Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Уо) + (У. Уо), Са(() откуда ~Уо — С(У„)~ ( сЬ~о, где с = щах~~~(~)( Теперь, полагая У„+1 = С(У„), получим приближение к Уо с точностью порядка 2п десятичных знаков после запятой. Тем самым мы имеем быстросходящийся алгоритм для приближенного вычисления значения Уо. Заметим, что рассмотренный выше алгорятм вычислевяя корня квадратного из числа хо является частным случаем данного при У(хо) = ~/хо ои С(У ) = ~ (У„+ -*"). Глава )г1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Лекиня 28 1 1. ТОЧНАЯ ПЕРВООБРАЭНАЯ.
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ Определение 1. Функция Р(х) называется точной первообразной для функции э(х) на (а,6), если пря любом х б (а,Ь) имеем Р'(х) = у(х), т.е. в каждой' точке х интервала (а, 6) значение функцяя у'(х) является производной лля функция Р(х). Т е о р е м а 1. Пусть э(х) определена на (а,6) н 6)(х), гэ(х)— две ее точные первообразные.
Тогда существует число с б'Е такое, что прн любом х б (а,6) Р)(х) — Рг(х) = с. Д о к а э а )и е л ь с )п е о. Пусть функция С(х) = г') (х) — Рз(х). Тогда С(х) — - днфференцируемая функция, причем всюду на (а,6) С'(х) = Р)'(х) — Рз(х) = ~(х) — 1(х) = О. Положим хо = атхх. Тогда по формуле Лагранжа конечных приращений имеем С(х) — С(хо) = С (с)(х — хо) = О, т.е. С(х) = С(хо) ))) *б (а,Ь). Но, полагая с = С(хо), получим, что С(х) = с для всех точек х интервала (а,6). Теорема 1 доказана.
Зал)ечакае. Из теоремы 1 следует такое утверждение: любые две первообраоные г (х) н С(х) функций у(х) я й(х) отличаются на константу тогда и только тогда, когда их производные совпадают, т.е, когда г"' = у = в ж С', Ранее мы видели, что далеко не все функции, заданные на каком-либо интервале (а,6), имеют производную. Аналогично обстоит дело и с первообрэзной, т.е. не все функции имеют производную. Но если функция у(х), определенная на (а,6), имеет первообразную, то она называется интегрируемой. Прежде чем перейти к йзучению класса интегрируемых функпий, несколько обобщим понятие точной первообразной.' Определение 2.
Непрерывная функция г (х) яазывается перво- образной функция у(х) на яя'тервале (а, Ь), если в каждой его точке х за исключеляем, быть может, кояечяого ях числа выполяяется равенство г"(х) = у(х). Т Е О р Е М а 2. Пуета г1(Х) я гт(Х) — ПЕРВООбраэяЫЕ дЛя фуякцяи 1'(х) на (а,6). Тогда найдется число с такое, что всюду на этом яятервале Р1(х) — Рт(х) = с.
Д в к а з а щ е л ь с щ в в. Пусть х1,..., х„— конечное множество точек, на котором не существует г1(х) или Рз(х). Тогда множество (а,Ь) состоит из конечного числа интервалов 1ю на которых производные обеих функций существуют. Следовательно, по теореме 1 их разность постоянна на каждом таком интервале. Кроме того, эта разность является непрерывной функцией на всей области определения. Отсюда следует, что в общей граничной точке любых двух смежных интервалов ее значение равно одновременно пределу справа и слева. Эти значения, в свою очередь, совпадают с ее значениями на смежных интервалах. А зто значит, что функция на смежных интервалах, включая точку их общей гранины, постоянна.
Следовательно, она постоянна на всем интервале (а,6), что и требовалось доказать. Определение 3. Совокупность всех первообразяых функций для какой-лябо одной фуякпии у(х) яа интервале называется неопределенным интегралом от функция у(х). Эта совокупность обозначается символом ) /(х)ах (чятается: янтеграл от у(х)ах). Из теоремы 2 следует, что все функции этой совокупности отличаются друг от друга на постоянную. Поэтому, если г'(х) какая-нябудь одна первообразная, то можно записать равенство у(х)ах = г (х) + с, I где с — произвольное число. 167 Это равенство надо понимать как равенство двух множеств, состоящих из функций, определенных на (а,ь), причем слева стоит совокупность, образующая неопределенный интеграл от у(х), а справа — совокупность функций, отличающаяся от функции г'(х) на функцию, значение которой равно числу с для всех точек х этого интервала.
