Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Похожая теорема имеет место для предела отношения 4М и в том случае, когда у(х) и у(х) стремятся к оо при х — э а (неопределенность вида †). Однако доказательство в этом случае усложняется по причине, которая будет ясна дальше. Справедлива следующая теорема.
Т е о р е м а 2 (второе правило Лопиталя; неопределенность вида — при х -э а-), Пусть: Е) Дх) и у(х) дифференцируемы в интервале вида (а — 6, а), Ег > О; 2) у'(х), д'(х) ф О при всех х с (а — Ег, а); 3) у(х) -+ со, у(х) -+ со при х — э а-; 4) существует конечный или бесконечный предел 1пп з-~а- з еп Тогда предел отношеняя функций также существует и имеет место равенство 1пп — = 1пп —, т'(х), ~'(х) з->л- у(Х) е — ьл- у~(Х) ,.7 о к а з а ш е л 'ь с т е о. Очевидно, что можно считать 1пп —, = Е б %, У'( ) з-+а- у'(х) 127 т.е, предел конечен. Действительно, если 1ип '-,ф = сю, то х +а- зчх1 1ип, = О. е-~а- у~(х) И вместо того чтобы доказывать, что 1пп 4;*~ = оо, достаточно ж~а- У~*! показать, что 1ип $ф = О.
Одновременно это будет означать, что е~а- ' ~*~ е~а шю Как и при доказательстве теоремы 1, будем испольэовать формулу Коши. Но здесь ситуация сложнее, так как мы не можем сразу уы1 отношение (-)- заменить на -+е. Тем не менее, это можно сделать о(*1 ~ЯЮ с малой погрешностью, которая, по существу, стремится к нулю.
Будем считать, что в некоторой полуокрестности (а — Ьп а) точки а выполняется неравенство у(х) ф О и у(х) ф О. Это возможно, поскольку у(х) -+ сю, у(х) -+ оо при х -+ а —. Пусть е1 — любое число, О < ез < 1/2. Возьмем ол — — о1(е1) > О так, чтобы неравенство ! — — С < зд, о1 < ш1п(Ь, Ь1) у'(х) у'(х) выполнялось для всех х иэ интервала (а — бы а). Это возможно, так как 1ип —, =1 Е% у'(х) -~а-, у'(х) существует по условию. Пусть хо — некоторая точка из этой окрестности. поскольку 1ип, „у(х) = сю, то найдется оз —— оз(е1) > О такое, что ~У(х) ~ > т х е (а — оз, а).
Щхо)! е1 Аналогично найдется оз — — оз(е1) > О такое, что ~у(х) ~ > — Ч х Е (а — оз, а). (у(хо Н е1 Пусть о4 = пип(вы аз,оз), 24 = (х ) х Е (а — бч,а)). Тогда для любого х, б 1з в силу теоремы Коши имеем ~з„) ~ле — з о 1 ~г(о эу(хо) 1у(х) — у(хо) ~ ~ у'(с) 128 где с Е (х, хо) С 1о. Отсюда получим ДУ(хо) дУ(хо) 1 + 1 < е + 11~ < 1 + 11! Далее для тех же значений х будем иметь цепочку неравенств: У (х) ~ У(х) ДУ(хо) ДУ(хо) д(х) ! д(х) Дд(хо) Дд(хо) < У(х) ДУ(хо)( ДУ(хо) д(х) Дд(хо) ~ Дд(хо) < дУ(хо) у~с~т~ 1 < — — 1 +со= — А+го.
Но так как Дд д(хо) — =1 — — =1+а, где (а(<ем д(х) — = 1 — = 1 + ф, где ф < ео, дУ У(хо) У У(х) то 1 + а )а — ф 2е, А= — — 1 < — = 4Е1. 1 + 13 )1 + Р) О, 5 Следовательно, получаем ! — — 1 < 01/ + 1)4ео + е~ — — ео(4Щ + 5) = е., УО д(х) Положим 6(е) = бо Тогда для любого е = (О, ф(4/1/+5)) найдено Б = 6(е) = 5«(ф+— ) такое, что для любого х Е (о — Ю,а) выполняется неравенство ~Щ~ — 1~ < е.
