Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Если применить к остатку Я„(а,6) теорему о среднем, то можно получить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха — Роша, но, правда, при более жестких условиях на' фуякцню Дк). Действительно, при любом а > О имеем 11„(е, Ь) = — у!«ы)(1) (Ь вЂ” !)«+1 — (Ь вЂ” 1) — ' !! = 1 Г в! О = — У "~'~(с)(6 — с)"~' (6 — а) 1 в!а где с — некоторая точка интервала (а, Ь). В' качестве примеров получим формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме для некоторых элементарных функций при а = О и 6 = к. В двух первых примерах воспользуемся формулой Тейлора из доказанной выше теоремы, а в остальных ее вывод. мы упрощаем за счет применения специальных приемов. 1 Покаэатпельная Ь!увк1!ия.
Из теоремы следует, что 2 « е =1+*+ — +".+ — +21» 2! в! где ! «+1 )Ь В (О ) О Ои(1 )«,Оп в! о 2. Тригономеп2рические функции. Имеем где 1 11» .2»+1 г В = ' / (1 — и) "+'сових Ыи, (2п + 1)!,/ о 1 ( — 1)" х2" Г ( (1 — и)2" соо их йю (2л)! у о 3. Логарифмическая функция. Пусть у(х) = 1и (1+ х). Тогда по формуле суммы геометрической прогрессии получим у'(х) = — = = ~ (-х) +— о (*) 1+ г 1 — (-г) 1+к Интегрируя это равенство пределах от О до х, найдем ( 1)о 1хо Г григ ~(х) =1п(1+х) =~~~ +В„, В„=( — 1)" / —.
2=1 о 4. Аркп2ангенс. Пусть Дх) = агсоях. Тогда Проинтегрируем это равенство в пределах от О до х. Получим »-1( 1)» 22+1 » ~12»ф1 ' агс2ях = ~~~ + В„, В» = (-1)" / —. 2к+1 ' / 1+22' о=о о Из теоремы о среднем следует, что существует величина д = о(х) такая, что О < У < 1 и ( 1)» 2»+1 И = — —. 1+ ох2 2п+ 1 Отсюда имеем, что при )х) < 1 предел В„равен О прн и -о оо, т.е. СО прн ф < 1 сходится ряд ',2 ~~~х~"~' н он равен агс2ях. о=о 235 ( — 1)" 1хоо (2к — 1)1 »-1( 1)йх2в =Е („) +"- 5. Формула 6инома.
Пусть |(х) = (1+х) . Ранее было доказано (ч. 1, лекция 23, пример 5), что многочлен Тейлора у(х) = у„!(х), и > 2, этой функции в окрестности точки х = 0 имеет вид з-! у(х) = 1+ ох+ + х" = ~~! аьх, (и — 1) (! и, более того, ряд Тейлора ~, 'аьх" сходится при ~!х~ ( 1 и равен а=о (1+я) . Далее, функция у(х) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению: ау(х) — (1+ х)У'(х) = О. Подставляя в зто уравнение вместо функции у(х) ее ряд Тейлора и приравнивая к нулю коэффициенты при степенях аргумента х, получим равенства Лаз — (а — Л+ 1)аь ! — — О, Л > 1, Отметим, что справедливость их можно проверить непосредственно.
Найдем формулу для выражения Л(х) = ау(х) — (1+ я)у'(х). Имеем п-! Л(х) = а ~~! аьх" — (1 + х) ~~! Йаьх" = ) ааьх" — ~(Л + 1)аль!х" — ~~! Лаьх" = з-2 = (аао-а!)+~~! ((а — Л)аь — (Л+1)аз+!)х +(аа„! — (и — 1)а„!)х" = (а — и+ 1)а„!х" ' = за„х" Следовательно, остаточный член В = В„(х) = У(х) — у(х) формулы Тейлора удовлетворяет уравнению о — (1+ х)В' = па„х" т.е.
