Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Будем называть эФи числа метками х-го порядка функцяи у(х) в точке х = а и обозначать ик через дь = дь(У(а)). Приведем пример, в котором на отрезке [а,б] функция у(х) "почти всюду" рэзрывна, но в то же время она на "всюду плотном множестве" имеет не только производную первого порядка, но и метки дь(у(х)) любого порядка (точный смысл слов, взятых, в кавычки, станет ясным ниже). Эта функпия задается так ( О, если х — иррапяональное, Дх) = ] ], и ", - если х = — '„", (гп, п) = 1. Относительно данной функции ограничимся доказательством утверждения, касающегося существования только первой производной. Очевидно, что если хо — рациональное число из отрезка [0,1], то У(х) разрывна в точке хо. Если хо — иррациональное число, то для любого е > 0 существуег лишь конечное число дробей со знаменателями, не превосходящими Ф = [-,']+1, а именно, гм...,гю Пусть 6 = ппп(хе — г;[.
Тогда для любого х с условием [х — хо[ с 6 вйь ямеем ( х ) 7 ( х о ) ( [ ~ ( х ) ( ( К ~ ( Я 1 ( Далее нам потребуются следующие определение и теорема. Число а называется алгебраическим, есле оно удовлетворяет алгебраическому уравнению с целымя коэффициентами. Оно будет иррациональным, если любой многочлен первой степени с целыми коэффициентами не обращается в нуль. Т е о р е м а (теорема Рота).
Пусть ~ — иррашэонэльвое алгебраическое число н р > 2 — произвольная постоянная. Тогда существует конечное число пар (р, й) целых чисел, й > 1, (р,о) = 1 таких, что К вЂ” -]<9 э. р й Пусть хо — любое алгебраическое иррашюнальное число. По теореме Рота при р > 2 неравенство р ]хо — -] <— й имеет лишь конечное число решений. Обозначим зти решения через еь,...,тс, Зададимся произвольным е > 0 и положим а '' '' о.' Ф = шах(ды..., д„р, [1/е] + 1), Б = шш хо — — ' вбг 1 Тогда, если ]х — хо] < Б, то при х = тп/п, (тп, и) = 1, имеем, что ~ш ~ 1 1 и > Ф, ~ — — хо~ > —, Щх) — /(хо)] = и пэ пп ' Следовательно, ! у(х) — /(хо) и " „1 1 < — =по "« — — <е.
х — хо пэ и Ж Если же х — иррациональное число, то У(х) — У(хо) х — хо Таким образом установлено, что прн алгебраическом иррапиональном числе хо функция /(х) имеет производную, равную нулю. 1зэ Назовем множество А всюду плотным на отрезке [а,Ь), если для любой точки х Е [а, Ь] в каждом интервале, содержащем х, находится хотя бы одна точка множества А. Тогда указанная выше функция будет: 1) разрывна на всюду плотном множестве отрезка [О, 1], 2) непрерывна на всюду плотном множестве в [О, 1], 3) иметь производную на всюду плотном множестве в [О, 1] (см. [34)). В связи с рассмотренным примером может возникнуть вопрос'. Будет ли функция у(х) на отрезке [а,Ь] дифференцируема и раз, если в каждой точке этого отрезка у функции у(х) существует метка е , т д„у(х)2 Пример функции у = е '/' е1п е'т' дает отрицательный ответ на этат вопрос. В заключение приведем другое доказательство локальной формулы Тейлора, допускающее простое обобщение на случай функциЯ от нескольких переменных.
Второе д о х а з а т е' л ь с т в о теоремы, Применим метод математической индукции по параметру и. При 'и = 1 утверждение теоремы следует из определения дифференциала функции. Предположим теперь, что и > 1, Из условия теоремы вытекает, что функция г(х) дифференцируема (и — 1) раз в некоторой окрестности У точки х = а, и в самой точке дифференцируема и раз. Кроме того, в точке а сама функция и все ее производные до и-го порядка включительно равны нулю.
Далее, пусть х Е У и тлх = х — а. Обозначим через у(1) функцию вида у(1) = г(а + тд х). Тогда имеем г(х) = г(х) — г(а) = г(а + тзх) — г(а) = у(1) — у(0). Отсюда, применяя формулу Лагранжа к функции д(1), при некотором б, 0 ( 4 С 1, получим г(х) = у~(~) = г~ (а + бд.хая. Заметим, что точка а + ~Ах б Г Поэтому к производным в правой части последнего равенства можно применить предположение индукции с заменоЯ значения параметра и на и — 1. Тогда будем иметь г',.(а+Ссхх) = о(~х — а[" ).
тзв Отсюда следует, что г(х) = о(~х — а~"). Теорема доказана. 6 12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ОБЩЕЙ ФОРМЕ Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в окрестности точки можно записать приближенное равенство Дх) ш У„(а, х).
Оказывается, что многочлен ~„(а, х) может хорошо приближать Дх) и в некоторой, иногда весьма большой, окрестности точки а. Более того, -знание всех чисел у1"1(а), соответствующих только одной точке а, часто позволяет вычислить 1"(х) при любом х с любой требуемой степенью точности. Этот факт важен не столько для вычислений, сколько для построения теории. Выражаясь более точно, мы сейчас докажем одну из важнейших теорем анализа, центральную теорему курса в этом семестре, а именно: формулу Тейлора с остаточным членом в общей форме (или в форме Шлемильха — Роша). Т е о р е м а (формула Тейлора). Пусть У(х) — (и+1) раз дифференцируемая функция на интервале (хс, х|). Пусть а < Ь вЂ” любые две точки нз этого интервала.
