Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В ьь<ьь силу аналогичных соображений относительно множества Мт = (е") существует число 7т — — 1п( (е" ), гь>а Покажем, что на самом деле имеет место равенство 11 = гю Для этого сначала заметим, что каждое из чисел е"' является верхней гранью множества Мь, в то время как 71 есть точная верхняя грань этого множества. Следовательно, для любого гт > а выполнено неравенство 71 < е". Это значит, что 71 есть нижняя грань множества Мю Но так как 72 — это точная нижняя грань данного множества, то 7ь < 7ю Выберем теперь некоторые значения г1 и г2 с условием [а) ( г1 < а < г2 < [а] + 1.

Тогда справедливы неравенства е"' < т1 < Т2 < е"' < е]"]+1 О ( у2 11 ( его ег~ ег, [сг~-г~ 1) ( е]о]+1 1 [г2 г1) Но поскольку число ]2 — у1 — фиксировано, а число г2 — г1 ) О может быть сколь угодно малым [например, в качестве г1 и г2 можно выбрать любые округления числа а с избытком и недостатком), то отсюда следует, что у2 — у1 = О, т.е.

Т2 = т1. Указанную величину у1 — — т2 — — -1 мы возьмем в качестве значения степени е', т.е. мы по определению полагаем "1=У1= 1'2=Е . Тем самым мы определили функцию у = е* для всех возможных вещественных значений х. Осталось показать, что эта функция строго возрастает и удовле. творяет функциональному уравнению аида е~'г~' = е~'+~' Прежде всего следует сказать, что из ее определения вытекает, что если г1 < о < г2, где г1 и г2 — рациональные числа, то имеет место неравенство е" <г <е"*. Но тогда, если а < Д, то на интервале [а, Ц) найдется рациональное число гз такое, что имеет место неравенство еа (егз <еР Таким образом, строгая монотонность функции у = ег установлена.

Пусть теперь р = а+13. Заметим, что если и — рапдональное.число, то и в этом случае при рациональных г1 и г2 имеем е" = анр е"' = 1пГ е". г1<и мзк Доказательство последнего равенства по существу повторяет рассуждения, проведенные нами выше для иррационального числа д. Представим теперь число г1 в виде г1 —— г', + г",, где г', < а и г" ,< ]1, а число г2 — в виде гг = г2+ г2', где г2 ) а и г2 ) ]у. вг Тогда будем иметь ет1 е~'1+~1 < ее ее < еГ(+Гд о~2 о~1 < ео < е'2 Отсюда следует, что И = )ео — еаел( < е"' — е"' Но ранее мы уже показали, что данное неравенство при произвольных рапиональных значениях г! и гг с условием ге < д < гг влечет за собой равенство Я = О.

Другими словами, это означает, что е" = е+о = е ео, и тем самым все требуемые свойства функции у = е, определенной ранее на всеЯ вещественной оси, полностью доказаны. Тогда у функции у(х) =.е', отображающей вещественную ось )и на луч (О,+со), существует обратная функция у(х), отображающая луч (О,+ос) на всю вещественную ось %. Эта функция называется нашуральнмм логарифмом и обозначается так: у(х) =.1пх.

Она всюду непрерывна, строго возрастает и удовлетворяет условию: х = е!"*. Отсюда имеем !э~г !пе Ьг !о +!пг Поэтому справедливо равенство 1п ху = 1и х+ 1и у. Тем самым установлено основное свойство функции у =!пх. Обратимся теперь к степенной функции у = х, где х > О. Для рациональных значений ж ее свойства уже описаны при определении показательной функции.

Есля же ег — иррациональное число, то тогда эту функцию мы можем определить равенством а «!эе В этом случае все ее элементарные свойства следуют из уже рассмотренных свойств показательной и логарифмической функциЯ. Здесь уместно снова подчеркнуть, что строгое обоснование свойств тригонометрических функций в этой части курса по указанным ранее причинам проводиться нами ие будет. В заключение рассмотрим несколько примеров на применение доказанных выше теорем.

