Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

если у'(хг) < /се, Рассуждая подобным образом относительно точки (хг, уг), приходим к неравенству )се < ~'(хг), откуда имеем ~'(хг) < )се < ~'(хг). В силу произвольности выбора точек х1 < хг это означает, что ~'(х) не убываег ыа (а,б). Теперь заметим, что по теореме Дарбу функция У'(х) принимает все свои промежуточыые значения, а зто ввиду моыотонности у(х) влечет за собой непрерывность функции ~'(х). Таким образом, рассматриваемый случай разобран полностью. Другие случаи рассматриваются совершенно аналогично, поэтому теорему 5 можно считать доказанной.

Замечание. Из определений 1 и 2 следует, что всякая хорда, соединяющая две различные точки графика функции, выпуклой вверх, лежит под ее графиком, а для функции, выпуклой вниз, она лежит над графиком. Это свойство часто берется в качестве исходного определения выпуклости функции (вверх или вниз соответственно). Рассмотрим его подробнее ыа примере функции выпуклой вверх. Запишем свойство выпуклости вверх функции в аналитической форме с помощью неравенств. Значения координат точки (х,у), находящейся на хорде с концами в точках (хмуг), уг — — г(хг) и (хг,уг), уг = У(хг) при хг и хг, принадлежащих интервалу (а, З), с условием х1 < хг можыо записать в виде х = Л1хг+Лгхг, у = Лгуг+Лгуг, где Л1 > О, Лг > 0 и Лг+ Лг = 1. Поскольку величина у в этом случае не должна превосходить у(х), то условие выпуклости вверх будет выражено следующим соотношением ~(Лгхг + Лгхг) > у = Лгуг + Лгуг = Л1~(х~) + ЛгДхг).

В этом случае функция у(х) непрерывна на интервале (а, 6) и имеет на нем правую и левую производную. Далее мы докажем непрерывыость функции и ограничимся рассмотрением только правой производной. Сначала докажем непрерывность справа функции у(х) в любой точке хе интервала (а,з). Прежде всего отметим следующий геометрический факт, состоящий в том, что всякая прямая пересекает график функции у(х) либо по некоторому отрезку, либо не более чем в двух точках.

Действительно, если бы нашлись три такие точки А = (хг, уг), В = (хг,уг) и С = (хз уз), хг < хг < хз, то на интервале (хмхг) или на интервале (хг,хз) существовала бы точка хэ, для которой точка Р = (ха,Дха)) не лежит на хорде с концами А и С. Но тогда при х'Е (хг, хг) точка Р обязана лежать выше хорды АВ и 148 корда ПС лежит выше точки В, что противоречит выпуклости вверх функции Дх). Если бы точка х4 лежала на интервале (хюхз), то выше точки В проходила бы хорда АВ.

Отсюда следует, что если точка хз б (а, 6) лежит левее точки хс, то часть графика функции 1(х), отвечающая точкам х > хс, лежит под продолжеиием хорды 11, соединяющей точки (хэ, 1«(хэ)) и (хс, 1«(хс)). Зто значит, что если Й1 — угловой коэффициент хорды 11, то при всех х > хс имеем ЬДхс) < 61бах, где Ьх = х — хс. Следовательно, при «1х > О заключаем, что б«|(хо) = 0(б«х) 4 О при Ьх -4 О+, т.е.

Дх) непрерывна справа в точке хэ б (а,6). Подобным же образом можно установить, что функция Дх) в точке хс непрерывна слева. Таким образом, во всех точках интервала (а, 6) эта функция является непрерывной. Переходя к доказательству существования правой производной функции Дх) в точке х = хс, заметим, что для любых точек хэ и хг с условием хэ < х4 < хг хорда, соединяющая точки (хо,1(хо)) и (х4,1(х4)), лежит ие ниже хорды, соединяющей точки (хс,у(хс)) и (хт, Дхт)), поэтому для угловых коэффициентов йб и йт этих корд справедливо неравенство йе > йт, т.е.

ЬУ(Х9) > ЬУ(хо) "6 = бах Ьх ૠ— «б «б Ь«=«б-«а ~ адб«1 Таким образом, отношение 1 ' не убывает при монотонном стремлении величины Ьх к нулю справа. С другой стороны, это отношение ограничено величиной 61, рассмотренной выше при доказательстве непрерывности справа функции 1(х) в точке х = хс. Следовательно, согласно свойству монотонных функций существует предел отношения ЬДхс) а о+ Ьх который по определению и называется правой производной функции 1б(х) в точке хс. Случай левой производной аналогичен. Итак, мы доказали, что у выпуклой вверх функции правая и левая производные в любой внутренпей точке отрезка (а, 6) существуют, хотя они и ие обязаны быть равными.

С другой стороны, мы установили, что правая производная функции 1(х) в точке хс не превосходит углового коэффициента Хг. Но предел величины йт при хт -4 хс есть левая производная ~'(хс — ) функции У(х) в точке х = хс, откуда следует, что в любой точке интервала 149 правая производная не превосходит левой производной. Если же рассмотреть две различные точки хо < хы то угловой коэффициент lа хорды, соединяющей точки (ха,у(хо)) и (хм у(х1)), "разделяет" значения правой производной ! (хо+) в точке хо и левой производной 1'(х)-) в точке хы т.е.

