Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Эти утверждения следуют из определения производной. Докажем, например, утверждение 3. Имеем: Ь(1+у) = Ь1+Ьу. Откуда А(1+ у) А1 Ад = — + — -ь 1~ + у~ при Ьх -+ О. Ьх Ьх 4) (1(х)у(х))' = 1'(х)у(х) + 1(х)у'(х). ,П о к а з а 7а е л ь с п1 в о, Имеем А(1д) 1( '+ А ')д( + Ах) — 1( ')у(х) Ьх 1ЛХ 1(к+ах)д( +А ) — 1( )д(к+Ах)+1(х)д( +г' ) — 1(х)д(х) Ьх = д(х + Ьх) 1(х + Ьх) — 1(х) у(х + Ьх) — у(х) +1(') -+ Ьх Ьх -э у(х)1'(х) + 1(х)у'(х) при ьх — 1 О, так как д( + А ) -+ д( ), — -+ 1'(х), — †> д'( ) при А ' †> О. А1, Ад Ьд Ьх 5) ( — ) д( ) у'(х) л1 о к а з а 1н е л ь с о1 в о.
Имеем 1 1 А(1/д) от.+ь.| ~к ~ у( ) — у(х + А ) — при Ьх — 1 О, — — лх, ()( +лх) г поскольку Ау 1 — — 1д -+ — при Ьх — 1 О. Ьх ' у(х + Ьх) у(х) Следствия: и 1 (д ".у )'= г д1:" у' " у» /=1 107 2 (-) Производные элементарных функций х' = 1; (х")' = пх" ее+Ах ех епх 1 (ех)' = 1пп = ех 1пп = е*; Ь -)О 1.'1Х Ь. ~О Ьх 81П(Х + )ах) 8)п х 81П ( д (в)пх)) = 1нп — 1нп — 2- сов ! х+ г'1 = сов х; Ьх-~о Ьх ь ~о )ах 2 (сов х) = — 81пх, так как сов х ж 81п (- — х); 1 1 1 1 (1пх)' = д)(у(Х)) Ег!х! Е'"* Х' — — У(х) = 1пх, д(х) = ех обратная функдия; д = х", о ф.
Π— степенная функция, (Х»)г (Е»!пх)) = (О]ПХ)) Еп!пх Ох»-1 /8)пх1' совх.соек+8)пх ипх 1 (!й )'-( — )— — — гй~х+ 1; сов х сов2 х совг х 1 (агсв)п х)'— ! '" *) 1 ) „) л:*х' гх, 1) 1 (агссов х)' = ( — — агсв)п х) ~2 ~ „( хг' 1 1 (агсгв х) 2 ганг(агсга х) + 1 1+ хг' 1 (агеевич х)' = — —. 1+ хг' Из теоремы 2 о дифференцировании сложной функции и из правил дифференцирования следует: (ах)) (Ех !и а)) Ех !» »(Х 1П а)~ = ах 1П а; 1пх ' 1 1 (1ой, х)' = ( — ) 1па !па х' (1пу(х))' = —; /)(х) Дх) и'~ (ап) (ех!»и) х!пи( 1 )) и( >1 + и Замечание. Если Л(х) = /(д(х)), то символы у)(д(х)) и г)(д(х)) определяются равенствами У)(д(х)) = Л'(х), фд(х)) = у1(д(х)), где ~1(х) = Г(х). Лекция 18 1 4.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть 1(х) является дифференцируемой в каждой точке интервала а,б). Тогда каждой точке х б (а,б) можно поставить в соответствие число — производную 1'(х) в этой точке. Полученная функция называется функцией, производной от;данной, и обозначается также ~'(х). Может случиться, что она сама тоже имеет производную. Тогда эта производная называется второй производной функпии 1(х) и обозначается так: 1п(х) = (1'(х))'.
Подобным образом определяются третья, четвертая и все последуюп1ие производные: Рп(Х) (Гп(Х))~ У(п)(Х) (1( — 1)(Х))г Пример. (хз)" = ((хз)')' = (Зхз)' = бх. Т е о р е м а 1(формула Лейбница). Пусть и, О имеют п-е производные. Тогда справедлива формула п(п — 1) (ПО)(п) П(п)О ( Па(п-1)~/ + ) П(п-О)вп + + Пв(п) 2 где „(О) и О(О) О Д О х а з а п1 е л ь с га в О. (По индукции).
При и = 1' утверждение теоремы справедливо. Предположим, что оно верно при и = О > 1. Докажем его при в = 4+ 1. Имеем 109 — (*)„с +И„ц- сс т'' (')„с с„с- +и оп=о ™ п~= о с+1 8 (с) (с-с+с) + ~ (с) (с-с+с) --~-)"" '-. (,(/ с=с с=о ( ) „цс„с+и с ( ) „с ° с„сс с с- (( ) с ( ' ) ),сб„с- + с с=с '+' + р (с) (с-с+И с=о поскольку Теорема 1 доказана Имеется еще одно обозначение для и-й производной, а именно: у(п)( ) асс с( ) У( ) (х» Последнее обозначение связано с понятием дифференциала высшего порядка, к определению которого мы приступаем.
Пусть функция с(х) дифференцируема на (а,6). Тогда существует ее дифференциал с(у(х) = ус(х)с(х. Зафиксируем значение приращения аргумента с(х = сьх = Ь. Тогда с(~(х) можно будет рассматривать как функцию от х, заданную на том же интервале (а,6). Если она дифференцируема, то дифференциал имеет вид. с((у'(~)Ь) = у" (х)Ьссх. Если мы в этом случае значение ссх возьмем снова равным Ь, то получим с((с'(х)Ь) = ~л(х)Ь = с "(х)с(х .
