Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В связи с данным определением интеграла возникает ряд вопросов. Во-первых, что такое плошадь? Этот вопрос — принципиальный, м им мы будем заниматься далее, и весьма продолжительное время. Более простыми являются следующие вопросы. 1) Почему эта площадь обозначается почти так же, как и неопределенный мнтеграл? 2) Какая связь существует между неопределенным и определенным интегралами? Забегая несколько вперед, дадим ответы на последние вопросы. Прежде всего, заметим, что на определенный интеграл можно смотреть как на функцию верхнего (или нижнего) предела интегрирования, считая другой предел интегрирования фиксированным, т.е., если зафиксируем, скажем, число о, то при любом 6 б (а,11) мы будем получать свои величины, равные значению интеграла на отрезке [а,6].
Тем самым, определяется некоторая функция г (6), заданная на интервале (а,11). Оказывается, что если у(х) непрерывна на (а,1?), то из теоремы Ньютона — Лейбница, о которой мы будем говорить далее, следует, что функция г(х) является днфференцируемой, и, более того, она является первообразной для функции у(х), т.е. имеем г"(х) =у(х), и, кроме того, справедливо равенство ь Пусть Р1(х) — другая первообразная для у(х). Тогда, поскольку Р1(х) = г'(х) + с, где с — мекоторая постоянная, то Р1(6) — Р1(а) = Р(6) + с — Р(а) — с = Р(6) — Р(а) = ~(х) дх.
а Другими словамн, зто равенство имеет место для любой первообразной из семейства, образующего неопределемный интеграл, т.е. теорема 'Ньютона — Лейбница указывает на то обстоятельство, что неопределенный и определенный интегралы — это тесно связанные между собой помятая. И для того чтобы их далее изучать, надо разобраться, какой же смысл вкладывается в понятие площадь криволинейной трапеции". Заметим, что к этому вопросу можно подходить по разному, и в зависимости от этого у одной и той же трапеции'площадь может существовать или не существовать.
Но еслн в двух разлнчных смыслах она существует, то всегда в обоих случаях она должма быть одной и той же величиной. ~ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА РИМАНА Мы уже говорили о том, что понятне "определеиимй инигеграл" по существу сводится к определенмю понятия "плоиагдь криволииеймой ограпеции", т.е.
площадь фигуры, лежащей в полосе а < х < 6, и заключенной между графиком функции у = у(х) и осью абсцисс. Другими словами, эта фигура образована множеством А точек вида ((х,у)) а < х < 6,0 < у < ~(хЦ, и множеством В ((х, у)! а < х < 6, у(х) < у < О~. Плошадь всякой плоской фигуры Р будем обозначать через р(Р). Заметим, что площадь любой фигуры на плоскости — это неотрицательное число. Определенный интеграл отличается от,площади тем, что он равен разности плошадей фигур А н В, т.е.
~ у(х) дх = р(А) — р(В), а а не их сумме, как можно было бы ожидать. Из школьного курса геометрии известны следующие простейшие свойства фигур, имеющих площадь: 1) Если Р1 С Рш то р(Р1) < р(Рэ); 2) Если Р1 а1 Рт — Иа то р(Р1 О Р2) = р(Ра ) + р(Рт); 3) Площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних его сторон.
Фигуры, составленные из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, будут иметь площадь. Такие фигуры назовем простейшими. Теперь можно определить понятие площади криволинейной трапеции Р, а значит, и понятие определенного интеграла 1 от функции !(х) на отрезке [а, Ь] следующим образом. Здесь для простоты рассуждений рассмотрим только случай, когда функция !(х) неотрицательна. Впишем в фигуру Р и опишем вокруг нее простейшие фигуры соответственно Р1 и Рт.
Для наглядности можно положить, что функция !(х) является непрерывной. Очевидно, имеем Р1 С Р С Рт. Отметим также, что некоторые части границ фигур Р1 и Рт являются ступенчатыми функциями на отрезке [а, Ь]. Напомним, что функция Ь(х) называется ступенчатой, если на каждом промежутке (х, пх,), ! = 0,1,...,о, а = хе < х1 « .. х„= Ь, она принимает постоянное значение Ь;. Пусть фигуре Р1 отвечает ступенчатая функция Ь(х), а фигуре Рт — ступенчатая функция у(х). Тогда имеем Ь(х) < !(х) < у(х). Интегралом от ступенчатой функпии Ь(х) пав зовем величину 1(Ь) = Я Ь,1ххь Справедливо неравенство 1(Ь) <!(у). ав1 Рассмотрим два числовых множества А = (!(Ь)) и В = (1(у)).
В силу леммы об отделимости этих множеств найдется число 1, их разделяющее. Если оно единственно, то мы назовем его интегралом от функции !(х) на отрезке [а, Ь], а саму функцию — интегрируемой на этом отрезке. Известно, что если числа (п1 1(у) и вир !(Ь) совпадают, то их РаЭР Р,СР общее значение и равно 1.
Поэтому справедлив следующий критерий интегрируемости ограниченной функцпн Дх) на отрезке [а,Ь]. Т е о р е м а 1. Для того чтобы ограниченная на отрезке функция !(х) была интегрируема на нем, необходимо н достаточно, чтобы для любого е > 0 существовали ступенчатые функции Ь(х) и у(х) с условием Ь(х) < 1(х) < у(х), и такие, что 1(у) — 1(Ь) < с Эту теорему мы доказывать сейчас не будем, поскольку построим теорвю интеграла Римана, основываясь на более традиционном подходе, и в рамках этого подхода критерий интегрируемости и будет доказан. Тем самым, покажем, что оба подхода к построению интеграла Римана дают один и тот же класс интегрируемых функций.
