Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

х-~е х г) Вновь воспользуемся теоремой о пределе сложной функции, полагая д(х) = е* — 1 — ~ О при х -+ О, !п(1 + у) ПУ)= — >! при у — ~0, у и, кроме того, у(0) = 1, Тогда имеем ~(у(х)) =,~ — ~ 1 при х — ~ О. утверждение г). Утверждение 1 полностью доказано. Отсюда следует утверждение а) доказано. б) Для доказательства соотношения 1!гп(1+х)'~ = е воспользуемся т->О той же теоремой 4 16 гл.

Ш. Полагая х = 1/у, получим Утверждение 2. 1пп '— '"~ = 1. »-~О япх х гкх — «вЂ” 2 2 2 Отсюда получим япх созх « — 1. х Последние неравенства связывают четные функции, поэтому они имеют место при 0 < ~х~ < я/2. Так как сов х — непрерывная функция, то по теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем япх !цп — = 1. »-эо Доказательство закончено. Примеры вычислении пределов.

»-+О (1 1 х)» 1 е»!и(!+») 1 е»»+»1»1 1+ ох+ о(х) — 1 = о + о(1) — э о при х — + О. х Этот прием называется заменой бесконечно малой функции на эквивалентную ей. »->О 2 1 — созх 2яп '- 2( к+о(х)) — *+о(х ) 1 + о(1). хг хг хг Таким образом; 1) (1+х)" = 1+ах+ о(х) при х — э 0; хг 2 2 2) соз х = 1 — — *+ о(хг) при х -+ 0; х» 3) 1пп 1+ — ') = е'. Положим х„= „-' -эО при о -э со. Тогда по »-»оа г теореме о пределе сложной функции имеем ч» 1пп 1+ — г) = 1пп ((1+х„) ~* ) =с*'и" * =е . »-ню ~ и»-»»з 81 Д о к а з а пг е л ь с т е о.

При 0 < х < к~2 рассмотрим сектор единичного круга, отвечающего дуге длины х, и два треугольника, один из которых вписан в сектор, а второй, прямоугольный, содержит его, имея с ним общий угол и сторону на оси абсцисс. Сравнивая площади этих фигур, имеем 1 4. НЕ11РЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1. Функция т(х) называется непрерывной на множестве А, если она непрерывна во всякой точке х б А. Если не все точки множества А входят в него с некоторой окрестностью, то это определение чуть-чуть меняется, например: Определение 1а. Функция т(х) называется непрерывной на отрезке 1 = (и, Ь), если она непрерывна пря всех хв с условием а < хо < Ь, непрерывна справа в точке а н непрерывна слева в точке Ь. Определение 2.

Функция Дх) на множестве А называется а) неубывающей (у 1' на А), если у(о) < у(Ь) при всех значениях а,ЬбА, а<Ь; б) невозрастающей (~ 1 на А), если у(а) > Д(Ь) пря всех значениях а,ЬбА, а<Ь; в) (строго) возрастающей (у '11'), если у(а) < у(Ь) при всех значениях а, Ь б А, а < Ь; г) (строго) убывающей (у Д), если у(а) > у(Ь) при всех значениях а,ЬбА, а<Ь. Если у(х) неубывающая, или невозрастающая, нлн возрастающая, нлн убывающая на А, то у(х) называется монотонной функцией на А. Определение 3.

Если в своей области определения функция у(х) не является непрерывной в точке хв, то она называется разрывной в точке хо. Точка хв называется точкой разрыва Дх). Определение 4. Точка хо называется точкой разрыва первого рода функции у(х), если существуют конечные пределы 1пп у(х) ~-~~0+ и 1пп у(х). В противном случае точка разрыва функции у(х) а +го называется точкой разрыва второго рода. Примеры. 1. у = (х) имеет разрывы первого рода в целых точках. 2, у = в1п1/х в точке хо = 0 имеет разрыв второго рода. (Рассмотреть две последовательности х„= —,„, у„= -7-+,— „.) Определение б.

