Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Тогда, если а(х) представлена в виде а( ) = «3(х)7(х) то говорят, что а(х) имеет больший (или более высокий) порядок малости, чем «3(х) или -«(х). Определение 2. Бесконечно малые функции а(х) и «3(х) называются эквивалентными (по базе В), если разность 6(х) = а(х) — «3(х) имеет более высокий порядок малости, чем а(х) (или «3(х)).
В этом случае пишут: а «3 (по базе В). Утверждение 1. Следующие утверждения эквивалентны: 1) а «3 (по базе В); 2) к 1 (по базе В), $1 (по базе В). ,1«о и а з а т е л ь с т е о. 1) По условию е = а — «3 имеет более высокий порядок малости, чем а, т.е. б = а«, где « — бесконечно малая функция. Следовательно, имеем «3 = а — б, «3 а — Е а(1 — 7) = 1 — 7 -+ 1.
а а а 2) Обратное утверждение доказывается аналогично. Определение 3. Пусть функция д(х) не обращается в нуль на некотором окончании базы В. 1. Если функции И(х) = ф финально ограничена (по базе В), то пишут «(х) = 0(д(х)) (по базе В). Читается: 3' есть О большое от д по базе В. Или пишут так: У(х) « д(х) (по базе В). В случае, когда 3(х) (( д(х) (( «(х), говорят, что функции 3(х) и д(х) имеют одинаковый порядок по базе В. 2.
Если функция 6(х) — бесконечно малая, то пишут «'(х) = о(д(х)). Читается: 3 есть о малое от д. 3. Если существуют число 6 > О такое, что для любого окончания Ь базы В найдется х с Ь с условием )Цх) ) > Ь > О, то пишут 7'(х) = П(д(х)) (по базе В). Читается: «' есть омега от д (по базе В). 4. Функция 7(х) = О(х ) при х -+ О называется бесконечно малой порядка гп. Знаки О(д), о(д), П(д) предложены Э.
Ландау, а эиак (( ввел И. М. Виноградов. Глава ГУ НЕПРЕРЬ1ВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 12 ~ 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ Определение 1. Функция /(х) называется непрерывной в точке хо, если выполнено одно из следующих эквиввлентнык условий: 1) У е>О Э Ю=Ю(е)>О У*: )х — хо~<б =~ )/(х) — /(хо)(<е; 2) 11т /(х) = /(хо); 3) 1пп /(х) = / 1нп х~; о Фоо Ео /' 4) /(х) = /(хо) + а(х), где а(х) — бесконечно малая функция при х -+ а'о, а(хо) = О; 5) для любого е > О имеем: юокрестность точки /(хо) содержит образ (при отображении /) некоторой окрестности точки хо. Эквивалентность этих определений следует из доказанных ранее теорем о пределах.
Определение 2. Функция называется непрерывной справа, если /(хо+) = )пп /(х) = /(хо); непрерывной слева, если /(хо-) = 1(щ /(х) = /(хо) т-~ко— Утверждение 1. Для того чтобы /(х) была непрерывной в точке хо, необходимо и достаточно, чтобы /(х) была одновременно непрерывна справа и слева. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходцмогть. Если /(х) непрерывна, то /(х) 4 /(хо) при х -4 хо.
Это значит, что для любого е > О существует Ю = 1(е) > О такое, что при всех *: (х — хо) < Б справедливо неравенство (/(х) — /(хо)) < е. Но тогда при всех — о < х — хо < О имеем )/(х) — /(хо)( < е, те. /(х) непрерывна слева. Непрерывность справа устанавливается аналогично. Т4 Досапаточноснаь. Функция у(х) непрерывна справа и слева при х -~ хо Тогда 'Ф е>0 3 б1=61(е)>0 'о' х: 0<х — хо<б1 .=г [1(х) — Йхо)[<е' 3 бг=бг(е)>0 ~ х: -бг<х — хо<0 ~ [,((х) — У(хо)[<е. Возьмем б = ппп(быбг). Тогда для любого е > 0 существет б > 0 такое, что при всех х: [х — хо[ < б имеем [~(х) — У(хо)[ < е, те.
