Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Определение 3. Касательная, точнее, наклонная касательная к кривой у = С(х) в точке координатной плоскости с коордянатамя х = а, у = у(а) — это такая прямая, которая проходят через точку (а,Да)), и ее угловой коэффициент Й, т.е. тангенс угла ее наклона, раве» пределу углового коэффициента ЦЬх) "секущей" прямой, проходящей через точки (а,с(а)) и (а+ ьх,у(а+ ьх)) пря «ах -+ 0. Поэтому говорят, что касательная — это предельное положение секущей.
Геометрический смысл производной раскрывается следующим ее свойством: число С'(а) есть тангенс угла наклона касательной к кривой, задаваемой уравнением у = С(х), на координатной плоскости хОу в точке (а, Да)). Механическая интерпретапия. Если С вЂ” текущее время; «(1)— путь, пройденный телом за отрезок времени 1 — 1ю где 1« — начало отсчета, то Са«(1) [с=« есть путь, пройденный телом за время от С = а до 1 = а+ Ы, т.е. Ь«(С) = «(а+ ЬС) — «(а).
Отношение Са«(1) есть средняя скорость на отрезке времени [а, а+ Ы), а предел этой скорости при Ы -+ 0 — мгновенная скорость тела в момент времени 1= а. Именно эту величину показывает спидометр автомобиля при его движении. Утверждение 1. Если функция ~(х) днфференцируема в точке х = а, то она непрерывна в этой точке. Действительно, тогда Ь~ ф = сЬх, поэтому Ьу' бесконечно мала при Ьх -+ О, а значит, 1(х) непрерывна в точке х = а, Примеры.
1. Пусть у'(х) = хт, а = 2, 5. Тогда ДДх) = (а+ Ьх)т — аз = 2аЬх+ (Ьх)з, Ьу(2. 5) = 5Ьх+ (Ьх)з, Ьх = пх, ~Щх) = 2апх, пу(2,5) = бпх. 2. Пусть у'(х) = Зх — 1, а = 2. Тогда Ь|(х) ( =р — — У(2+ Ьх) — 7(2) = ЗЬх = ф(2) = Зйх. Дифференциал функции, если он существует, является линейной функцией приращения аргумента, поэтому его называют линейной частью приращения аргумента. Если ~'(а) ф О, то дифференциал в точке х = а называется еще главной частью приращения. Это название отражает свойство разности вида 13(Ьх) = Ьу — пу, которая есть о(Ьх), а следовательно, и о(п1), т.е.
ДУ вЂ” НУ = ОФ). Таким образом, эта разность является бесконечно малой более высокого порядка, чем пу, и поэтому дифференциал п1 вносит при малых Ьх главный вклад в значение приращения Ьу. Легко привести пример функции у(х), непрерывной в точке х = О, но не дифференцируемой в этой точке (т.е.
у(х) не имеет дифференциала и производной в этой точке). Действительно, для функции х, если х>0, Л ) =(х(= ж — т, если х(0, имеем Ь((х() = (х + Ьх( — (х(. Отсюда при х = 0 получим Ь((х() ( -о= (Ьх(. Тогда (Ьх( (Ьх( — -+ 1 при Ьх -+ О+, — -+ — 1 при Ьх -+ 0 Ьх Ьх т. е. 1пп — не существует. ~Ьт! ат-+О Но все же правый и левый пределы в этом случае существуют. Они называются правой и левой производной функции. Приведенный пример показывает, что непрерывная функция может н не иметь дифференциала. Для некоторого класса таких функций вводится более общее понятие односторонних производных.
пц Определение 4. Конечные пределы (если они существуют) г'(х) — Да) . Ь,1 . г (х) — у (а) а -+о+ Ьх -~™а+ х — а а -~о- Ьх -~а- х — а называются соответственно правой и левой производной функции у(х) в точке х = а. В рассмотренном выше случае у = ~х( односторонние производные в точке х = О существуют, при этом правая производная в этой точке равна +1, а левая — 1. Связь понятий односторонних и обычной производных между собой выражается следующим очевидным утверждением. Утверждение 2. Функция у(х) имеет производную в точке х = а тогда и только тогда, когда существуют левая и правая производные и они равны между собой, Лекции 1Т 1 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Т е о р е м а 1.