Тогда для любого положительного а > 0 сушесгвует точка с, лежащая между а и 6 такая, что а т1"+В с) г„(Ь) = ~(6) — ~„(а, Ь) = — ) . (Ь вЂ” с)" +~ . а ~,Ь вЂ” с (и+ 1)! Напомним, что Д„(а, Ь) = у(а) + —,(6 — а) + +, (6 — а)".
у'(а) У1">(а) ,'.7 о к а з а щ е л ь с т е о. Определим число Н равенством ДЬ) — ~„(а, Ь) (Ь вЂ” а)" По существу, нам надо доказать, что на интервале (а,6) найдется точка с такая, что и+1(6 )а.ы — а У + () а (и+ 1).' 1зт Докажем зто, опираясь на теорему Ролла. Равенство, определяющее число Н, можно записать так: у(6) — у„(а, Ь) — Н(Ь вЂ” а)е = О. Рассмотрим функцию 1р(1), определенную на (а,ь) соотношением р(1) = )'(6) - У„(1, 6) - н(ь - 1) .
Тогда, очевидно, ~р(а) = О. Кроме того, имеем, что ср(1) дифференцируема на (о,б) и непрерывна на [о,ь]. Далее, так как справедливо равенство у„(Ь,Ь) = у(6), то р(ь) = Р(ь) — У(ь) — н(ь — ь) =О. Следовательно, по теореме Ролля на интервале (а,6) производная ф(1) обращается в нуль в некоторой точке с, т.е. ~р~(1) = О при 1 = с„с Е (а, 6). Запишем у'(1) в развернутой форме: ~р'(1) = — ~„'(1, 6) + ан(Ь вЂ” 1)~ — У(1) + — (Ь вЂ” 1) + + — (Ь вЂ” 1)"~ + ан(Ь вЂ” 1) У'(1) У("'(1) ]! я! с Так как при а = 1,...,н имеем < гр)(1) ~' гн+11(1) У1 1(1) — (6-1)'~ = (6-1)'- (6-1)'-', а )— (е — 1) .' то У'"+'1(1) р'(1) = он(6-1) -' —, (6-1)": Отсюда при 8 = с получаем (6 — с)" ~р'(с) = аН(6 — с)~ ' — у1"+'1(с) — = О.
и! Следовательно, Н н+ 1(6 .)и+1-а У + (с) а (я+1)! ' Доказательство закончено. С л е д с т в н е. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемяльха — Роша верна и при а > 6. Доказательство, 1. Если 6 = а, то ~„(а,ь) = Да), г„(6) = () и формула имеет место. 2. Если 6 < а, то применим теорему к функции у(к) = у(2а — к), 61 — — 2а — 6. Тогда 61 > а и справедливо равенство у(ь1) = у„(а, ь|) + л (ь1).
Но легко убедиться в том, что у(61) = з(Ь), у„(а, Ьз) = ~„(а, 6), й„(61) = г„(Ь). Действительно, имеем (Ь1 — а)' = (а — Ь)' = (-1)'(Ь вЂ” а)', у'(а) (в)( ) у„(а,Ь1) = у(а) + †(61 — а) + + (Ь| — а)" = и! =у(а)+ — )(Ь вЂ” а)+.. + ) (6 — а)" =у„(а,ь). У'(а) У(")(а) Далее при некотором сы а < с1 < 6, справедливо равенство 1 6 (в+1) с В„(61) = ) (Ь1 — сд)к ы а ),61 — с1 (и+ 1)! Положим с = 2а — сь Тогда 6 < с < а, и+1 6 — а' (+1) с Л (6 ) н+ 1 (6 а) У (с1)(6 )в+1 (6) а ( 6 — с (и+1)! Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-Роша в случае а > 6 имеет тот же вид, что и при а < 6.
Следствие доказано. Частные случаи формулы Тейлора. 1. Остаточный член в форме Лагранжа (а = и+1). В этом случае и+ 1/Ь вЂ” а'("+1 „+1у("+1)(с) у("+1)(с) .„(ь) = — ~ — ) (ь-.)"+' = (ь- )"+'. и+1 1,6 — с) (и+ 1)! (и+ 1)( 2. Остаток в форме Коши (а = 1); и+ 1 6 — а „+, у("+')(с) г„(Ь) = — — (Ь вЂ” с)"+ 1 6 — с (и+ 1)(' ' 6 — с с = а + у(Ь вЂ” а), 0 < у < 1, 1 — у = —, 6 — а' (6) (Ь )в+1(1 У)ь У (а+ У(6 а)) и) 139 Замечания.
1. Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае а = 0 обычно называется формулой Маклорена. 2. Сравнивая формулы Тейлора с остаточными членами в обшей форме и в форме Пеано, видим, что в первом случае имеем более точный результат, однако достигается зто за счет более жестких требований к функции. В самом деле, в первом случае в окрестности точки, в которой рассматривается разложение, требуется существование (и + 1)-й производной данной функции, а во втором случае— только (и — 1)-й производной, то есть на две производные меньше. Лекпия 23 у 13. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА К НЕКОТОРЫМ ФУНКЦИЯМ 1.
Показательная функпяя! /(х) = е'. Имеем Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид х х' х" х"+' в, е =1+ — + — + + — + е~», 0<д<1. 1! 2! и! (и+ 1)! При любом фиксированном х остаток в ней стремится к нулю, поскольку »+1 1пп = О. «-+о«(п+ 1)! 2. Функция /(х) = вши. Имеем /!"1(х) = яп ( х + и-(, 2/' /1~~+~1(дх) = в!п дх+ (2(4+ 1)'— = ( — 1) сов дх. 2/ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа дает з,в 22-1 2141 вшх=х — — + — — .+( — 1)" ' +( — 1)" совдх. 3! 5! (214 — 1)! (2й + 1)! 3. Функпия /(х) = совх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
