Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 12
Текст из файла (страница 12)
1, С 1„. По лемме о системе стягивающихся вложенных отрезков существует точка 1 такая, что для любого номера и имеем 1 Е 1„. Докажем, что 1ппу(х) =1. В Для этого нам надо доказать, что для любого во > 0 существует 6((во) Е В такое, что при всех х Е 61(в) справедливо неравенство (У(х) — 1) < во. В качестве Ьь(во) возьмем Ь(„-'), где и > 2в,)'.
Тогда при всех х, у Е 6)(во) по условию Коши выполняется неравенство йх) — У(уП « — —. 1 во и 2 Ь . Ь««««в «ис«аэ «с«««В «элиз И при всех х Е Ь1(ее) имеем гп — < ~(х) < М Кроме того, ! Е ) (к). Это значит, что га — <(<М Отсюда Теорема доказана полностью. Определение. Две базы В~ и Вх называются эквивалентными, если любое окончание базы В1 содержится в некотором окончании базы Вю и наоборот. Заметим, что для эквивалентных баз утверждения о пределах будут выполняться одновременно.
Лекция 11 1 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ СХОДИМОСТИ ПО КОШИ И ПО ГЕЙНЕ Т е о р е м а. Схццнмости функции у(х) по Коши и по Гейне прн х'~ хо эквивалентны. Другими словами, существование предела функции по Коши прн х + хо влечет за собой существование предела функции по Гейне по той же базе н наоборот, причем в обоих случаях значения пределов совпадают. ,7 о к а з в ш е л ь с ш в о. 1. Пусть существует 1пп у(х) по х-ма Коши. Докажем, что существует соответствующий предел по Гейне. Действительно, из условия имеем, что 'т' е>0 3 б=б(е) >О, такое, что У х: 0<)х — хо(<б выполняется неравенство ),((х) — !) < е.
Пусть (х„) — произвольная последовательность, стремящаяся к хо при и -+ оо и х„ф хо при всех и б г!. Тогда для любого б > 0 существует Ф~ = Ф~(б) такое, что при всех и > А!~ 0 < )х„— хо) < б Так как б можно взять любым, то и для б = б(е) справедливо то же утверждение.
Нам надо доказать, что для любого е > 0 найдется номер Ф(е) такой, что Ч п > Ф(е) имеем )у(х„) — !) < е. Положим А!(е) = А!~(б(е)). Тогда, ввиду того, что 0 < )х„— хо) < б(е), имеем )~(х„) — !) < е, Тем самым прямое утверждение доказано. 2. Докажем теперь обратное утверждение. Пусть для любой последовательности (х„! с условиями х„-о хо и х„ф хо имеем у(х„) — ~ ! при и -о оо. Далее будем рассуждать от противного.
Пусть 1 не является пределом функции ((х) по Коши. Это значит, что найдется е > О, такое, что Ъ'б>0 3 х: 0<)х — хо)<б, для которого выполняется неравенство Щх) — !! > е. 67 Рассмотрим последовательность б„= 1/и. Тогда для любого и найдется число х„такое, что: 1) х„4 хо, 2) 1х„— хо~ < 1/п, но 3) (/(х„) — 1) > е. Заметим, что числа (х„) образуют последовательность, сходящуюся к хо.
Следовательно, в силу сходимости по Гейне при п -+ оо существует предел 1ип /(х„) = 1. Но тоа-+сю гда, переходя к пределу в неравенстве 1/(х ) — 1( > г, будем иметь О = 11 — 1) > е. Полученное противоречие устанъвливает справедливость второго утверждения теоремы. Доказательство закончено. 1 6. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Напомним, что сложной функцией Ь(х) называют функцию вида Ь(х) =/(д( )), где /(у) и д(х) — некоторые функции такие, что область определения /(у) содержит все множество значений, принимаемых функцией д(х). Функцию Ь(х) еще называют композицией (или суперпозицией) функций / и д.
Символически зто записывается так: Ь = /од. Следовало бы ожидать, что справедлива следующая теорема: Пусть 1ип д(х) = уо, !ип /(у) =1. Тогда имеем х -Ф а О У-+У0 !ип /(д(х)) =1. Такое утверждение справедливо, например, для непрерывных функций. Однако в общем случае эта теорема неверна. Пример. Г О, если * ~ О, /(х) = ~ д(х) = О.
1. 1, если х=О, Тогда 1ипд(х) = О, 1ип/(х) = О, /(д(х)) = 1 Ч х б !й, 1ип/(д(х)) = 1. Тем не менее, справедливы следующие утверждения. Т е о р е м а 1. Пусть 1ип д(х) = уо, 1ип /(у) = /(уо). Тогда й-Фйа У ~УО имеем 1'ип /(д(х)) = /(уо). У о к а э а гл е л ь с гл в о. Нам надо доказать, что для любого е > О существует б = б(г) > О такое, что при всех х с условием О < /х — хо/ < б имеем /У(д(х)) — У(уо)! < е. Далее, для любого заданного в > О существует б~ —— бд(е) > О такое, что при всех у: Ь вЂ” уо! < бо имеем /У(у) — У(уо)/ < с. Для этого бо существует б = б(бд) > О такое, что при всех х с условием О < !х — хо/ < б имеем (д(х) — уо! < бо Полученное б нам и требовалось найти.