Пусть функция уЯ дифференцируема в точке с = а, причем ~р(а) = Ь, у'(а) = а, Далее, пусть функция 3(х) дифференцируема в точке х = Ь, причем 3'(Ь) = 33. Тогда сложная функция д(г) = У(р(г)) дифференцируема в точке Г = а, причем д (3) = 13. а.
,1? о и а з а т е л ь с п1 е о. В силу дифференцируемости функций ;о(3) и ?(х) имеем Ау(Г) = аАУ+ а1(Ы)съ3, а1(0) = 0; Ь?(х) = УУЬх+ ~31(Ах~ах, (31(0) = О. Здесь а~(АУ) и 331(сьх) определены в некоторых окрестностях точек АУ = 0 и Ьх = 0 соответственно и стремятся к нулю при Ь3 -+ 0 и при Ах -э О. Возьмем во втором равенстве величину сьх равной Ь~р(3). Тогда получим ~1У( ) = УУМ(3)+ АНУЯ?3 (?1'рЯ) = = (УоАУ+ АУ(оУУ, (Ау(3)) + а1(АУ)Д(А~р(8))). Кроме того, имеем, что сх?(х) = Ад(3), т.е.
Гад(1) = ?Уагх3+ Ы у(Ы), где у(А3) = а?31(ь~р(г))+ а1(ы))31(ь~р(3)). Но Ау(3) -+ 0 как функция Ы при АГ -+ О, поскольку функция Р(Г) днфференцируема в точке 3 = а. Отсюда по теореме о пределе сложной функции имеем, что )31(Ьу(3)) и о~(АУ) есть бесконечно малые при АУ -э О. Следовательно, функция т(АУ) — тоже бесконечно малая прн АУ -э О. А это означает, что у?аАУ вЂ” дифференциал функции д(3) в точке Г = а, т.е. ЙдЯ = (УаЫ = УУа~?г, — = УУа. Уд(3) й 103 Теорема 1 доказана.
Замечание. Область определения функций а~(Ы) и Д(Ьх) ЛЧ = оЫ+о,(Ы)Ь1, Ь~ = (1Ьх+ Я(Ах)Е~х, целиком содержит некоторые окрестности точек Ы = 0 и Ьх = О, поскольку при определении дифференциала мы доопределили эти функции в нуле по непрерывности, положив а~(0) = Д(0) = О.
Если этого не сделать, то наши рассуждения при доказательстве теоремы о дифференцируемости сложной функции будут ошибочны, так как а~(Ы) может принимать значение, равное О, даже тогда, когда Ы 16 0 для некоторых Ы, принадлежащик той окрестности точки О, в которой была определена функция. Заметим также, что мы говорим о производной функции у(х) в точке х = а только в том случае, когда зта точка — внутренняя точка области определения у(х). Если же говорится только о правой производной ~'(а+), то область определения у(х) должна содержать промежуток (а,а+ б), а если о левой — то ( — б+ а,а). Дифференциал ф(х) функции у(х) в любой точие х м хэ отрезка (а,6] является линейной функцией сЬх от аргумента Ьх.
Здесь для каждого значения производная у'(хэ) = с имеет свое собственное значение. Таким образом, процедура взятия дифференциала порождает отобралсеане отрезка [а, 6) в множество линейных функций. Это отображение не является числовой функцией, так как его образ состоит не из чисел, а из функций. За такими отображениями утвердилось название "оператор", в данном случае — дифференциальный оператор. А сама процедура отыскания дифференциала или производной функции в точке, как уже говорилось, называется операцией дифференцирования или просто дифференцированием. Напомним также, что функция, для которой существует производная в точке хе, называется дифференцируемой в этой точке. Пример. Пусть у(х) = х~ при 0 < х < 1. Тогда имеем ~'(х) = 2х при 0 < х < 1, У'(О+) = О, ~'(1 — ) = 2 Докажем теперь теорему о производной обратной функции.