справедливо равенство (1 .1. х)а' (] + х)а+1 Интегрируя его в пределак от О до х, получим 1»-1 11 Я= В (х) =па„(1+х) / о Таким образом, мы доказали, что имеет место формула а(а — 1)... (а — и + 2) (1+х)» !+ах+ + (и — Ц! х»- +, 1 а(а — 1)...(а — »+1)»» ( и" пи о + 2) 2 (и — 1)! 1 хо~'-1~«хо» ! / (1 — хои)»+' о (и — 1)! Далее, имеем (--') ( — -' — 1)...
( — -' — !о+ 1) . «(2Й вЂ” 1)(! «(2/с — 1))! 2«(! ( ') (Ы)!! Следовательно, 1 1 (2и 1) и х2» и»-1~!и )г) <— 2 (2и — 2)!! Я вЂ” хо,/ ~/1 — и о Используя формулу понижения, получим 1 1 и" 1Ии Г о „(2и — 2)!! ~/ — / (2и — 1)!! Отсюда имеем хо» (г( < ~/1 — х1 6. Арксинус. Пусть у(х) = агсз1п х. Тогда имеем у (х) = (1-х ) ! о — 1/о Отсюда по формуле бинома получим /г г/г < ~~~! (/(х)[г — ~ + ~~~! [у(х)[г — ) /!ы! й=! или Последнее же неравенство есть неравенство Минковского для сумм (18 гл.
!!). Теорема 2 доказана. Т е о р е м н 3. Пусть функции /!(х),..., /„,(х) интегряруемы па отрезке [а,6). Тогда справедливо неравенство !/ ,// о к а з а п! е л ь с т е о. Разделим отрезок [а,6] на и равных частей и положим хь = а+ ~=„~/с, /! = 0,1,..., и, Для соответствующих интегральных сумм должно иметь место неравенство ф Действительно, оно выводится из следующей цепочки соотношений /,(хк) = ~~!, ~~! У,(хк,) ~ ~Л(хь,) ж ОЪ е ш ,Д(хь,) = ~~! ~~! Д(хь) сец ь=! Заметим, что неравенство в этой цепочке соотношений следует из неравенства Коши. Теорема 3 доказана.
Лекп,ии 9 ~ 7. КРИТЕРИЙ ЛЕЕЕГА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ Ранее мы доказали и уже неоднократно использовали критерий интегрируемости функции на отрезке, принадлежащий Риману. Этот критерий имеет вид: ограниченная на отрезке функция интегрируема тогда и только тогда, когда имеет место одно из эквивалентных соотношений: а) 1пп П(Т) = О или 6) 1п1П(Т) = О, агеэ т где понятие омега-суммы определено ранее (лемма 6 зЗ главы ЧП). Как видим, этот критерий непосредственно ничего не говорит о том, какие именно функции интегрируемы по Риману, а какие — нет.
На данный вопрос и отвечает критерий Лебега. Для его формулировки определим понятие множества, имеющего нулевую меру Лебега. Определение. Множество А точек на числовой прямой ямеет лебегову меру нуль, если для всякого числа г ) О существует конечное или счетное покрытие А иятерваламн с общей дляной, не превосходящей г. Другими словамя, для всякого г ) О найдутся интервалы 1ю..., 1„,... с дляиамя нх соответственно б1,..., б„,... таких, что А С 0 1» и для любого натурального и имеет место »»и неравенство г» = б1 + ° . + б» ( е Это обозначают так: р(А) = О.
Утвервщение 1. Любое не более чем счетное множество точек (а») яа числовой прямой имеет лебегову меру нуль. Действительно, можно взять интервалы с центрами в этих точках и длинами б1 — — г/2,...,б„= г/2",.... Тогда имеем Е е / 1 8»= — + ° + — =г 1 — — Сг. 2 2" 1, 2" ) Утверждение 2. Пусть В С А и р(А) = О. Тогда и р(В) = О.
Д о к а з а ю е л ь с ю в о. Утверждение следует из того, что всякое покрытие множества А интервалами является и покрытием для множества В. Теперь сформулируем критерий Лебега. гн Т е о р е м и 1. Для того чтобы ограниченная на отрезке [а,6] фувкцня у(х) была ввтегрируема ва вем, необходимо и достаточно, чтобы множество А — точек разрыва этой функции имело лебегову меру нуль, т.е. д(А) = О. Прежде чем доказывать этот критерий, дадим его применепия. Т е о р е м а 2.
