривать не будем. Разберем более подробно понятие несобственного интеграла первого рода, при этом остановимся только на случае интегралов вида ( у(х) 4х. а Определение. Пусть а — вещественное число и пусть для любого А > а функция у(х) иятегрируема по Рямаяу на отрезке 1а, А) и Р(А) = У(х) ах.
а Если при А -++оо существует предел 1пп г (А), Я.а+со то этот предел 1 «азывается несобственным интегралом первого рода от фуикции 1(х) яа промежутке (а, +оо). Для интеграла 1 используется обозначение: 1=1"ло * = 1'ле *) а а Если предел 1 существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится, Если же этот предел не существует, то выражение ) 1(х) 11х а понимают как некий символ, который тоже называют несобственным интеграпом, во говорят Про него, что ои расходится. Аналогично определяется несобственный витеграл вида а а 1(х) 11х = 1пп 1(х) 11х, +со а песобствеипый интеграл ) 1(х) Нх понимают как сумму двух несобственных интегралов оо о +со 1'леа= 1'ле *+ 1'л*1а*.
Замечаипя. 1. В отличие от несобственных интегралов обычный интеграл Римана по конечному промежутку называется собственным. 2. Из свойств собственного интеграла и определения ыесобствепвого интеграла для любых вещественных а и Ь тривиально имеем ь +со +оо „~1(х) ах+ ~ 1(х) ь1х= ~ 1(х) 11х, Примеры. 1. При а > О справедливо равенство 1пп -~ — (А' " — а' ), если о р 1, + 1-а 1пп (1 и А — 1и а), если а = 1. а Л.а+ Отсюда следует, что этот интеграл сходится при а > 1 и равен — а', и расходится при а < 1.
2. При натуральном числе и интегрированием по частям получим 1"е Й = и!. о $2. КРИТЕРИЙ КОШИ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ у(я) бе 1 Символически это условие Коши можно запнсать так: Чс > ОВВ = В(е) > О: Ъ'Аы Аз > В =ь у(й), бх 1 Т е о р е м а 2 (общий признак сравнения). Пусть для всех х б [а, +со) справедливо неравенство 1У(я) ~ < д(х) и пусть интеграл +оэ +СО ) д(х) ея сходится. Тогда будет сходиться интеграл' ( у(я) бх. а О Д о к а з а ш е л ь с ш в о.
Докажем, что выполнено условие Коши для сходимости несобственного интеграла от функции у(я). В силу сходямости интеграла от функции д(х) имеем, что для любого г > О существует В = В(е) > О такое, что при любых АОАм А1 > Ат > В Ад справедливо неравенство ( д(х) ея < в. Но поскольку А1 1™ ~~ 1 < / ~,Г(е) ~ ох < ~ д(х) бее< в, А» А1 г4В Из критерия Коши существования предела функции при А -+ оо непосредственно получается следующая теорема.
Т е о р е м а 1 (Критерий сходимости несобственного интеграла +00 первого рода). Для сходимости интеграла ( ~(в) бе' необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, т.е. чтобы для всякого в > О существовало число В = В(е) > О такое, что для всех чисел Аы Ам больших В, выполнялось неравенство условие Коши выполняется и для интеграла от функции у(х) с тем же самым В = В(е). Теорема й доказана. Пример. Пусть при некотором а > 1 и при х -+ оо выполняется неравенство т.е. пусть существуют с > 0 и хс = хс(с) > 0 такие, что Щх)! < сх +(О при х > хс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