Примеры. 1. Функции у = агсапх, у = агссозх, у = агсгбх непрерывные на всей области их определения. Это утверждение является прямым следствием доказанных выше теорем. 2. Существует единственная функция х = х(у) (-оо < у < +со), удовлетворяющая ураенемию Келлера х — 'еа1пх = у (О < е < 1). Действительно: 1) функция у(х) монотонно возрастает, так как при х~ > хз х~-хз х~+хг у~ — уг=х~ — хз — е(е)п х~ -а(п хт)=х~ — хз — 2е а(п — соа —, 2 2 ! х~ — хз х~+хт) )х~-хт ~ 26 е(п — соз — ~ < 26 ~ — = с(х1 — хт), 2 2 ~ ~ 2 1П вЂ” уз >(1 — е) (х ~ -хт) >О; 2) у(х) = х — ее)пх — функция'непрерывная.

По теореме 3 отсюда следует, что на любом отрезке а < у < е существует единственная непрерывная функция х(у), удовлетворяющая уравнению Кеплера. Лепнин ь4 3 5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ Т е о р е м а й (об обращении функции в нуль). Пусть функцяя у(х) определена и непрерывна на [а,6] я на концах этого отрезка она принимаег значения разных знаков, 'т.е. ~(а)~(6) < О.

Тогда существует с Е (а, 6) такое, что у(с) = О. Д о к а з а т е л ь с т в о проведем методом Больцано. Отрезок по = [а,6] разделим пополам точкой х1 = Яф. Если у(х1) = О, то все доказано. Если нет, то у(х1) имеет знак, отличный либо от у(а), либо от у(6), Обозначим через У1 тот из двух отрезков [а,х1] или [хм 6], на концах которого у(х) принимает значения разных знаков. Теперь разделим п1 пополам точкой хт и выберем отрезок от так, чтобы на концах его у(х) имела значения разных знаков.

Поступая так и далее, получим последовательность вложенных отрезков .7о Э у1 Э /т Э ... Это последовательность стягивающихся отрезков, так как длина У„= Ю„= та -+ О пРи п -+ со. ПУсть хо — общаЯ точка б всех отрезков. Тогда если о„= [а„,Ь„], то а„-+ хо и Ь„-+ хо при и — о оо, и отсюда Да„) — о у(хо) и у(6„) -+ у(хо) при н-+ со Так как у(а„)у(6„) < О, то 1пп у(а„)у(Ь„) = уо(хо) < О. Следовательно, у(хо) = О, что и требовалось доказать. Т е о р е м а 2 (о промежуточном значении непрерывной функции). Пусть Дх) непрерывна на [а, Ь], у(а) = а, /(6) = р я пусть с — любое число, удовлетворяющее условию а < с < )д, если а < р, р<с<а, если1д<а. Тогда существует точка хо Е [а, 6] такая, что у(хо) = с.

Д о к а э а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию д(х) = у(х) — с. Если д(а) или д(6) = О, то тогда хо = а или хо = 6. Если же д(а)д(6) ф О, то д(а) и д(6) имеют значения разных знаков. По теореме 1 существует точка хо Е [а, Ь] такая, что д(хо) = О, откуда у(хо) = с, что и требовалось доказать. Т е о р е м а 3 (об ограниченности непрерывной функции).

Функция, непрерывная яа [а,6], ограничена яа этом отрезке. Д о к а з а аг е л ь с т е о. Проведем доказательство методом Больцано. Предположим противное, т. е, пусть У(х) не ограничена. Тогда разделим отрезок .Уо = [а,6] пополам. В качестве У1 выберем ту половину, где У(х) не ограничена. Снова делим пополам,У1 и выбираем в качестве .Уг ту половину, на которой У(х) не ограничена.