Пусть функция й(х) ивтегрируема на отрезке [а, 6] и п~ = иК- й(х), М = эпр у(х), и пусть функция 1(1) непрерывна эе]4 ь] гв[а,ь! ва отрезке [пч, М]. Тогда функция,~(й(х)) интегрируема на «а, Ь]. ,Ы о к а э а:ю е л ь с гл в о.
Пусть хэ — точка непрерывности фувкцвв й(х), тогда по теореме о яепрерывноств сложной функцвв Ь(х) = у(й(х)) является непрерывной функцией в точке хе. Следовательно, точками разрыва функцив Ь(х) могут быть только точки разрыва функции й(х). Пусть А — множество точек разрыва а(х), а  — множество точек разрыва Ь(х). Тогда имеем В С А, Поскольку функция у(х) внтегрируема на отрезке [а, 6], по критерию Лебега получим, что р(А) = О. Отсюда в силу утверждения 2 имеем р(В) = О.
Такам образом, по тому же критерию Лебега функция Ь(х) = Ду(х)) является интегрируемой па отрезке [а,Ь]. Теорема 2 доказана, Т е о р е м а 3. Пусть функция /(х) монотонна на отрезке [а,6]. Тогда она интегрируема яа отрезке [а, Ь]. ,а о к а э а т е л ь с т в о. Покажем, что множество точек разрыва функции у(х) является счетным. В главе ]Ч 63 (теорема 1) доказано, что у(х) 'имеет разрывы только первого рода.
Пусть хе — точка разрыва, тогда в этой точке существуют левосторонний и правосторонний пределы: ]пп /(х» = 1м 1пп у(х» = 1э, причем Ф +ке- йнса+ 1~ ф!э. На интервале с концами в точках 1~ п 1э можно выбрать рациональное число г, в зто рацвональное число поставим в соответствие данной точке хо. Множество всех выбранных таким образом рандональных чисел г, как подмножество всех рациональных чисел, является не более чем счетным. По утвержденвю 1 не более чем счетное множество имеет лебегову меру, равную нулю. Следовательно, согласно критерию Лебега монотонная на отрезке функция будет интегрируемой на этом отрезке. Теорема 3 доказана.
$8. ДОКАЗАТЕЛЪСТВО КРИТЕРИЯ ЛЕБЕГА Пусть функция /(х) ограничена на отрезке [а, 6]. Обозначим через ( = Щхэ) промежуток (хэ — Ь,хе+ 6) О[а,Ь], если хэ — внутренняя точка отрезка [а, Ь], и соответственно, промежуток [а, а+б) ила (Ь вЂ” б, Ь], если хо = а влв хв = Ь. Определение. Колебанием фувкпббв /(х) в точке хв назовем величину ь)(хв) = !ба(хв) = (пГ впр (/(х) — /(у)), б>0, Веб(б) другими словабаг, величина м(хв) определяется равенством м(хв) = )пав(Мб(хв) — и!б(хв)), б>в где Мб(хв) = вир /(х), бпб(хв) = 1и! /(х).
«еб(б) «вб(б) Имеет место следующий критерий непрерывности функцаи в точке. Л е м м а 1. Функция /(х) непрерывна в точке хв тогда в только тогда, когда колебанне мб(хв) функциг /(х) в точке хв равно О. /б о к а э а бп е л ь с т е о. необходимость. Предположим противное, т.е., что амеет место равенство ь!б(хв) = а > О. Рассмотрим последовательность б„= 1/и, и = 1,2,.... Пусть / = /(1/и), В силу определеаая инфимума имеем вир (/(х) — /(у)) = М! !„(хо) — т! !«(хо) > о «,ввб Данее, в силу определеввя супремума получим, что существуют точки х„, у Е /(1/и), такие, что /(х«) — /(у«) > в > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