г'(х) непрерывна в точке хо. Утверждение доказано. Пример. Пусть ~(х) непрерывна в каждой точке отрезка [о,6]. Тогда функция Р( ) аа Е -У(п) - У( ) Е " а<п<* а<п<* тоже непрерывна в каждой точке отрезка [а, 6] (непрерывность в концевых точках отрезка понимается как непрерывность справа или слева) . Действительно, имеем: функция г'(х) непрерывна при х = хо, где хо — нецелое число, поскольку в некоторой окрестности этой точки С(х) = ~ спи(л), А(х) = ~ сп — постоянные.
Пусть хо а<а<а а<п<а целое число. Тогда Е"(хо+) = !1пг Г(х) = ~ ~с„1(а) — Дхо) ~ ~оп аа Р(хо), а-ааа+ а<п <па а<п<аа г(хо — ) = )пп г''(х) = ~~', с 1(п) — у(хо) ~ сп = г(хо). а Фаа а<а<*а-1 а<а<па-1 В силу предыдущего утверждения г'(х) непрерывна в точке х = хо. Свойства непрерывных функций вытекают из соответствующих свойств пределов. Пусть у, у непрерывны в точке хо.
Тогда в точке хо имеем: а) <11+ сгу непрерывна для всех сысг Е й; б) 1у непрерывна; в) ~/у непрерывна, если у(хо) ф 0; г) если у(хо) ф О, то существует б > 0 такое, что 1(41(хо) > 0 Ч х Е (хо — б,хо+ б) (т.е. у(х) сохраняет знак); д) /(х) ограничена в некоторой окрестности точки хо. е) если у(х) непрерывна в точке хо, д(у) непрерывна в точке уо = у(хо), то И(х) = д(((х)) непрерывна в точке хо.
~ 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Перечислим элементарные функции. 1. Р(х) — многочлен, Р(х) = аох" + +а„. 2. Рациональная функция у(х) = Р(х)~Я(х), где Р(х), Я(х) многочлены. 3. Показательная функция у(х) = а*, а > О, а ф 1. 4. Степенная функция у(х) = ха = е 5. Логарифмическая функция у(х) = 1ок„х, а > О, а ф 1. 6.
Все тригонометрические функции. 7. Всевозможные суперпозиции всех этих функций. Эти функции носят название элементарных потому, что только они рассматриваются в рамках элементарной математики. Описание их функциональных свойств существенным образом опирается на определение понятий показательной, степенной и логарифмической функций, а также на определения функций синус и косинус от вещественного аргумента. Следует сказать, что в элементарной математике свойства перечисленных функций устанавливаются, в основном, описательно, исходя из наглядных арифметических и геометрических соображений.
В курсе математического анализа эти функции используются главным образом в качестве материала для применения обшей теории, и мы могли бы оставаться на данной "наивной" точке зрения на них. Однако средства математического анализа позволяют дать вполне строгое определение всех основных элементарных функций. Для показательной, логарифмической и степенной функций это будет сделано нами сразу после изучения свойств монотонных функций. Несколько сложнее ситуация с тригонометрическими функциями, поскольку их определение должно опираться на понятие длины дуги окружности или на понятие степенного ряда, которые будут изучаться нами лишь во второй и третьей частях курса.
Пока же, отвлекаясь от строгих определений и опираясь на основные функциональные свойства, мы докажем непрерывность показательной функции у = а' и функции у ш ош х. Утверждение 1. Пр» любом хо б )й функция у = а* непрерывна. Д о к а з а т е л ь с ш в о. Пусть а > 1. Тогда надо доказать, что для любого с > О существует б = б(с) > О такое, что при всех х с условием ~х — хе~ < б имеем (а — а*') < е, или, что то же самое, (а~ ' — 1~ < еа ' = аы Заметим, что можно ограничиться случаем г, < 1.