Это значит, что 1пп — = 1. У(х) ~-««- д(х) Теорема 2 доказана. по .'о ° о ««««««««т «««««««к«««««а«о С л е д с т в и е 1. Если в теореме 2 условия х о а — и х Е (а — Ь,а) заменить на условия 'х -+ а+ и х Е (а,а+ 6), то утверждение теоремы остается в силе. Для д о и а з а «и е л ь с щ е а.достаточно применить теорему 2 к функциям У1(у) = У1(2а — х) = У(х), д1(у) = у1(2а — х) = у(х). С л е д с т в и е 2 (второе правило Лопиталя; неопределенность Ро вида — при х -+ а). Пусть: 1) /(х), у(х) определены и днфференцяруемы в проколотой Ь- окрестности точки а, 2) у'(х),у'(х) ~ О в той же окрестности точки а; 3) у(х) О со, д(х) -+ оо при х -+ а; 4) существует предел отношения производных 1пп 1тф, Тогда предел отношения функций ~~Я существует и равен !пп — = 1пп —, /(х), /'(х) «-+«у(х) «-+«у~(х) Д о к а з а тл е л ь с щ е о этого утверждения непосредственно следует из утверждений теоремы 2 и следствия -1.
Замечания. 1. В теоремах 1 и 2 условие х — > а — можно заменить условием х — Ф +со или х -+ — оо, а во вторых следствиях теорем 1 и 2 — на х-+ со. Доказательство проводится посредством подходящей замены переменной. Например, в случае !пп 4-~ надо положить х = — 1/1. «-++со ЯЧ~) Тогда Отсюда следует существование предела 1пп —, = 1« Л(х) о-+о- у' (х) и затем по теореме 1 имеем 1пп — = 1 = 1пп у1(х) , у(х) о-+о- у1(х) *-++ у(х) 2. Применение теоремы Штольца о пределе отношения двух после'довательностей позволяет существенно упростить довольно громоздкий !зо вывод второго правила Лопиталя. Далее мы приведем еще один ва- риант доказательства теоремы 2, основанный на укаэанной выше идее.
/( и) /(хл+!) — /(хе) /'(са) в-+оа у(ха) «-+со у(хз ! !) — я(х ) е — >со 9~(с ) если только последний предел существует. Но для чисел с„мы имеем здесь неравенства х„ < с„ < х„э!, откуда следует, что с„ -+ а при и -+ со, поэтому последний предел существует и равен 1. Таким образом, теорема 2 доказана полностью. Примеры.
1. 1пп *' = 1. По второму правилу Лопиталя имеем х — ~о+ 1пх 1пх* = х1пх = —, 1/х 1пх 1пп ~-~о+ 1/х 1/х — 1пп — = 1пп ( — х) = О, -+о+ -1/хэ -+о+ !!т х!ех емх с о+ се х -~0+ 1пп х' = х-~0+ 2. Используя первое правило Лопиталя, получим х — эшх, 1 — совх, э)пх 1 1пп = 1пп = 1пп — = —. -~е хэ -+о Зхт *-+о бх . 6 Д о к а з а тл е л ь с т е о теоремы 2. В силу определения предела по Гейне мы имеем, что условие /Щ -+ 1 при х -+ а— означает выполнение условия сМ вЂ” ~ 1 для любой возрастающей у!х ! последовательности (х„), сходящейся к а, х„ф а. Но так как по условию теоремы у(х) -+ оо при х -+ а —, то и у(х„) -+ со при н -+ оо, а это значит, что к отношению ~М можно применить теорему й* ! Щтольца.
Поэтому, используя еще и теорему Коши, будем иметь Леи2кня 22 $11. ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА В качестве приложения докажем формулу Тейлора с осо1ао1очммм членом е форме Пеаио или, как ее еще называют, локальную формулу Тейлора. мы видим, что дифференциал 112 приближает приращение съ| с точностью до бесконечно малой порядка, большего 1.