Отметим также, что рассмотренный выше подход дает воэможность определить понятие площади фигуры Р через вписанные н описанные ~вэ простейшие фигуры. Подобным образом далее определим фигуры, язмеримые по Жордану, и докажем, что для измеримости по Жордану криволянейыой трапеции, отвечающей функции г(т), необходимо и достаточно, чтобы у(т) была интегрируема по Риману. Существуют и другие конструкции, с цомощью которых можно ввести поыятие и площади, и определенного интеграла, интересуюшего нас в первую очередь. Смысл этих конструкций состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждой функции из некоторого класса свое число таким образом, чтобы при этом выполнялось ряд естественных свойств, которыми обладает площадь простейших фигур. Заметим, что чем сложыее конструкция, тем шире становится класс функций, для которых понятие "определенный интеграл" приобретает смыс.%.
Мы здесь будем рассматривать конструкцию, предложенную немецкий математиком Б. Риманом, и поэтому соотвцтствуюшый иытеграл будем называть интегралом Римана. Также познакомимся и с интегралом более общего вида: интегралом Лебега, но, в основном, будем заниматься интегралом Римана. Изложение оригинальной конструкции Б.Римана можно найти в его статье "О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда", написанной им в 1853 году.
Впервые зта статья была опубликована в 1867 году. На русском языке она появилась в 1914 году (" Харьковская математическая библиотека", серяя В, №2). Заметим, что, например, интеграл Лебега является более' общим, чем интеграл Римана, на том основании, что все функции, интегрируемые по Риману, также являются интегрируемыми по Лебегу, но не наоборот..
Но подчеркнем, что если функцыя интегрируема двумя разными способами, то значения интеграла всегда обязаны совпадать. Так что задача расширения понятия интеграла может состоять только в том, чтобы приписать числовые значения определенным интегралам от все более широких классов функций, не меняя при этом значений Интегралов для тех фуыкций, у которых зто значение установлено. Переходим к изложению конструкции интеграла Римана. Будем считать, что функция у(т) определена на интервале (о, р), содержащем 'отрезок [а, Ь].
Определение 1. Конечное множество Т точек та, тм..., аа называется (неразмеченным) разбиением отрезка [а,Ь], если п > 1 я а=за<я1« за=в. Определение 2. Будем говорить, что разбиение Т1 предшествует разбиению Тт (или' разбиение Тт следует за разбиением Т1), если ямеет место теоретякс~мыожественное включение Т1 С Тт (или Тт Э Т1). Разбиение Тз называется измельчением разбиения Ть Очевидно, справедливы следующие свойства. 1а. Всякое разбнение есть измельчение са~)юго себя.
2~. Если 'Тз = Т! ОТю то разбиение Тз есть ызмельчеыые ы разбыеыыя Т!, ы разбиения Тт. Для любого разбыеыыя Т = (хс,х!,...,х„) через Ь» обозначим отрезок вида [х» !,х»]. Длыыу этого отрезка обозыачым так: Ьх» = х» — х» Определение 3. Оелнчнна Ьт = !пах Ьх» называется диаме!<»<а тром разбиения Т. На каждом ыз отрезков Ь» выберем точку С», )! = 1,...,и, т.е.
а» ! < с» < х» ОпРеделение 4. Совокупность точек (хо,...,ха~41~. ~6з) лазы вается размеченным разбиением отрезка [а,б]. Обозыачым его через 'г', а соответствующее ему ыеразмечеыыое разбыеыне — через Т = Т('г') . Определение 5. Сумма называется интеграньной суммой фуннпди у(х), соответствующей размеченному раэбненню К Определение 6.
Число Г называется определенным интегралом (Римана) от функднн у(х) на отрезке [а, б], если для всякого ! > 0 существует 6 = 6(с) > 0 такое, что для любого размеченного раэбяення У отрезка [а,б] с условием Ьт < 6 справедливо неравенство (à — о(р)] < е, т.е. а [! — ~ ~И»)дх»] < к »-! Для ынтеграла ! используют обозыачеыые » 1= Дх) Их. а »вт Определение 7. Функция 1(х), для которой существует интеграл Римана, называется интегрируемой (по Риману) на отрезке (а, 6]. Легко доказать следующее утверждение. Если существуют два числа 1ь и 1ю удовлетворяющие определению интеграла Римана от фУнкции 1(х) на отРезке (а, Ь], то они совпадают, т.е. 1ь = 1з.
Действительно, если, например, 1~ < 1ю то в качестве величины с возьмем число, равное -'(1з — 1ь). Тогда в силу определения интеграла существует число 8 = 8(е) > О такое, что для любого размеченного разбиения Р' с условием ьь~ < 6 имеем ]иу — 1ь! < с, ]лу — 1з! < с. Следовательно, 1з — 1ь = ]1г — 1ь] < )1г — иг)+ )рг — 1ь) < 2е = 1г — 1ь Отсюда получим 1з — 1ь < 1з — 1и что невозможно, так что имеем 1ь = 1ю Утверждение доказано. ь Определенный интеграл ) 1(х) Их можно рассматривать как предел а по некоторой базе. Определим эту базу, т.е. опишем множество окончаний, из которых она состоит. Напомним определение базы В подмножеств Ь основного множества А. Окончания 6 С А базы В, т.е, ее элементы, удовлетворяют следующим условиям: 1) пустое множество не является окончанием базы; 2) для любых двух окончаний 6м Ьз базы В найдется окончание Ьз б В с условием Ьз С Ь| О Ьг. В качестве основного множества А возьмем множество всех размеченных разбиений отрезка (а,Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
