Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Имеем /!"1(х) = сов х + п— 2/' /1~~1(дх) = сов дх+ 2й — = ( — 1) сов дх. 2/ Тогда 2 4 гь-г гь сов х = 1 — — + — — + ( — 1) + ( — 1) — сов дх. ь-! ь 2! 4! (2(4 — 2)! (2й)! 141 4. Функпнн у(х) = 1п(1+к). Имеем У (х) =, у!"!(х) = ( — 1)" 1 „„1 (и — 1)! 1+ х (1+ х)" Следовательно, т .з а 1п(1+х) =х- — + — — ".+(-1)"-1 — +Л„, 2 3 и Заметим, что если (х) < 1, то Н„-+ О при и -е со. Кроме того, а) если О<в<1, то (Н )<+ +1 б) если -1 < -г < х < О, то )Н„( < -т1--,т, где (остаток в форме Коши). 5. Функпнн у(х) = (1+и) .
Имеем ~!к1(х) а(а 1) (а и+ 1)(! 4 х)а-к поэтому (1+ )и 1+ + ( ) 2+ ( )( ) э+ 2 3! + а(а — 1)... (а — и+ 1) е+ 11 где а(а — 1)... (а — и) „+ (и+ 1)! 1х к 1 (остаток в форме Лагранжа), (остаток в форме Коши). Если (х(< 1, то В„-4 О при п -4 оо. Мы видим, что во всех этих случаях В„-4 О при и -+ со. Другими словами, 1пп у„(О,х) = у(х). 142 3то предельное выражение символически записывается так: г() ~" () Д(х) = у(а) + †, (х — а) + . + , (х — а)" + ..
и называется ридом Тейлора функции Дх) в точке х = а. Заметим, что при всех п Е Ф для и-го члена ряда имеет место равенство ~1" 1(а) „е" Дх) ц" Дх) 1 и! и! и! 1М=э-а Поэтому ряд Тейлора можно переписать в следующем виде ЬУ= — +' — +. + — +... ну д21 д У 1! 2! и! Тем самым определен точный смысл равенства. приведенного ранее в лекции 18, 14.
Замечание. Ряд Тейлора не всегда сходится к породившей его функции. Пример. 1 Пх) = е т, если хфО, О, если т=О. Тогда при любом натуральном й имеем УОО(О) = О. Таким образом, мы видим, что ряд Тейлора нулевой, а породившая его функция отлична от тождественного нуля. 143 Лекция 24 1 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ, ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ, ВЪ|ПУКЛОСТЬ Наша дальнейшая цель — - применение построенной теории к решению задач, связанных с изучением поведения функций. Одна из них — задача отыскания локальных и глобальных экстремумов функций.
Ранее мы уже доказали ряд утверждений подобного типа. Напомним их, а заодно и некоторые понятия, которые потребуются далее. 1. Точки х, в которых у'(х) = О, называются стационарными. 2. Критерий возрастания (в широком смысле) на интервале (а,6) дифференцнруемой функции: для того чтобы функция у(х) не убывала на (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы ~'(х) > 0 на (а,6).
3. Критерий возрастания в строгом смысле: для того чтобы у(х) строго возрастала на (а, 6), необходимо и достаточно, чтобы 1'(х) > 0 на (а,Ь) и, кроме того, 1'(х) ф 0 ни на каком интервале (а1,Ь1) Э (а, Ь). Отсюда имеем достаточное условие строгого возрастания: для того чтобы у(х) строго возрастала, достаточно, чтобы 1"(х) > 0 при всех х б (а, 6).
4. Т е о р е м а Ферма. Если в точке хе б (а,6) имеется несобственный локальный экстремум функции )(х), то ха — стационарная точка. Далее мы выведем несколько достаточных условий достижения функцией локального экстремума в заданной точке. Т е о р е м а 1. Пусть 1'(х) дифференцируема в некоторой окрестное~и стационаряой точки хэ (т.е.
в этой точке 1'(хэ) = 0). Тогда: |а) если у'(х) > 0 слева от хе и 1'(х) < 0 справа от хш то ха— точка строгого локального максимума функции у(х); 1б) если ~'(х) < 0 слева от хэ и ~'(х) > 0 справа от ха, го хе— точка строгого локального минимума 1(х); 2) если ~'(х) имеет справа и слева от точки ха один н тот же знак, то хе не является точкой экстремума ни в широком, ни в строгом смысле.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1а. По теореме Лагранжа имеем 1'(х) = у(ха) + ~'(с)(х — хэ), где точка с находится на интервале с концами хе и х. 144 Из условия следует, что 1'(с)(х — хо) < О. Действительно, если х — хо > О, то с > хо и, значит, з'(с) < О, (х — хо)з'(с) < О; если же х — хо < О, то 1'(с) > О и (х — хо)1'(с) < О. Отсюда получим, что з(х) < з(хо), что и требовалось доказать. Доказательство п.
!б проводится аналогично. 2. Если ~'(х) > О справа и слева от хо, то 1'(с)(х — хо) < О слева и > О справа. Отсюда имеем 1(х~) < 1(хо) < 1(хг) при хо < хо < хз, что и требовалось доказать. Случай ~'(х) < О рассматривается аналогично. Доказанная нами теорема позволяет сформулировать следующее правило исследования стационарной точки на экстремум: Если при переходе через стационарную точку слева направо производная меняет знак + на знак —, то функция имеет локальный максимум в этой точке, если меняется знак — на знак +, то функция имеет локальный минимум, и если она не меняет знак, то локального экстремума нет. Т е о р е м а 1а.
