Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Теорема доказана. з 10. АДДИТИВНОСТЪ ИНТЕГРАЛА РИМАНА Свойство аддитивности интеграла выражается следующим утверждением. Т е о р е м а. Пусть функция г(х) иитегрируема иа отрезке [а,о]. Тогда для любой точки с б [а,6] она интегрвруема иа отрезках [а,с] и [о,ь]. И наоборот если у(х) интегрируема на [а,с) и [с,ь], то оиа нвтегрнруема иа [а, Ц, причем с ь ь у(х) Нх+ у(х) Их = Ях) Их Д о к а з а щ е я ь с щ е о. Пусть функция у(х) внтегрвруема на отрезке [а, Ц.
Тогда и силу критерия интегрвруемости имеем, что Ый(Т) = О, т.е. для любого с > 0 существует разбвение Т такое, что т Й(Т) < с. Рассмотрим разбиение То = Т[.](с),отрезка [а,6]. Получим Й(Тс) < й(Т) < с. Разбиение То можно представить как объединение разбиений Т, отрезка [а,с] в Тг отрезка [с,о]. Позтому й(Т») + й(Тт) = й(То) < с. щт Следовательно, й(Т1) < Е, й(Т2) < Е. В силу инфимум-критерия интегрируемости функции у(х) отсюда имеем, что у(х) ннтегрируема на отрезках [а,с] и [с,6]. Пусть теперь у(х) интегрируема на [а, с] и [с,6]. Тогда для любого е > О существует разбиение Т1 отрезка [о,с] и существует разбиение Т2 отрезка [с,Ь] такие, что е е й(Т1) < —, й(Т2) < —. 2' 2' Следовательно, для разбиения Т = Т1 0 Т2 отрезка [а,6] имеем й(Т) =й(Т,)+й(Т,) < '+' =, 2 2 Отсюда в силу инфимум-критерня интегрируемости у(х) следует, что у(х) является интегрируемой на [а,6].
Возьмем произвольные размеченные разбиения отрезка ~~ отрезка [о,с] и И2 отрезка [Е,Ь], У= 61 О 1~2 отрезка [а,6]. Имеем равенство н(1 ) — н(11) + н(62). Переходя в нем к пределу при с1г -+ О, получим равенство (1). Теорема доказана. По определению, положим, ~(х) Их = ~(х) Их = О. Пусть Дх) интегрируема на [с,а]. Тогда цри с < а, по определению, полагают с а Дх) ах = — 7(х) ах.
В силу этого определения утверждение теоремы можно переформулировать так. С л е д с т в и е. Пусть хе < х1, а,6,с б [хе, х1] и фувкцяя Дх) интегрируема на отрезке [хе,х1]. Тогда ь Я у(х) 1(х + у(х) ~(х + /(х) Нх = О. а с ь Здесь утверждается также, что интегралы на указанных отрезках с концами а,6, с существуют. Для доказательства ввиду симметричности равенства относительно точек а,6,с достаточно рассмотреть один случай а < с < 6. Но это точно совпадает с утверждением теоремы.
Глава ч'111 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА РИМАНА Лекция 6 1 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА КАК ФУНКЦИЯ ОТ ЕГО ВЕРХНЕГО (НИЖНЕГО) ПРЕДЕЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА В предыдущей главе доказано, что если функция у(х) интегрируема на отрезке [а,6], то для любого х б [а,6] она интегрируема на отрезке [а, х], т.е.
существует функция Р(х) = у(и) аи. О Докажем несколько свойств этой функции. Т е о р е м а 1. Пусть ~(х) ннтегрнруема яа отрезке [а,6]. Тогда Р(х) = ] у(и) аи является непрерывной функцией на этом отрезке. а ,П о к а з а т е л ь с га е о. Иэ интегрируемости функции у(х) следует, что она ограничена на отрезке [а,6], т.е. найдется постоянная М > О такая, что для всех х б [а,6] выполняется неравенство ]/(х)] < М.
Возьмем любые точки х, х+ Ьх б [а,6]. Имеем о+ах ]АР(х)] = [г (х+ Ьх) — Р(х)] = ] у(и ди)[ < ]у(и)] йи < М]Ьх]. Зададимся произвольным числом е > О. Тогда для любой величины Ьх с условием ]Ах] < ф имеем ]Ьг'(х)] < е. Следовательно, функция ЬР(х) является бесконечно малой при Ьх -е Опт.е, функция Р(х) непрерывна на отрезке [а,6]. Теорема 1 доказана.
Т е о р е м а 2. Пусть функция у(х) ннтегрнруема на отрезке [а,6] н непрерывна во внутренней точке хо этого отрезка. Тогда Р(х) = [ у(и) би диффереяцируема в точке х = хо н Р'(хо) = ~(хо). а Д о к а з а тв е л ь с щ е о. В сялу непрерывности функции .((х) в точке хо для всякого числа е > О существует б = б(е) > О 919 такое, что для всех и с условвем ]и-хо] < б справедливы неравенства у(хо) - е < У(и) < у(хо) + е. Возьмем любое ]Ьх] < б так, чтобы отрезок с концами хо и хо+Ах содержался бы в отрезке [а,6]. Ивтегрвруя веравеаства, получим ..+а.
е.+аа 1 Г ь* / (у(хо) е) ви < Р(хо+ ггх) — Р(хо) 1 Ьх < — ~ (7(хо)+е) йи, -Дх / т.е. при любом Ьх с условием ]Ах] < б выполняются аеравеаства, у(хо) — е « — у(хо)+е. ЬР(х) Ьх Отсюда вмеем Р (хо) = )па — = 7(хо) бгР(х) вело Дх Теорема 2 доказааа. 1 2. ТЕОРЕМА НЪЮТОНА — ЛЕЙБНИЦА.
ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА И АБЕЛЯ Формулу Ньютона — Лейбвипа называют основной теоремой интегрального исчисления, поскольку ова связывает понятия определеаиого и аеопределеааого интегралов. Т е о р е м а 1 (Формула Ньютона — Лейбввца). Пусть фувкцвя у(х) ограввчева ва отрезке (а,6] в имеет ве более ковечвого числа точек разрыва. Тогда функция Р(х) = ) У(и) Ви является пераообразвой для фувкцви у(х) ва отрезке (а,6] в для любой перваобразвой Ф(х) справедлива формула у(и) еи = Ф(6) — Ф(а). а , До к а з а ю е л ь с га е о. Из теорем 1 в 2 предыдущего параграфа следует, что функция Р(х) = ( у(и) еи являегся непрерывной аа отрезке (а, 6] и во всех точках вепрерыввоств фуакции у(х) существует провзводаая от Р(х) в оаа раааа /(х). Следовательао, функция Р(х) является первообразной для функцяи г(х), кроме того, ямеет место формула ь О / '= ~(и) (Ми = г'(Ь) = г'(Ь) — Р(а), г'(а) = у(и) аи = О.
с с Пусть Ф(х) — любая другая первообразная функция для у(х). Тогда по свойству первообразной функции су)явствует такое число с, что Ф(х) = Г(х) + с. Следовательно, имеет место равенство Ф(Ь) — Ф(а) = г'(Ь) — г'(а) = ~ у(и) Ии. а Теорема 1 доказана. В качестве приложения формулы Ньютона — Лейбница выведем формулы суммирования Эйлера и Абеля.
Т е о р е м а 2 (Формула суммироваяяя Эйлера). Пусть функция 1(х) имеет непрерывную производную ва отрезке (а, Ь], р(х) = (х). Тогда пря любом х, принадлежа)дем отрезку (а, Ь), справедлива формула у() — Р()г() = /г( ) ю — / ~( )г( ) ( — и )у( ) а<с<с ,У о к а з а гп е л ь с гп е о. Обозначим левую часть последнего равенства через б(х). Легко видеть, что функция б(х) непрерывна яа отрезке (а,Ь) Действительно, еслв число х — нецелое, то она будет даже дифференпдруема, а если число х = и — целое, то сумма в выражении для О(х) возрастает на величину у(п), а функция р(х)у(х) убывает ровно на у(п) при переходе через точку х = и, так что скачок суммы гасится скачком функцяи р(х)у(х). Следовательно, можно применить формулу Ньютона — Лейбняца.
Но тогда при нецелом х имеем с с (с(х) = С(а) + С'(и) ((и = -р(а)Яа) + ( — р(и)у(и))' ((и = а с с =-4')г(')~~г( )ь-~4")г(") ' а с гж Теорема 2 доказапа. Ценпость втой формулы состоит в том, что ова позволяет приближевпо замеиить сумму ва иптеграл. Заметим, что часто удобно в качестве пределов суммирования брать яолупелые числа. Пример. (Упрощенное формула Сягирлиига .1 При п > 2 справедливы неравенства 1 и!е» вЂ” « — 5. 5 — пе+$— Действительно, из формулы суммировапия Эйлера получим г+0,$ «+0,$ .=~ ~н.г~ "м. = г ~ = 1' ь~а- 1 — г= У р(1) 1 о,ь«+о,ь о,ь о,ь = (и+ 0,5) 1п(я+0,5) — и — 0,5 — 0,51п0,5+0,5 — г(п).
Оценим величину г(п). Полагая е(М) = 1 р(п) еп, (е(1)! < $, будем о иметь о,ь о,ь о,ь Следовательпо, справедлива опенка (г(п)( < 2 ° 2 ° — = —. 1 1 8 2' Таким образом, находим 1 1пп! = (п+ 0,5) 1пп — и+ (и+ 0,5) 1п(1+ — ) + 0,51п2 — г(п), 2п (1пп1 — (и+ 0,5) 1пп+и/ < (и+0,5)1п(1+ — ) +0,51п2+ /з(п)/ < 1 2п < 0,51п2+ — < 1п5. 0 Потепцируя зто неравенство, получим сформулированную оценку. Заметим, что в случае, когда пределы суммировавия в теореме 2 — целые числа, то его можно переписать в весколько иной форме. 222 И наконец, полон(им оэ(х) = о(х) — — )'э, о)(х) = 1 оо(С) (и.
Очевидно, о М имеем о)(Ф) = ) оо(1) Й = О. Интегрируем в послелаей формуле для е эя интеграл по частям, находим Отсюда имеем требуемую формулу для эп. Докажем теперь формулу суммировании Абеля. Т е о р е м а 4. Пусть функция у(х) имеет непрерывную проязводную яа отрезке [а,Ь] я пусть А(х) = ~ а . Тогда пря а<о)<э любом х.Е [а, е] имеем ,1) о к а э о )и е л ь с и) е о.
Обозначим через О(х) левую часть последнего равенства. Аналогично доказательству теоремы 2 функция 0(х) имеет непрерывную проазводаую в вецелых точках, а при целых звачеааях ова является аепрерыввой фуакцией. Заметам также, что при вецелых зваченвах х имеет место равенство А'(х) = О. Следовательно, продифферевцвровав С(х) при нецелых х, получим С)(х) = -А(х)У)(х), Но и производная правой части рассматриваемого равенства раааа той же функции. Тогда аз формулы Ньютонов Лейбвапа имеем искомое равенство. Теорема 4 доказана. Лекции Т 1 3. ФОРМУЛЫ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Важную роль при вычислении интегралов яграют формулы замены переменной и интегрирования по частям. Они являются следствием формулы Ньютона — Лейбница.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