Имеем .Уо Э У1 Э Уг Э Э У Э .... Получена последовательность стягивающихся отрезков. Пусть хо — их общая точка. В ней У(х) непрерывна. Возьмем б(1) — окрестность точки хо, в которой ]У(х) — У(хо)! < 1. Тогда ]У(х)! =((У(х) — У(хо)) + У(хо)! < ]У(х) — У(хо)]+ ]У(хо)! < 1+ йхо)! и У(х) ограничена в б(1)-окрестности точки хо. Поскольку б(1) > О, то в ней целиком содержится всякий отрезок .У„, если только его длина б„= бо/2" < б(1). Но тогда У(х) будет ограничена и на У„, что противоречит построению [У„).

Теорема доказана. Т е о р е м а 4 (о достижении непрерывной функцией точной верхней и нижней граней). Функция, непрерывная на отрезке, достигает своей точной верхней грани и точной нижней грани, т. е. л х1 е [а,6] такое, что впр У(х) = У(х1), *6[а,а[ Л хг Е [а,6] такое, что [пг У(х) = У(хт). *о[а,ь[ докажем теорему то.йько для опр,1(х), так как для случая [АУ(х) можно рассмотреть функцию У1(х) = — У(х). У[ о к а з а пг е л ь с пг е о. Оп1 противного. Пусть А = опр У(х), гя [аь] А ф У(х) при всех х Е [а, 6].

Тогда А > У(х) для любого х. Но тогда А — У(х) — непрерывная функция и А — У(х) > О при всех х Е [а,6]. Следовательно, у(х) = лу~ тоже непрерывна. Поэтому у(х) ограничена по теореме 3 и, значит, найдется В > О такое, что 1 А — У(х) Отсюда '1 1 А — У(х) > — У(х) < А — —, В' В' т.е, число А — к есть верхняя грань, которая меньше, чем А, но это 1 противоречит тому, что А — наименьшая верхняя грань.

Теорема доказана. 91 Так как для непрерывной функции у(х) на отрезке точная верхняи грань и точная нижняя грань достижимы, то А = виру(х) называют максимальным значением у(х), а В = 1шу(х) — минимальным значением у(х) и пишут А = гпах у(х), «(а,ь] В = ппп у(х). «в[а,ь) Пример. Пусть функция у(х) непрерывна на отрезке [а,6) и пусть а = х1 < хз « .

х„= 6. Тогда существует точка б е [а,6) такая, что выполняется равенство а У(х!)+1(х2)+ "+У(х.) Действительно, пусть гл = пап (~(х~), У(хт),..., У(х»)), М = гпах ®х1), ~(хз),..., Дх„)). Тогда, очевидно, справедливо неравенство ,[(хг) + ~(хг) + '' + У(хл) Следовательно, в силу теоремы 2 о промежуточном значении непрерывной функции отрезок [гп, М] принадлежит области значений функции у(х), и потому существует точка ~ Е [а, 6) такая, что,Я) = А. Это и есть искомая точка. Лекция 15 $6. ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ Запишем определение функции, заданной па мпохгестве Х и непрерывной в точке хо б Х: для любого е > 0 существует б = б(е) > 0 такое, что при всех х б Х и [х — хо! < б имеем !)(х) — У(хо)! < е.

Вообще говоря, при фиксированных е > 0 у каждой точки хо будет свое значение величины б(в), т.е. б(е) зависит от хо и это можно символически записать так: б(е) = б(е, хо). Если оказалось, что для любого е > 0 и всякой точки хо б Х величина б(е) не зависит от хо, то функция у(х) называется равномерно непрерывной иа множестве Х. Запишем это определение более четко в эквивалентной форме. Определение. Функция у(х) называется равномерно непрерывной на Х, если У к > 0 3 б = б(е) > 0 такое, что Ч хыхг б Х: [хг — хг! < б =~ [У(хг) — У(хг)! < е.

Характеристики

Список файлов книги