Вообще говоря, правило дифференцирования обратной функции просто следует из теоремы о производной сложной функции, но мы докажем его при более слабых предположениях, не требуя заранее существования производной обратной функции. 104 Т е о р е м а 2 (о производной обратной функции). Пусть функция У(х)„определенная н непрерывная на отрезке [а,6], имеет обратную функцию д(у), определенную на отрезке 1, концами которого являются точки У(а) и У(6).
Пусть хо — внутренняя точка отрезка [а,6], а уо внутренняя точка Г, причем У(хо) = уо и д(уо) = хо. Пусть в точке х = хо функция У(х) имеет производную, отличную от нуля, т. е У(хо)р0, Тогда в точке уо функция д(у) имеет производную д'(до)„прячем д (уо) = —, У'(хо) У'(х) ), 1о 1 „7 о к а з а га е л ь с ж е о, Если известно, что д'(уо) сушествует, то воспользовавшись предыдущей теоремой, получаем: д(У(х)) = х, (д(У(х))), = 1, (д(У(х)))'. = д'Ьо)У'( о) Следовательно, 1 д'Ьо) = —, У (хо) Если существование производной заранее не предполагается, то доказательство проведем так. Заметим, что У(х) строго монотонна на [а,6], следовательно, д(у) непрерывна иа 1 и строго монотонна на вем.
По определению производной дЬ) — дЬо) о~о~ у до если зтот предел существует. В силу непрерывности У(х) в точке х = хо и теоремы о пределе обратной функции имеем, что д(у) -+ д(до) = ао при д — + уо. Определим на У функцию Г(х), полагая Р(хо) = 1/У'(хо) и а — хо .г (х) = при х ~ хо. Тогда г"(х) непрерывна в точке х = хо, поскольку х — хо 1 1 Г(хо) = 1пп = 1пп ~ О У(а) — У(хо) :~ о УЖ:.с(="о1 У'(хо) е-еа 1оо Сделаем замену переменной вида х = д(у): д(у) — д(уо) д(у) — д(уо) У(д(у)) — У(д(у )) у — уо Применяя теорему о пределе сложной функции, получаем, что суще- ствует предел !пп Г(д(у)) = Е(хо) = о-+ко,)'(х) ~, 1 Но, с другой стороны, !пп Р(д(у)) = 1!гп =д (уо).
У.+Уа .' оо у — уо Тем самым доказательство теоремы 2 закончено. Т е о р е м а 3 (об инвариантности формы первого дифференциала). Если вместо дифференциала независимой переменной х в формулу для дифференциала ф(х) функции у(х) подставить дифференциал некоторой функции х = р(С), то полученное выражение окажется дифференциалом сложной функции д(С) = У(~р(С)). Другими словами, пусть ф = с1Их — дифференциал функции у(х) в точке х = о, Ыу= сой — дифференциал р(С) в точке С = а, причем р(а) = а. Тогда функция с1ар = с1со~СС вЂ” дифференциал функция д(С) = у(р(С)) в точке С = а. ,!С о к а э а т е л ь с ш в о.
Эта теорема является прямым следствием теоремы о дифференцируемости сложной функции, так как согласно последней Ыд(С) = д'(С)Й = с~сэй = с1дф(С), что и требовалось доказать. Смысл этой очень простой и, казалось бы, "пустой" теоремы станет понятным позже, когда мы увидим, что дифференциалы высших порядков уже не обладают свойством инвариантности. Пример. Решение уравнения Кеплера х = х(у): х — со!пх = у, О с г ( 1 — дифференцируемая функция в силу теоремы о производной обратной функции, причем 1 х'(у) = 1 — г соо х(у) г 3. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Пусть 1(х), у(х) дифференпируемы, с 6%. Тогда имеем; 1) (с1(х))' = с1'(х); 2) Если 1(х) = сопвг, то 1'(х) = О; 3) (1( ) +д( ')) = 1'(х) +д'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