Разрыв первого рода в точке х0 называется устранимым, если существует !пп Дх) =1, но 1 ф Д(хв). Х ~Ю0 Этот разрыв устраняется, если по-новому определить (или, возможно, доопределить) у(х) в точке х = хщ положив у(хв) = 1пп р Дх). Если т'(х) -+ 1 при х -+ хо, но Дх) не определена при х = хв то говорят также, что имеет место устранимый разрыв. В противном случае разрыв первого рода называется неустранимым. 82 Т е о р е м а 1 (о точкак разрыва монотонной функции на отрезке).

Пусть функция г(х) — монотонная на отрезке [а;Ь]. Тогда она может иметь на этом отрезке разрывы только первого рода. Более того, прн всех хо Е [и, Ь] имеем !пп г(х) = зп(,)(х) = (ы Вгп )(х) = апр г'(х) = !г, «<«о (г < У(хо) < 6ю если у(х) не убывает. Если же функция г"(х) не возрастает, то !пп Дх) = авр Дх) = Мы )(пг,)(х) = (пу,)(х) = 4г, «-+««+ «>«««+«о «<«« !г < У(ха) < !г.

Д о и и з и ш е л ь с ш и о. Рассмотрим только один случай, когда функция у(х) не убывает (!" !) на [а,Ь]. Остальные случаи рассматриваются аналогично..Докажем теорему в этом случае: !цп у(х) = !и! у(х) = (и «-«««+ «>«о Совершенно аналогично доказывается, что !(ш У(х) = апр 1(х) = !г «-+««- «<«« Так как !1 — точная нижняя грань множества значений у(х) при г>«о, то; !) У(х) > С1 Ч х > хо' 2) У е) О В «1) «, такое, что У(х1) <!1+с, В силу того, что у(х) неубывающая функция, имеем с.чедовательно, !г = )пп,.+„ау(х), Имеем еще, что число у(хо) есть нижняя грань для (у(х)) при х > хп, откуда у(хо) < (и Аналогично г(хо) > !г откуда !г < У(хо) < !ю что и требовалось доказать, Т е о р е м а 2 (критерий непрерывности монотонной функции). Пусть у(х) определена и монотонна на отрезке [и,6].

Тогда для непрерывности ее на этом отрезке необходимо н достаточно, чтобы для любого ! Е [г(и),г(Ь)] нашлась точка хо Е [а,6] такая, что )'(го) = !. Л п и и з и ш г л ь с ш е о. Рассмотрим только случай неубывающей функции у(х) иа отрезке [и, Ь]. Необходимость. Возьмем любое число 1 б [/(а), /(Ь)].

Рассмотрим множество Х = [х) С «а, Ь], для которых /(х) > 1, и пусть хо = (п! Х. Тогда, поскольку /(х) неубывающая функция, имеем 1ип /(х) = (п( /(х) =1г > 1. х-эк + э>ээ При х ( хо (если хд ф а) /(х) < 1. Отсюда !ип /(х) =1т <1, э-эсч- т.е. 12 <! < 1!. Если /(х) непрерывна на [а,Ь], то /(х) непрерывна в точке хо, т.е.

1 = 1~ = У(хо) Оледовательно, ! = !т = 1~ = У(хо). Если же хо = а, то /(а) < 1 < 1ы но иэ непрерывности функции /(х) в точке а. слева следует, что /(а) = !ы а значит, 1 = /(а) = 1ы .'1огээиипочногэль. Будем рассуждать от противного. Пусть /(х) имеет разрыв в точке хо и /(х) не убывает на [а,Ь], Тогда для значениЯ 1, = 1ип /(х), 1т = 1ии /(х) выполняются неравенства э-ээо+ э-эээ- !2 < 11 и 1з ( /(хо) (!! ° Воэьмем 1 б (1,1~) и 1 ф /(хо).

Имеем: 1 > /(х) при х < хьз 1</(х) при х>хо, 1ф/(с) при я=хо, т.е, функция не принимает значение 1 на [а,Ь]. Таким обраэом мы пришли к противоречию. Теорема докаэана полностью. Т е о р е м в 3 (об обратноЯ функции), Пусть функция у = /(х) строго возрастает н непрерывна на отрезке [п,б[. Тогда гущегтвует фуякдня х = д(у), строго возрастающая, определенная на отрезке [У(а), /(Ь)1 и непрерывная на нем, такан, что б(/(х)) = х, т.е, у = / Д о и а э а ш е л ь г щ в о. !. Отображение [а, Ь] — + [/(а),/(Ь)] ! инъективно, где'[п, Ь] = 1ы [/(и),/(Ь)] = !т, те, является вложением. Другими словами, для любых точек х~ ф хт имеем неравенство У(х ) Ф/(') 2. Отображение / сюръективно, т.е. является накрытием.