Теперь при всех х с условием О < ~х-хо! < б имеем ~д(х) — уо) < бо. Следовательно, )Дд(х)) — г(уо)! < е. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2. Пусть 1пп х„= а, 1пп у(у) = у(а). Тогда имеем и-+оа у-ьа 1пп у(х„) = у(а). Д о к а з а гл е л ь с гл в о. Надо доказать, что для любого с > О существует ио — — ио(г) такое, что при всех и > ио выполняется неравенство ~Дх„) — у(а)! < в. По условию имеем: 1) для любого е > О существует бо — — бо(в) > О такое, что при всех у с условием (у — а! < бо выполняется неравенство (Ду) — у(а) ~ < с; 2) существует ио = ио(бо) такое, что при всех и > ио выполняется неравенство ~х„— а~ < бо. Положим ио = ио(бо(е)). Тогда при всех и > ио имеем )х„— а! < б~ и Щх„) — У(а)) < в. Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3.
Пусть 1\т д(х) = уо, причем для всех х из л-~во некоторой проколотой окрестности точки хо имеем д(х) ф уо, и пусть 1пп /(у) = 1. 9 +Ую Тогда 1пп У(д(х)) =1. Я о к а з а ти е л ь с эи в о. Нам надо доказать, что для любого -' > О существует б = б(в) > О такое, что при всех х с условием О < )х — хо~ < б выполняется неравенство По условию имеем, что для любого е > 0 существует б~ — — б1(е) > 0 такое, что при всех у с условием 0 < )у — уа) < б1 выполняется неравенство Для заданного б1 > О имеем также, что существует бт = б(б1) > 0 такое, что при всех х с условием 0 < )х — хо) < бз выполняется неравенство )д(х) — уе) < б1.
И, кроме того, по условию существует бз > 0 такое, что при всех х с условием 0 < )х — ха) < бз справедливо неравенство д(х) ф уо. Тогда возьмем б = пнп(бз,бг(б1(е))). Получим, что при втой величине б выполняется требуемое неравенство. Теорема 3 доказана. Пусть теперь т'(х) имеет предел по базе В. В каком случае сложная функция 6(1) = т'(д(1)) по некоторой другой базе Р имеет тот же предел? Другими словами, когда в функции, стоящей под знаком предела, разрешается делать замену переменной х на новую переменную 1 с соответствующей заменой базы В на новую базу Р так, чтобы значение предела сохранялось? Здесь имеет место следующая теорема.
Т е о р е м а 4. Пусть 11гп 1(х) = 1. Тогда для того чтобы в существовал 1ппу(д(1)) =1, достаточно, чтобы пря отображении х = д(1) каждое окончание 6 базы В содержало (целяком !) образ некоторого окончания Н базы Р. ~У о и а з а га е л ь с т в о. В силу определения предела функции по базе В имеем, что для всякого е > 0 существует окончание 6= 6(е) Е В такое, что при всех х Е 6 имеем )у(х) — 1) < е. Из условия теоремы следует, что существует окончание б Е Р такое, что д(Н) С 6, и, следовательно, для любого 1 Е д |у(д(1)) — 1) < г, что и означает справедливость утверждения теоремы.
Доказательство закончено. Примеры. 1. Пусть 1 1пп т (х) = 1, х = -. ь-чсо 70 Тогда 1ппу — = С. Действительно, любое окончание 6 = (х ) )х! > с) базы В (х -+ оо) содержит целиком образ окончания Ы = (С ) )С) < 1/с) базы Р (С -+ 0). 2. Пусть 1, если х=О, ~(х) = О, если хфО, и д(С) = О. Тогда 1пп у(х) = О, но 1ппс"(д(С)) = 1, т.е. сложная функция имеет другой предел. В этом случае окончания Ьс Е В (х -+ 0) имеют вид 0 < )х( < б, но образ любого окончания Ы Е Р, с~ = (С ( 0 < )С) < Ю~), имеет вид х = О, т.е. в окончании Ьс базы В не содержится образ ни одного окончания базы Р, т.е.
не выполнены условия теоремы 1. 3. Пусть у(х) -+ С при х -+ а и д(С) -+ а при С -+ Ь, причем д(С) ф. а в некоторой проколотой окрестности точки 6. Тогда для сложной функции 6(с) имеем п(С) = у(д(С)) -+ С при С -+ Ь. Действительно, каждое окончание базы х -+ а представляет собой некоторую проколотую окрестность точки х= а. Но в силу условия д(С) -+ а и д(С) ф а при С -+ 6 зта окрестность содержит образ некоторой проколотой окрестности точки С = Ь при отображении х = д(С).
Таким образом, здесь выполнены условия теоремы 1, и поэтому 6(С) -+ С при С -+ 6, что и требовалось доказать. Доказанные нами теоремы применяются при вычислении пределов функций. 4. При х -+ 0 имеем ~С+2 +1 Ос+2 О+1 У(х)— -+ — 1. з С .1.1 Оз.сб 1.1 5. При х -+ 2 имеем 2з+2 2+1 9 2з+2+1 11 6. При х -+ со имеем 3 7. ПОРЯДОК БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ФУНКЦИИ Определение 1. Пусть а(х), «3(х), «(х) бесконечно малые функции по базе В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