Это означает также, что АУ(а) — 1е'(х)) —, = о(Ах), т.е. имеем У(х) — ~(а) — ~(а)(х — а) = о((х — аО при х -+ а. Правило Лопиталя позволяет обобщить зто утверждение. Рассмотрим многочлен Тейлора степени и: о(х) = ~„(а,х) = Да) + —,Ах+, (Ах) + + (Ах)", Г( ) У"( ) /1")( ) где Ах = х — а. Т е о р е м а (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть ) (х) диффереииируема п — 1 раз в некоторой окрестности точки х ж а и существует /1")(а). Тогда г(х) = у(х) — ~„(а,х) = о((1ах)") при съх -+ О, ,)Т о к а з а о1 е л ь с а1 е о. Применим первое правило Лопнталя и — 1 раз прн х -+ а к отношению а(х) = г(х) (х — а)" Получим 1пп (х) .
'( ) „= )пп *~а (х — а)" .~а п(х — а)" 1пп — 1пп г-~а о!(х — а) и! м-+а 132 Далее имеем й(а- ](х) /1а — ](и) + /( )(а)(х а) Отсюда г1"-1](х) !пп о(х) = !пп а-аа *-+а ((Х вЂ” Е)")1" 1] — — !пп ~ — / "](о)) = — (У" (а) — /" (а)) = О. //(а-1)( ) /(и-1]( ) '1 1 И! а~а ~, х — а ) и! Другими словами, о(х) есть бесконечно малая функция при х -+ а. Следовательно, г(а) = (х=а)"о(х), где о(х) — бесконечно малая, т.е.
г(х) = о((х — а)"). Теорема доказана. Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано удобно использовать для вычисления пределов. Действительно, при х -+ 0 имеем, например, 5 з з 81пх = х — — + — +о(х ). 3! 5! Отсюда з!пх — х+ хз/Б хз/120+ о(хз) 1 !пп — !пп а~0 120 а-+О Важно отметить, что локальная формула Тейлора имеет и глубокий содержательный смысл. В частности, она обобщает понятие дифференцируемости функции в точке, поскольку при и = 1 мы получаем из иее данное выше определение дифференциала функции.
Будем говорить, что при некотором и Е И функции /(х) н у(х) имеют касание и-го порядка в точке хз, если при х -+ хз выполняется соотношение /(х) — у(х) = о((х — хз)"). Тогда локальная формула Тейлора утверждает, что многочлен Тейлора /„(х) имеет касание и-го порядка с функцией /(х). Заметим, что если два многочлена и-й степени Р„(х) и 1~„(х) имеют касание порядка и в некоторой точке хз с какой-либо функцией у(х), то ик козффициенты совпадают и Р„(х) = Я„(х). Действительно, тогда имеем Ь (х) = Р„(х) — Я„(х) = (Р„(х) — у(х)) + (д(х) — Я„(х)) = о((х — хо)"). 1ЗЗ Но так как многочлен й„(х) имеет степень и, то, устремляя х — ~ хо, получим, что все коэффициенты 6„(х) равны нулю.
Это и означает, что Р„(х) н 9„(х) представляют собой один и тот же многочлен. Отсюда также следует, что многочлен Тейлора /„(х) = у„(а, х), из доказанной выше теоремы, определен однозначно. Производные функции у(х) в точке а выражаются через его коэффицяенты сь по формулам Д(а) = х)сю х = 1,...,п.
Интересно, что возможна ситуацяя, когда в точке а функция Дх) вторая производная у"(а) уже не существует, и в то же время в этой точке имеет место касание порядка п > 2 этой функции и многочлена Р„(х) степени п. Тогда при и > 2 величины сь дь =; —, 'х)' где сь — коэффициенты многочлена Рь(х) = ~ сь(х — а)", можно э=о рассматривать как обобщение понятия производной соответствующего порядка функции у(х) в точке х = а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