Примеры. 1. 1'1 Их=х+с, так как х'=1. 2. 10 ах=с, 3. ) сов хнах = в1пх+ с, так как (в1пх)' = сов х. Для доказательства этих равенств надо продифференцировать правую часть и убедиться, что ее производная равна функции, записанной слева между знаком ) и символом Ых. Она называется подынтегральной функцией. Знак ) называется знаком интеграла, а выражение, записываемое справа от него, — подынтегрэльным выражением. Легко видеть, что подынтегральное выражение есть не что иное, как дифференциал любой первообразной функции для у(х).
Действительно, если г (х) — первообразная для у(х), т.е, Р'(х) = у(х), то по определению дифференциала 4г'(х) = у(х)вх. А так как ~(х)дх = г (х) + с, И(г (х) + с) = Щх), / то можно записать равенства ЫР(х) = Р(х) + с, Н ~(х)4х = ИР(х) = Дх)Ых, (2) причем знак равенства в последнем соотношении означает, что все функции, входящие в совокупность ) у(х)вх, имеют один и тот же дифференциал вГ(х). Также имеем (3) У(х)<(х = у(х). Определение 4.
Нахождение неопределенного интеграла от функдии ~(х), заданной на (а,6), называется интегрированием этой фу»кили. Саму задачу»ахожде»ия неопределенного янтеграла можно рассматривать как обрат»ую и задаче»авожде»яя д»фференцивлв функци»'. Леипжя 29 у 2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Из правил дифференцирования функции и теоремы 2 следует ряд свойств неопределенного интеграла. Приведем некоторые из них, которые задаются равенствами и доказываются с помощью дифференцирования обеих частей этих равенств.
Прежде всего докажем, что равенство / у(х)ох = ~ у(х)1(х (4) эквивалентно одному из следующих четырех равенств: .) (~~(х) (х)'= (('у(х) (х)'; б) Ы(1,1(х)11х) = 1((1 у(х)с(х);, в) 1(х) = у(х); г) у(х)ох = у(х)11х, которые имеют место при всех х б (а, 6), за исключением, быть может, конечного числа точек. В самом деле, силу приведенных выше свойств (1)-(3) равенства а)-г) действительно эквивалентны. А равенство (4) означает лишь то, что любые две первообразные Р', С для функций у и у отличаются между собой на константу.
Но согласно замечанию к теореме 1 для этого необходимо и достаточно, чтобы у = у, т.е. равенство (4) равносильно равенству в). Замечание. Свойство (4) дает критерий равенства двух неопределенных интегралов: они совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их производные или дифференциалы. Докажем теперь следующее свойство: / (у(х) + у(х))ох = / 1(х)ох + / у(х)пх, ау(х)1(х = о ~ 1'(х)Ах У а ф О. (ба) (бб) ~(х)1(х + у(х)11х 169 Этн равенства надо понимать как совпадение двух совокупностей функций, стоящих в этих равенствах справа и слева.
(Напомним, что два множества равны, когда они состоят из одних и тех же элементов.) Надо пояснить, что совокупность состоит из всевозможных функций, образованных суммами функций Р(х)+С(х), где Р(х) Е ) Ях)пх, б(х) б ) у(х)пх, т.е. у(х)ах+ ~ у(х)йх = (Р(х) + С(х)), (Р(*)) +(*)(*, М )) = / (*) (* где Теперь для доказательства (5) в силу свойства (4) достаточно продифференцировать эти равенства. Доказательство закончено. Заметим, что для простоты применения на символы ) у(х)ах и (у(х)с1х удобно смотреть, как на обычные функции, подразумевая под ними некоторые первообразные для функций /(х) и у(х) соответственно, а равенство между выражениями, в которые они входят линейно, понимать с "точностью до постоянной", имея в виду, что правая и левая части отличаются на функцию, постоянную на (а, Ь).
С помощью свойства (4) можно легко установить еще два свойства неопределенных интегралов, важных для непосредственного интегрирования: правило интегрирования по частям и(х)е(х) — / и(х)ас(х) = ~ и(х)Ии(х), (6) правило замены переменной ~(х)ах = ~~(рЯ)р (й)й (7) где х = ср($) — дифференцируемая функция от 1, 'определенная на интервале (а,~у), причем множество значений (у(Ф)) принадлежит интервалу (а,Ь). Мы прелполагаем, что в обоих равенствах интегралы в левых частях действительно существуют; из этого следует существование интегралов и в правых частях этих равенств. Докажем свойство (6). Так как по условию интеграл в левой части равенства существует, то ее дифференциал равен гго Отсюда в силу свойства (4) следует справедливость свойства (6). Для доказательства свойства (7) заметим, что по правилу дифференцирования сложной функции и свойству (3) при х = ~р(~) имеем Следовательно, согласно свойству (4) интеграл ) 7 (х)<(х при х = 1»(1) есть в то же время и неопределенный интеграл от функции 7(1»(г))1»'(1), т,е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