~'(хо+) > !а > ~'(х1-) > ~'(х~+). Отсюда следует, что ~'(х+) не возрастает на (а, 6). То же справедливо и для левой производной. Поскольку обе эти функции монотонны, каждая из них имеет не более чем счетное множество точек разрыва первого рода. Все остальные точки интервала (а, о) являются точками непрерывности обеих функций.

Но в этом случае в силу последнего неравенства их значения совпадают, и тогда функция ! (х) имеет обычную производную У (ха) = У (хо+) = У (хо — ), которая к тому.же будет непрерывной и невозрастающей функцией в этой точке. Кроме того, по свойству точки разрыва первого рода в ней существуют правые и левые пределы для !'(х+) и у'(х-) и они одновременно совпадают соответственно с правой и левой производными в этой точке. Дело в том, что у функции выпуклой вверх правая производная в каждой точке непрерывна справа, а левая производная — непрерывна слева.

Снова будем рассматривать только правую производную функции у(х) в точке хо. По определению она равна предельному значению чисел /а, являющихся угловыми коэффициентами хорды, соединяющей точки (хо,у(ха)) и (х,у(х)), когда х стремится к хо справа. Отметим, что при уменьшении х величина !о не убывает. Если хо < х1 < х, то угловой коэффициент /а1 хорды, проходящей через точки (хы,!(х~)) и (х,7(х)), не превосходит у'(х1+). Величина же х1 стремится к и при х1 -о х. Поэтому предел ! функции у'(х1+) при х1-+ хо+ не меньше, чем !а, т.е. ! > ь.

Отсюда следует, что но в силу того, что у'(х+) не возрастает, всегда имеем, что ! < !'(х+), т.е. ! = у'(х+), что и означает непрерывность справа функции у'(х+) в точке хо. Лекции 25 5 15. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Определение 1. Точку ха из интервала (а,Ь) будем называть точкой перегиба дифференцируемой функции 1 (х) (или ее графика), если сушествует проколотая б-окрестность точки ха такая, что и в правой, и в левой ее полуокрестностях функция у(х) имеет выпуклый график, но направление выпуклости справа и слева разное.

Л е м м а 1. Если ха — точка перегиба функции 1(х) и 1'(х) сугцсствует на (а„б), то в некоторой б-окрестности точки ха разность г(х) = У( ) — (У(ха)+ У'(ха)(х — ха)) является'неубываюшей яли певозрастаюшей функцией в точке ха (в зависимости от изменения направления выпуклости). Д а к а з в яз в л ь с я1 в а. Возьмем проколотую Ю-окрестность точки ха, в правой и левой частях которой у(х) имеет разные направления выпуклости. Пусть для определенности при ха — д < х < ха функция у(х) выпукла вверх, а при ха < х < ха+ в — выпукла вниз. Надо доказать, что г(х) > О при всех х б (ха, ха+ в) и г(х) < О при всех х б (ха — д,ха).

Рассмотрим сначала первый случай. Имеем г(х) = у(х) — (У(ха) + У'(ха)(х — ха)) = (У(х) — У(ха)) — У (ха)(х — ха). К разности у(х) — у(ха) применим теорему Лагранжа. Тогда при некотором х1 б (ха,ха+в) будем иметь 1(х) = ~'(х1)(х — ха) — у'(ха)(х — ха) = (у'(х1) — ~'(ха))(х — ха). По теореме б на интервале (ха,ха+ в) функция у'(х) непрерывна и не убывает. Точно так же доказывается, что ~'(х) не убываег и непрерывна на (ха — а,ха), Но так как производная не может иметь разрывов первого рода, а монотонная функция не может иметь разрывов второго рода, то у'(х) непрерывна я в точке ха. Далее, в силу того, что у'(х) не убывает в проколотой окрестности точки ха и на основании ее непрерывности в этой точке имеем, что и в точке ха она тоже не убывает.

Но тогда у'(х1) — у'(ха) > О, откуда г(х) = (1'(х1) — у'(ха))(х — ха) > О. Случай х < ха разбирается совершенно аналогично. Лемма 1 доказана. Т о о р е м а 1 (необходимое условие перегиба). Если у(х) в точке х = хо имеет вторую производную и точка хо — точка перегиба, то зз"(хо) = О Д о к а з а т е л ь с т в о. (От противноэо).

Допустим, что У"(хо) ф. О. Легко видеть, что га(х) = у" (х). Поэтому га(хо) = Уо(хо) ф О. Но поскольку г'(хо) = У'(хо) — У (хо) = О, то по второму достаточному признаку экстремума функция г(х) имеет строгий локальный экстремум. Это противоречит утверждению леммы, по которому 1(х) не убывает или г(х) не возрастает. Отсюда следует, что ("(хо) = О. Теорема 1 доказана.

Далее будем говорить о точках перегиба только в строгом смысле, имея в виду, что в определении точки перегиба имеет место строгая выпуклость в обеих полуокрестностях. Т е о р е м а 2 (первое достаточное условие строгого перегиба). Пусть з'(х) дважды дифферепцируема в проколотой окрестности точки х = хо и ("(х) имеет в ией разные знаки при х < хо и х > хо.

Характеристики

Список файлов книги