Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Т е о р е м а (теорема Гейне — Кантора). Функция, яепрерывная на отрезке, равномерно непрерывяа на «ем. Д о к а з а т е л ь с гл в о. (Ош прошивного). Пусть )(х) непрерывна, яо пе является равномерно непрерывной па [а,б]. Тогда Э е>0: Уб>0: Э а,~убХ: [а — 4<б и [У(а) — У(1У)[>е. Рассмотрим последовательность б = б„= 1/и. Каждому и тогда соответствует пара точек а„, 1у„такая, что [а„— 4,! < 1/н [У(а„) — 1(Рн)! > о. Последовательности (а„) и (1у„) являются ограниченными. По теореме Больцано-Вейерштрасса из а„можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (а„,), т.е. а„, -+ хо б Х при й -+ оо. Далее, 93 следовательно, г„, = а„, — р'„, есть бесконечно малая последовательность и Д„, -+ хэ при |с -~ оо.
Но тогда уь = у(а„,) ~ )'(хэ), гь = ~(Р„, ) ~ г'(яэ) при й -+ сю, т.е. |э = !уь — гэ( -+ 0 при 1 -+ со. Но это противоречит тому, что так как, переходя в этом неравенстве к пределу при и ~ со, получим 0 > г, что неверно. Доказательство закончено. Доказательство теоремы Кантора проходит аналогично и для множества Х, которое не обязательно является отрезком. Достаточно, чтобы множество Х было ограниченным и содержало все свои предельные точки. | 7. СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ. КОМПАКТ.
ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА КОМПАКТЕ Определение 1. Множество точек (на веществеютой прямой) называется зввпснутым, если оно содержит все своя предельные точки. Напомним, что аэ — предельная точка множества А, если во всякой окрестности точки хо находится бесконечно много точек, принадлежащих А (а сама точка аэ может принадлежать или не принадлежать А). Определение 2. Множество называется открытым, если каждая его точка содержится в ее е-окрестности, целиком состоящей яз точек этого множества. Пример. Интервал — открытое множество, а отрезок — замкнутое множество. Определение 3.
Ограниченное замкнутое множество (на вещественной прямой) называется компактом. Утвернсдение 1. а) Если А — замкнутое множество, то Ас — — В~А открыто. 6) Если В открыто, то В1 = ЩВ замкнуто. Д о к а з а гэ е л ь с гп в о. а) (Огэ противного). Если существует а б Ам у которой нет окрестности, целиком состоящей из гочек множества Ам ло во всякой Ю-окрестности точки а есть хотя бы одна точка из А, отличная от а, а следовательно, и бесконечно много точек из А. Но тогда а есть предельная точка множества А, и введу замкнутости А имеем, что а б А, но а б Ас.
Имеет место противоречие. б) Пусть У3 — предельная точка для В» и ~3 Е В. Тогда в любой ее окрестности есть точки Вы а это противоречит тому, что у любой точки множества В есть окрестность, состоящая из одних только точек множества В. Это значит, что 1У ф В, т.е. )У Е Вю следовательно, В» замкнуто, что и требовалось доказать. Утверисценне 2. а) Любое объединение открытых мнои1еств открыто, конечное пересечение открытых множеств — тоже открытое множество. б) Любое пвресечение замкнутых множеств замкнуто, конечное объединение замкнутых множеств замкнуто.
,УУ о к а з а га е л ь с гп в о. Пусть а Е 0 А . Тогда существует номер а ав такой, что а Е А „и существует б-окрестность точки а, целиком принадлежащая А . Обозначим ее Ог(а). Тогда Ог(а) С 0А, те. и 0А„открыто. Пусть теперь а Е (') А». Тогда В Ог (а) С А 7 гн и а »ан при б = ппп(б1,...,б ) имеем в ь Ог(а) = ) 1 Ог„(а) ~ ) ) А». »»а »вп Таким образом, утверждение а) доказано, а утверждение б) следует из утверждения 1 б), что и требовалось доказать.
Определение 4. Пусть заданы множество А и система множеств (В). Будем говорить, что В есть покрытие А, если для любого а Е А существует В Е (В) такое, что а Е В. Следующее утверждение обычно берут за определение компакта. Утверзкдепне 3 (лемма Бореля). Из любого покрытия компакта открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытне. УУ о н а з а нг е л ь с т в о.
