Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогда по теореме 4 имеем, что существует точка хо такая, что д'(хо) = О. Отсюда следует, что ~'(хо) — с = О, т.е. з" (хо) = с. Доказательство закончено. Т е о р е м а 5. Функция д(х) = з'(х) не может иметь разрывов первого рода. Д о к а з а т е л ь с га в о. Пусть ~'(х) — ~ а при х -+ хо+, з"(х) э 6 при х -+ хо— Докажем, что а = 6. Предположим, что это не так.
Тогда а ~ 6. Пусть 1 1 х„= хо + — -+ хо+, у„= хо — — — ~ хо —, п и тогда у'(х„) — > а при и — ~ оо, ~'(у„) -+ 6 при п -+ оо. Так как а ф 6, то или а ф з"(хо), или Ь ф з'(хо). Допустим, что имеет место случай а ф г'(хо). Так как число о' —.ьсы ш гэо " у'э ) ' " Г *'""" Дарбу существует с„с условием х„< с„< хо, кроме того, У'(х„) + У'(хо) 2 Поскольку с„-+ хо, согласно определению правого предела по Гейне имеем у'(с„) -о а. Отсюда а = +У-1 — '~, т.е. а =- г'(хо), а это противоречит тому, что Г'(хо) ф а. Следовательно, предположение, что а ф 6, неверно и а = 6.
А это значит, что функция у'(х) не может иметь разрывов первого рода, Теорема 5 доказана. Попутно мы доказали, что если у'(х) -+ хо при х -+ хо+ (или х -+ хо — ), то хо = ~'(хо). Пример точки разрыва производной. Положим хо сов-', если х ф О, г(х) = О, если х = О. При хф О 1 . 1 у'(х) = 2хсоз — +э1п —, х х а при х = О по определению производной у(Ьх) — у(О), (Ьх)тсоэ1/Ьх а -+о Ьх ь*-+о Ьх В точке х = О не существует ни правого, ни левого предела У'(х). Определение 2. Если ~):-~~-о1 — э + оо пря х — о хо, то говорят, ~-~о что г(х) в точке хо имеет бесконечную производную, и пишут: Г'(хо) = + оо. (-1 То же самое говорят и пишут о правой и левой производных. 1 Пример.
У(х) = ~/х. При х ф О имеем У'(х) = —. Тогда 2~/х чих — О ~'(О+) = 1пп = +со. а -+о Ьх км Ленпзтя 20 6 7. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА Т е о р е м а 1. Пусть у'(х) = О лря всех х б (а,6). Тогда у(х) = сопе$ = ~( — ). а+Ь Д о к а з а тп е з ь с пт е о.
По теореме Лагранжа имеем тзу — = у(х) — у — = у'(с) х — — = О. Отсюда 2 ) Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2. Пусть фуикпяя з(х) днффереицвруема иа (а,Ь). Тогда для того чтобы з(х) ие убывает иа (а,6), необходимо я достаточно, чтобы У'(х) > О ттт х б (а, Ь). Д о к а з а тп е л ь с тп е о. Необходимосить. Условие неубывания функции у(х) зквивалентно тому, что а~-1 > О. Переходя к пределу в неравенствах, получим у'(х) = 1пп — > О.
тзу(х) аз-то тзх ~7осотаиточиосоть. Если /'(х) > О, то по теореме Лагранжа при некотором с б (а,6), т.е. функция у(х) не убывает иа (а,Ь). Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Есля ~'(х) > 0 иа интервале (а,6), то функция у(х) монотонно' возрастает иа (а,6). зт о к а з а пт е л ь с пт в о. По теореме Лагранжа имеем тзу(х) = /'(с)т.'тх > 0 при Ах > О, что и требовалось доказать. Т е о р е м а 4. Пусть у(х) диффереицируема на отрезке [а,6], Тогда для того чтобы функция у(х) строго возрастала иа ием, необходимо и достаточно, чтобы у'(х) > О иа интервале (а, 6) и у'(х) ие обращалась в нуль тождественно ии на каком отрезке [а!,6!], лежащем внутря отрезка [а, 6].
,!! о к а з а т е л ь с т в о. НеоБходимость (от противного). Если условие теоремы не выполнено, то или )'(хо) < О для некоторой точки хо б (а,Ь), или )'(х) = О при всех х б [а!,Ь|]. Тогда в первом случае хо — точка убывания функции у(х), а во втором — у(х) = сопя! на [а!,6!].
Это противоречит условию возрастания функции )(х). Доспзаточнос!пь. Так как по условию у'(х) > О, то' при любых а! < Ь|, где а!, Ь! б [а,6], имеем у(6!) — /(а!) = /'(с)(Ь! — а!) > О, т.е. у(х) не убывает. Докажем, что )(х) возрастает. Пусть это не так, и )(а!) = )(Ь!) при Ь! > а!. Но тогда в силу неубывания у(х) на отрезке [а!,6!] имеем, что у(х) = сопв! на нем, и, следовательно, )'(х) = О на (а!,6!), что противоречит условию теоремы. Тем самым теорема 4 доказана полностью. $8. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА Т е о р е м а (неравенство Юнга). Пусть а,)! > О, о+ !У = 1.
Тогда при х > О имеем ( о х + )! о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию у(х) = х — ах — !У. Заметим, что /(1) = 1 — а — !У= О. Далее, поскольку )"(х) = а(х — 1) ( О при х > 1, при х > 1 функция у(х) убывает. Следовательно, при х > 1 выполнено неравенство /(х) < у(1) = О. Если же О < х < 1, то ) ! ( х ) о ( х о ! ! ) Отсюда получим, что у(х) < /(1) = О при О < х < 1. Таким образом, для всех х > О выполнено неравенство х — ох — !! < О, откуда следует справедливость теоремы.