В качестве б(я) мы возьмем число б~ — — б~(е~) > 0 такое, что из неравенства (х — хо! < б~ следует неравенство (а* *' — 1) < еы Далее положим б(с) = б~(е~) = ф;-. Имеем — б~ < х — хе < бы Так как а > 1, то а ~ < а~-~0 < а~~ а ' — 1<а* ~' — 1<а' — 1. Сначала докажем, что а~' — 1 < сы Положим Ф= 1/б, = > = — +1> —.
Тогда 1/б~ > Ф, т.е. б~ < 1/Х. Так как (1+с~) > 1+с~Я > 1+с~ — > а, Ф а е~ то 1-1- е, > а'~'~ > а~~ Отсюда следует, что а ' — 1 < е~ Окончательно имеем -с~<о ' — 1<а ~ — !<о' 1<ею следовательно, )а ' — 1~<ею Тем самым доказана непрерывность /(х) = а в точке хо.
Доказательство закончено. 77 Утверждение 2. Функция Дх) = в1пх непрерывна в точке хо. Д о к а з а е1 е л ь с га е о. Вспомним, что ~в1пх) < ~х~. Имеем тогда х — хо х+ хо) х — хо )япх — в1пхо~ = 2яп 2 2 2 сов — < 2 — = ~х — хо(. Таким образом, для любого е > О положим б(е) = е, и получим ~япх — в(пхо! < е Ч х: )х — хо~ < е. Следовательно, функция у(т) = япх непрерывна. Эти утверждения можно записать так: в(п х = яп хо + а(х), а* = а*' + 11(х), где а(х), р(х) — бесконечно малые функции. При х -+ О, т.е. при хо — — О, имеют место более точные соотношения, которые называются замечательными пределами: 1) япх~х 1, 2) (е* — 1)/х 1. Эти пределы используются далее для изучения дифференциальных свойств элементарных функций. Лекпия 13 г 3.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 1. Имеют место соотношения: Утверждение а) 1пп 1+ -' =е; ,У о к а з а вг е л ь с т в о. а) Рассмотрим сначала случай х -1 +со. В силу свойства монотонности показательной функции справедливы неравенства 1+ — < 1+ — < 1+— Но мы знаем, что 1пп 1+ — = е. Отсюда 1пп 1+ = е, 1пп 1+ — = е, т. е.
справедливы утверждения и У е>0 3 А11=А11(е): У п>Ф1 =г 1+ — ) — е <е; .+) «+1 Э Фг —- А1г(е): У п>Юг =г 1+ — ) — е <е. Тогда при и > игах(Ж1, Аг) имеем Если х > 1+ игах(Ф1, Фг) = Ф, то [х] > игах(Ф1, Фг) = Ф вЂ” 1. Следо- вательно, при х > Ф справедливы неравенства 1«1 1 1*1+ 1 е — е.< 1+ < 1+ — < 1+ — < е+е. ТО б) 1пп(1+ х)И* и-+О г) 1пп'— ,=1. и-+О п е — е< 1+ — ) <е+е; .+) и+1 е — е< 1+-) <е+е. и Таким образом, получим 1~' Чг>ОЛМ: Чх>М ~ 1+ — ) — е <е. Это значит, что 1 + ~ -+ е при х †) +оо. Рассмотрим теперь случай х -ч — оо. Положим у = — х.
Тогда, используя теорему 4 16 гл. Ш о пределе сложной функции, будем иметь =. !цп 1 — — = !пп 1+— Соединяя вместе случаи х -ч +оо и х — ~ — оо, приходим к соотношению !пп 1+ — = е. е = !пп 1+ -) = 1пп(1+ х)~! у->со ! У ж->О в) Так как (1+х)~~~=е - — >е при х — >О, то из непрерывности и монотонности функции у = е следует, что !п(1+ х) !пп = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