Он» прошивного. Пусть А — компакт, тогда 3 отрезок Ув, такой, что А С Ув (поскольку А ограничено). Делением отрезка пополам строим систему стягивающихся отрезков Ув .з,У» .з ° .з з» з ... с условием, что множества АГ1,У» не допускают конечного покрытия для любого )г. Пусть хв — их общая точка. Поскольку,У» О А не допускает конечного покрытия, в каждом отрезке Х» есть точки из А. Это значит, что точка хв Е А, так как А замкнуто. Всякая точка множества А покрыта некоторым множеством из системы множеств (В), т.е. существует множество В такое, что нв Е В.
Далее, существует номер й такой, что У» С В, поскольку длина,У» -+ О, а В открыто. Тем самым В покрывает,4 и АОУ» допускает конечное покрытие. Противоречие. Лемма доказана. Т е о р е м а 1(обобщение теоремы Гейне — Кантора). Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нем. До к а з а ш е л ь с ш е о. Возьмем любое г > О и зафиксируем его. Каждую точку хо б К накроем б'-окрестностью радиуса б' = -'б(е,хо), где б(-',хо) = б определяется из условия, что для любого х б К с условием (х — хо) < б имеем Щх) — /(хо)) < е/2. Каждая такая б'-окрестность — это открытое множество. По лемме Бореля выберем конечное поддокрытие для К. Пусть оно состоит из интервалов 3м...,о» с длинами соответственно бм...,б» и центрами ам...,а».
Положим б(е) = ппп(бм...,б»). Если теперь хг н хг таковы, что ~хг — х~~ < б(г), тогда при некотором а = а, имеем, что точка х~ принадлежит -'б('-, а)-окрестности точки а, т.е. ~хг — а~ < -'б(-', а). Но б(г) < -'б(-', а), поэтому /е )хг — а( = )(хг — х~) + (х~ — а)( < )хг — хг(+ )х~ — а) < б ( —, а Отсюда )/(хг) — у(а)) < е/2. Но так как )/(хг) — /(а)! < г/2, то ц (хг) — г (хг)( = ((г (хг) — г (а)) + (г (а) — г (хг ))( < < )/(х~) — у(а)) + )у(хг) — у(а)! < е. Это и означает, что у(х) равномерно непрерывна на К. Доказательство закончено.
Примеры. 1. Функция у =,/х равномерно непрерывна при х > 1. Действительно, для любых х„хг > 1 имеем неравенство (Л7- /* ~= < (х~ — хг( (х~ — хг( / /х+/хг 2», 2 ( -=) Отсюда для любого г > О получим, что при б = 2г Ч х„хг б (1,+ос); )хг — хг! < б ~ (~/хг — ~/хг~ <г. 2. Функция у = хг не является равномерно непрерывной на й, поскольку при г = 1 справедливо неравенство для разности у(п+ -) — у(п) = (и+ — ) — (и) = 2+ — > 1 = е 1 г и п пг при всех натуральных и, а это означает, что не существует числа б(1) > О такого, что для любых двух точек, находящихся на расстояняя меньшем б(1), модуль разности значений функции хг в этих точках был меньше 1. Ради полноты приведем позитивную формулировку свойства функции /(х) не быть равномерно непрерывной на множестве А.
Определение 5. Функция у(х) не является равномерно непрерывной на множестве А, если можно указать такое е > О, что при всяком б > О найдутся числа а, = а,(б) Е А и аг — — аг(б) Е А с условием )аг — аг~ < б, для которых !у(аг) — г(аг)! > е Замечания. 1. В данном определении вместо всех б > О достаточно ограничиться только числами б вида б = б„= 1/и. 2, Непрерывность функции в некоторой точке хе предполагает, что функция Дх) определена в некоторой б-окрестности этой точки. Доказанная выше теорема 1 справедлива в несколько более общей ситуации, Приведем соответствующее определение, Определение 6. Функция Дх), определенная на множестве А, называется непрерывной в точке хе относительно данного множества А, если для любого е > О найдется б = б(е) > О, такое, что при всех х Е А с условием !х — хп~ < б выполнено неравенство )Дх) — у(хг) ( < е, С учетом сделанных ранее замечаний, данное определение непрерывности можно записать через предел функции по некоторой базе.
Рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, остаются полностью справедливыми и в том случае, когда условие непрерывности функции в точке заменяется на сформулированное выше определение непрерывности относительно множества А, если только множество А = К является компактом. 4 3 мм го мсеапегаое меип Глава т' ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекпия 16 1 1. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Свойство функции у(х) быть непрерывной в точке х = а равносильно тому, что разность а(х) = /(х) — у(а) является бесконечно малой при х -+ а. Другими словами, зто означает, что у(х) = у(а) + о(х), где о(х) — бесконечно малая функция при х -~ а. Таким образом, для всякой непрерывной функции в точке х = а имеет смысл рассматривать аналитическое выражение (т.е. формулу) о(х) = у(х) — у(а).
Это выражение называется приращением функпии у(х) в точке х = а. Оно обозначается так: а(х) = Ьу(х). Данное обозначение используется даже и в том случае, когда у(х) не является непрерывной функцией в точке х = а. Итак, если Ьу(х) -+ О при х -+ а, то функция у(х) будет непрерывной в точке х = а, и наоборот.
Для простейшей функции у(х) = х ее приращение а(х) = х — а называется приращением аргумента, поскольку при у(х) = х значение функции у(х) равно значению аргумента. Это выражение имеет специальное обозначение: о(х) = Ьх. Имеем, что Ьх ~ О при х + а, Аргумент,* можно выразить через его приращение Ьх. Действительно, х = а+ (х — а) = а+Ах. Следовательно, при фиксированном а приращение Ьу(х) можно рассматривать как некоторую функцию от Ьх, т.е. а(х) = Ь|(х) = Дх) — ~(а) = 1(а+ Ьх) — т(а) = ~3(Ьх). Когда хотят подчеркнуть, что значение Ьу(х) равно А при х = а и Ьх = 6, то пишут Ьь~(а) = А или Ьу(х)( =а = А.
Пример. Если у(х) = хт, х = 1, Ьх = 2, то Ь(х)) ~-~ = ((х+Ьх) — х )~х=1 =9 — 1=3, Теперь рассмотрим более подробно приращение Ь,«(х) как функцию от приращения аргумента Ьх. Очень важным для построения всего курса математического анализа является случай, когда ЬДх) бесконечно мала и при этом еще и эквивалентна линейной функции вида сЬх, где с — некоторая вещественная постоянная. В этом случае говорят, что приращение Ь,«(х) имеет линейную часть, называемую дифференпналом функции «(х) в точке х = а, а функция «(х) называется дифференнируемой в точке х = а. Другими словами, мы приходим к следующему определению.
Пусть «(х) определена в некоторой б-окрестности точки х = а. Определение 1. Линейная функция д(Ьх) = сЬх называется дифференциалом прирапхення Ь«(х) (или дифференциалом самой функпии у(х) в точке х = а), если ЬДх) сЬх при Ьх -«О, т.е. Ь«(х) = сЬх+ «(Ьх)«1х, где с б К и "«(Ьх) — «О при Ьх — > О. Дифференциал функции «(х) обозначается Ну(х) или просто ф.
Из определения вытекает, что «з«(х) ' 1цп — = с. а~-+о Ьх Если при этом с ф О, то Ьу — -+ 1 при Ьх -+ О. ф Отметим, что функция т(Ьх) определена в некоторой проколотой окрестности точки х = а, функция Ь «(х) определена в некоторой с-окрестности этой точки, а функция Щт) = сЬх определена для всех х б 2. Нам удобно будет доопределить функцию т(Ьх), полагая 7(О) = О.
В результате в равенстве Ь,«(х) = ф(х) + Т(Ьх)Ьх, определяющем дифференциал Н«(х), все участвующие функции будут определены и непрерывны в некоторой окрестности точки Ьх = О. Далее, легко видеть, что Ьх = Их, 99 Определение 2. Число с = ~~~-*-) называется производной функции С(х) в точке х = а. Для производной используются следующие общепринятые обозначения: с = С (а) = — 1 = Щ(х)[ НДх) 1 Если ау(х) существует, то, исходя из определений 1 н 2, мы также можем написать у(х) — у(а) *-+а х — а т.е. С (х) — у(а) у'(а)(х — а) при х -+ а. Введенные выше понятия дифференциала и производной функции имеют не только глубокий аналитический смысл, но вполне определенный физический, точнее, механический, а также геометрический смысл. Введем понятие касательной к кривой в данной точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