Это выражение называется вторым дифференциалом и обозначается с(тих), т,е. с1 у(х) = у"(х)с(х . ыо Аналогично определим; а у'(х) = е(а у(х)) = уэ'(х)ох', д у(х) = сХ(д" ~у(х)) = ~1"1(х)ех". Очевидно, в силу такого определения можно записать; Целесообразность введении понятия и-го дифференциала будет иена позднее. Например, далее мы увидим, что приращение Ь~(х) во многих случаях можно представить в виде 1у,12у азу дэу Ь~= — + — + — + + — +... 1' 2' 3' и' (формула Бернулли). Смысл этого равенства мы уточним тогда, когда будем его доказывать.
Заметим, что уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности. Действительно, если у (х) = Л(х) и У (х) = уз(х) то при х = д(1) имеем (У(д(1))),", = (У,(д(1))д'(1))', = У,(д(1)) (д'(С))'+ У,(д(1))дэ(1), Отсюда получим е' у(д(х)) = ~,д(д(1))й = Уде(д(х))(Ид(х)) + ~д(д(х))Ы д(х), в то время как второй дифференциал функции у(х) равен о у'(х) = ~" (х)ах, и при подстановке в правую часть равенства функции д(1) получим выражение ~"д(д(х))(дд(х)), которое, как видим, отличается от правой части равенства для пзу(д(х)). Следовательно, свойство инвариантности для второго дифференциала не имеет места.
гы Для того чтобы глубже прояснить су»цность свойства инвариантности дифференциала, мы рассмотрим несколько более общие понятия. Будем называть дифференциальным мономом Рэ»»орлдка l» от п функций у(х),у(х),..., С»(х), и < l», одной переменной х следующее выражение Рэ = с»»'»»(х)дС»»1(х)... С»С "1(х)»Сх, где а + С»'+ .
+ т = С», причем а, Су,..., т являются натуральными числами и с — некоторая вещественная постоянная. Всякая линейная комбинация дифференциальных мономов фиксированного порядка от одного и того же набора функций С',у,..., С» называется однородным дифференцнальным выражением порядка l». Неоднородным дифференциальным выражением называется линейная комбинация конечного числа мономов разного порядка, но от тех же функций С,у,..., С», Следует отметить, что на любое дифференциальное выражение можно смотреть как на функцию двух независимых переменных, а именно; х и»Сх.
Но в данный момент нас будет интересовать не функциональная, а алгебраическая сторона вопроса, точнее, свойство дифференциального выражения сохранять свою форму при замене независимой переменной х на функцию р(С) и, соответственно, »Сх на»С»р(С) = »р'(С)»СС. Поясним более четко, что конкретно имеется в виду. Если подставим в однородное дифференциальное выражение Р порядка l» вместо х функцию»у(С), то вместо дифференциала»Сх" будем иметь выражение (ЩС)) = (1э'(С)) (»СС)", а вместо производных у»»(х),д»»»(х),..., Ы'»(х) — выражения ~„, (у(С)),д, (у(С)),...,С»„,(у»(С)), те. мы получим некоторое дифференциальное выражение В», завсящее от С и от»СС.
Другое дифференциальное выражение Вм зависящее от тех же величин С и»СС, получим, если то же однородное выражение Р применим к функциям ~(д»(С)),д(у(С)),...,С»(»р(С)), те. вместо у»"»(х),д»»»»(х),...,ѻѻ»(х) рассмотрим ~» (у»(С)),у» (у»(С)),..., С»»»э (р(С)), а вместо (»Сх)ь — выражение (»СС)". Если при этом оказывается, что вне зависимости от вида функции р(С) имеет место равенство В» = Вю то мы говорим, что дифференциальное выражение Р обладает свойством инвариантности, или инвариантно относительно замены переменной.
В противном случае мы считаем, что оно указанным свойством не обладаег. Иными словами, инвариантность В означает возможность перестановки порядка выполнения операции замены переменной и операции вычисления этого дифференциального выражения, т.е. коммутативности этих двух операций. В смысле введенных нами понятий дифференциалы первого и 112 высших порядков являются однородными дифференциальными выражениями, причем первый дифференциал обладает свойством инвариантности (относительно любой замены переменной), а дифференциалы порядка, большего единицы, этим свойством не обладают.
Заметим, однако, что в случае линейной замены переменной инвариантность все же имеет место. Возникает вопрос о том, существуют ли дифференциальные выражения порядка, большего единицы, обладающие свойством инвариант- ности. Было известно, что, вообще говоря, инвариантные дифференциальные выражения от нескольких функций существуют.
В течение ряда лет профессор МГУ А. А. Кириллов привлекал внимание математиков к идущей от О. Веблена проблеме, связанной с описанием классов инвариантных дифференциальных выражений. Прояснить ситуацию в указанном круге вопросов в значительной степени удалось Ф. М. Малышеву в 1978 г. Единственным инвариантным дифференциальным выражением, зависящим от одной функции, является первый дифференциал. Для двух функций у и д все инвариантные выражения порождаются двумя однородными дифференциальными выражениями В~ и Вз вида В1 — — /'д'Их~, Вз = (у"д' — у'д")пх~. Он доказал общую теорему о конечности количества У(п) "образующих" однородных дифференциальных выражений от и функций и получил оценку Ф(п) ( и!. Кроме того, для степени инвариантного дифференциального выражения имеет место неравенство к < п(и+ 1)/2 [23]. В заключение приведем еще одну теорему, которая касается производных высших порядков от сложной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