!зз Положим к = а/Ь > О. Из неравенства Юнга имеем авЬ« < «а+//Ь. Это неравенство справедливо при любых «,Ь > О. Положим теперь „1/В Е."= 1/с нс «в ь 1/с , еи и просуммируем по и от 1 до и. Получим т. е. // о к а з а ш е л ь с 1« в о. Введем обозначение 1/р+ 1/д = 1. Используя неравенство Гельдера, имеем ь ь /1 = ~(а, + Ьс) = ~ ас(«с + Ьс)' ' + ~ ЬЬ(ас + Ьс)' ' = В + С, с=! Р=! с=! ь ь,1/ГГ и х 1/4 В = ~~! а„(а„+ Ьс)' < ~~! «ис ~~! (а„+ Ь„)4~и Р=! с=1 сж! с=! ь!аАь!' 'А фа) (1,!.,Аь,!А' и) Так как д(р — 1) = р, то А А ((А 4) .', (А'К) )Ап, откуда, поскольку 1 — 1/д = 1/р, имеем Ас =(А' „) А(АК) 124 Это неравенство называется неравенством Гельдерн.
Докажем теперь неравенство Минковского. Пусть выполняются следуюн1не условия: р> 1; «„,Ьс > О, и= 1,...,п. Тогда что и требовалось доказать. 1 9. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ Пусть Р(1) и й(1) — две функции, заданные и дифференцируемые иа [О, 1], и для всех 1 б (О, Ц имеет место неравенство ~р'(1) > 0 (или у'(1) < О). Тогда р(1) строго воврастает (у(С) строго убывает при р' < О) и зта функция имеет обратную функцию 1 = у(х). Совокупности пар (у(1),4(1)) задают функцию у = у(х) такую, что (х, у) = (х,у(х)) = (у(1), р(1)), где х = 1о($), $ =у(х), у(х) = р(у(х)).
Найдем ее цроизводиую. Имеем ~'(х) =.4~' (у(х))у'(х) = ф' (у(х)) у ',(у(х))' поскольку ~р' (у(х)) Это равенство для ("(х) можно записать в следующем виде: У,'М(1)) '= —,, ф'(1) что дает нам правило иахождения производной функции, заданной параметрически. Таким же образом можно вычислить производные любого порядка. Найдем, например, формулу для второй производной. Имеем У"(х) = У,",(Ю(1)). С одной стороны, справедливо равенство (У,'(е (1)))', = У,",(1 (1)) у'(1). С другой стороны, имеем , ( ( ), (Ф'~0К Ф"(1)1г'(1) — Ф'(1)Ю"(1) Следовательно, /а ф ~! а А~ е(4(1)) ( )э Лекция 21 2 !О.
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Т е о р е м а 1 (первое правило Лопиталя; неопределенность 0 вида — при х — Ф а — ). Пусть: 0 1) г(х) и у(х) определены и дифференцируемы в некотором интервале вида (а — бы а), бз > 0; з) !пп у(х) = !пп у(х) =0; 3) )" (х),у'(х) ф 0 при всех х б (а — бз, а) при некотором бз > О; 4) существует конечный или бесконечный предел при х — э а— отношения б-',~-), т.е. !пп -'44, Тогда существует предел отношения ~~~~ и имеет место равенство 1пп — = 1пп —, у(х) 1'(х) - у(х) — у'(х) ' Д о к а з а тл е л ь с т в о. Можно считать, что предел ~,Ьч: при х — э а — является конечным числом и равен 1, поскольку если это не так, то можно рассмотреть отношение ф. Доопределим у(х) и у(х) в точке х = а, полагая )(а) = у(а) = О.
Тогда функции 1(х) и у(х) непрерывны в точке а слева. Поскольку ~Щ -+ 1 при х -+ а —, для любого е > 0 существует бз = бз(е) > 0 такое, что при всех х б 1(бз) = (а — бз,а) имеем ! Г( ) — — 1 (е. у'( ) Положим б = ппп(бпбт,бз). Тогда для каждого х б (а — б, б), используя теорему Коши, получим где об (х,а) С (а — б,а). Таким образом, по определению предела что и требовалось доказать. 226 С л е д с т в и е 1. В теореме Е можно заменить условие х -+ а— и интервал (а — б,а) на условие х -+ а+ и интервал (а, а+ б).
Для д о к а з а га е л ь с ш е а этого факта достаточно сделать замену переменной д = 2а — х и применить теорему 1 к функциям ~,(у) = у(х) и уг(д) = д(х). Очевидно, эти функции удовлетворяют условиям теоремы, причем у = 2а — х — э а в при х -+ а+. С л е д с т в н е 2 (первое правило Лопиталя; неопределенность О вида — при х — ~ а). Пусть: О Е) У(х) и д(х) определены на некотором интервале (а — б, а л б) и дифференцируемьг иа нем, за исключеняем, быть может, точки х = а; 2) 11шу(х) = 1ппу(х) = О; 3) У'(х), у'(х) ф О при х Е (а — б, а+ б), х ф а; 4) существует конечный или бесконечный предел: 1пп + +. Х( ') Тогда существует предел 1пп — и имеет место равенство *-~а у(х) 1пп — = 1пп —, у(х), у'(х) *-+л у(х) з-+а у'(х) ,ЕЕ о к а з а га е л ь с т е о непосредственно вытекает из теоремы 1 и следствия 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