Пусть 1(х) непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференпируема в проколотой окрестности этой точки. Если 1'(х) меняет знак + на знак — при переходе через точку хо слева направо, то 1(х) имеет локальный максимум, если знак — на знак +, то локальный минимум, и если не меняет знак, то локального экстремума нет.
Д о к а з а ш е л ь с т в о совершенно аналогично доказательству теоремы 1, так как там мы нигде не пользовались существованием пРоизвоцной фУнкции 1(х) в точке х = хо. Общее правило отыскания (локального и глобального) экстремума функции 1(х) на отрезке в случае, когда 1(х) непрерывна и кусочно-дифференцируема (т.е, дифференцируема всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек).
Находим все стационарные точки и точки, в которых 1'(х) не существует, и проверяем их на экстремальность. Затем, добавляя концевые точки и выбирая наибольшее и наименьшее из значений функции в этих точках, находим ее глобальные экстремумы. 'Х е о р е м а 2 (второе достаточное условие экстремума), Пусть У (хо) = О и существует 1 "(хо) Тогда: 1) если ~о(хо) < О, то точка хо — точка (строгого) локального максимума; 2) если зэ(хо) > О, то точка хо — точка (строгого) локального минимума.
Д о к а з а т е л ь с ш в о. 1. Так как уо(хо) < О, то ~'(х) убывает в точке х = хо, и поскольку ~'(хо) = О, то 1'(х) меняет знак Т е о р е м а 3 (третье достаточное условие экстремума). Пусть 1'(хе) = = у!"-П(хе) = О, у""'(хе) ф О. Тогда: Ц если ~(~~1(хе) ( О, то хе — точка локального максимума; 2) если ~1~"1(хе) > О, то хе — точка локального минимума.
Д о к а з а н2 е л ь с н2 е о. 1. При Ь = 1 утверждение следует из теоремы 2. Пусть Ь > 1. Выразим ~'(х) по формуле Тейлора: ~'(х) = ~'(хо)+, (х — хо)+ ".+ *, (х — а'о) + П(с) (2Ь вЂ” 2)! Отсюда У!'"-')(с) 2, 2 ~ (х) = (2к 2)! (х — хе) Так как у!2" 1(хе) ( О, то ~12" '1(х) убывает и, следовательно, /(2а П(х) меняет знак + на — при переходе через точку хе, а значит, и ~'(х) мейяет знак + на —. Поэтому хе — точка локального максимума.
Случай 2 рассматривается аналогично. Теорема доказана. Определение 1. Функция у(х) называется выпуклой вверх на интервале (а, Ь), если график функция лежит нод касательной для любой точки данного интервала. Это значит, что если ха — произвольная фиксированная точка из (а,Ь) и 22(х) = ~(хо) + У'(хо)(х — хо), У2(х) > 1(х) Чх Е (а,а).
то Поясним, что график линейной функции у1(х) является касательной к графику !(х) в точке хе. 246 с + на — при переходе через хе слева направо. Поэтому по теореме ! точка хе является локальным максимумом. 2. ~н(хе) > О, поэтому г'(х) возрастает в точке х = хе. Из теоремы ! тогда следует, что хэ — точка локального минимума. Доказательство закончено. Определение 2, Функция Дх) называется выпуклой вниз на (а,6), если график ее лежит пад касательной, т,е. у!(х) < Дх) ух б (а,6).
Т е о р е м а 4. 1. Если з!!(х) < О на (а,6), то Дх) выпукла вверх на (а,6). 2. Если з'!!(х) > О на (а,6), то Дх) выпукла вниз иа (а,Ь). Д о к а з а гп е л ь с э1 в в. 1. Из формулы Тейлора ямеем У(х) = з'(хо) + з' (хо) (х — хо) + — (х — хо), ! ув(с) 2 где с б (а, Ь) . Так как у!!(с) < О, то у'(х) < у1(х) Чх б (а,6), что и требовалось доказать. Случай 2 доказывается аналогично. Т е о р е м а 4а. Если у!!(хэ) < О и у!!(х) непрерывна в хв, то Л б-окрестность точки хв, в которой Дх) выпукла вверх.
,11 о к а з а п1 е л ь с гп в в. Поскольку ~!'(х) непрерывна в точке хэ и ув(хв) < О, существует число б1 > О такое, что у!!(х) < О в Ьпокрестности точки хв, и в ней по теореме 4 функция у(х) выпукла вверх, что я требовалось доказать. Замечание. Если в определениях 1 и 2 имеют место строгие неравенства, то функцяя Дх) называется.строго выпуклой. Строгие знаки неравенства в теоремах 4 и 4а влекут за собой строгую выпуклость функции Дх). Т е о р е м а 5. Пусть функция Дх) имеет первую производную на интервале (а,6) и выпукла на этом интервале. Тогда производная у'(х) является непрерывной и монотонной функцией на этом интерваце, причем строгая выпуклость Дх) влечет за собой строгую монотонность у!(х), Выпуклость вверх пря этом соответствуег убыванию, а выпуклость вниз — возрастанию производной у!(х).
21 о к в з а гп е л ь с тп в о. Мы ограничямся рассмотрением только одного случая, а именно, когда функция выпукла вниз в нестрогом смысле. Выберем произвольным образом на интервале (в,6) две точки х! < хз. Пусть у! = ~(х~) я уз — — У(хз). Точки (хну!) и (хюут) на координатной плоскостя соедяним хордой я ее угловой коэффициент 1~~З~!. обозначим через йв. Через точку (хну~) проведем касательную прямую к графику функции у = Дх). Поскольку Дх) выпукла вниз, эта касательная лежит под графиком, следовательно, и под хордой, ямея с ней общую точку (хну!). Но это возможно лишь в том случае, если угловой коэффициент касательной у'(хг) не превосходит углового коэффициента хорды Хе, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