Это имеет место по теореме 2, утверждающей, что для любого числа 1 е (/(а),/(Ь)] найдется точка хо Е (а,Ь] такая, что /(хс) = 1. Следовательно, 1 есть биекция, т.е. / устанавливает взаимно однозначное соответствие между 1~ и 1ю Тогда существует обратное отображение д, т.е. обратная функция * = д(у). 1. Эта функция монотонно возрастает, так как если у~ > ую то д(у~) = х~ и д(уг) = хю причем /(х~) = у~ и /(хэ) = ую Отсюда х~ > хю поскольку /(х) монотонно возрастает. 2. Эта функция д(у) принимает все значения из (а,6], так как для каждого х существует у такое, что д(у) = *, и этим у является число /(х).

Отсюда в силу теоремы 2 имеем, что функция д(у) непрерывна на отрезке 1г Теорема полностью доказана. Используя доказанные выше теоремы о монотонных функциях, снова обратимся к изучению элементарных функций. Прежде всего, заметим, что при натуральном гп функция 1(х) = х = х...х является ъ~~' Г пз непрерывной и строго возрастающей при х > О.

Действительно, если а > 6 > О, то е > а 'Ь > а ~Ьз > > аЬ > Ь™. Непрерывность же функции /(х) = х следует из того, что она является произведением гп непрерывных функций вида у = х. По теореме 3 при всех х > О для нее существует обратная функция д(х), которая тоже непрерывна и строго возрастает.

Для нее, как известно из курса элементарной математики, используется обозначение д(х) = ~Д и она называется операцией извлечения корня гп-й степени. Зафиксируем теперь число х > О и натуральное гп и рассмотрим числа у = Г/х,х = 7/х". Тогда у™ = х, у " = х", х™ = х", откуда имеем (у") = х и у" = х, т.е. ( ~/х) = ~/х". Это значит, что операция извлечения корня и возведения в целую степень перестановочны, и для числа х возможно использовать обозначения вида х = х"~™ и — 1 — х- /т Пусть теперь г = а/Ь и г~ — а~/6~ рациональные числа, причем а,п, — целые числа, а 6,6~ — натуральные числа.

Положим Н = = х~1~м'>, будем иметь с, (амда,ь ~аь~+а,ь — тг; ~.+ю~ Аналогично, получим т ю ( ~аь!) г," даа~ тг~ оч Таким образом, для рациональной степени фиксированного числа х выполняются те же функциональные соотношения, что и для пелой степени того же числа х. Далее, используя прежние обозначения, допустим, что г > гь и Т а й>1 Ь >, Ь (ьбь> 1аьЬ ь> ьь Следовательно, при возрастании рацяонального числа ь при х > 1 значения х" возрастают.

Далее положим х = е. Ранее для любого натурального Ь нами были получены неравенства 1+ — <е< 1+— Отсюда следует, что 1 еь+ь < 1-1- — < еь Ь Выполняя очевидные преобразования, получим 1 1 ь 1 еь+ <1+ — =, е ь+ >1 — —. Ь+1 Ь+1 Далее, пусть )з ) < 1 и ь = го/и. Тогда )пь! < и. Применяя неравенство Бернулли, приходим к неравенству (еь1/ьь))ььь! > (1 -ь 1/я)(™( еььь/ьь е" > ].1. г Отсюда в случае 0 < г < 1 будем иметь 1 е" < — = 1+ —. 1 — г 1 — г е ">1 — ь, 86 Пусть теперь а — иррациональное число, и пусть рациональные числа гь и гт удовлетворяют неравенствам г1 < а < гю Тогда если (г1)— множество всех рациональных чисел, определяемых условием г1 < а, то соответствующее ему множество чисел М1 = (е" ) ограничено сверху числом е"': Следовательно, существует число 7ь — — зцр (е" ).

Характеристики

Список файлов книги