Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Т е о р е м а 2(теорема Валле Пуссена). Пусть функции Р(х) я и(х) имеют и-е производные. Тогда для и-й производной функция С(х) = Р(и(х)) имеет место следующая формула С1" 1(х) = ~~~ Р1 "+я+ '+ 1(и) Р +зтт+ а+за+аз+ '17!7!... 1! 2! 3! Поясним, что суммирование в правой части ведется по всем целым неотрицательным числам а, Д 7,..., удовлетворяющим равенству о+217+37+ = и. „7 о к а з а п1 е л ь с т е о. Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, мы, очевидно, приходим к 11з равенству вида п Ц ( э ) ( х ) ~ ~~~ ( х ) Р ! э ! ( и ) О=1 где сь(х) — некоторые выражения, вид которых не зависит от конкретного задания функций у = Р(и), и = у(х). Поэтому для определения точного выражения со(х) через функцию и(х) мы можем испольэовать любые удобные для нас функции. В силу этого будем считать, что Р(и) и и(х) — многочлены и-й степени, записанные в виде г (ио) „г ! !(ио) Г'(и) = Г(ио) + г — + .

+ хэ 1! и! и(х) = и(хо+ С) = и(хо) + С, +. + С" и'(хо) „ и!"!(хо) Здесь мы полагаем, что переменные г и С определены равенствами г = и — ио, ио = и(хо), С = х — хо В этом случае функция 6(х) будет представлять собой многочлен степени оо, который может быть записан в виде а( ) = С(хо) + — С+" + С" + . -. + 0'(хо) С!"!(хо) „О!" !(ха) э 1! и! (по)! и, кроме того, в виде ~(.) =Р(..)+ ~ С+...+ С. + Р'(ио) /и'(ха) и!"!(хо) „ 1! ~, 1! и! Р'!"!(ио) сги'(хо) и!"!(хо) „) о ~ оС .. + оС~~ и! 1 1! и! Раскрывая скобки в последнем равенстве с помощью полинома Ньютона (см.

замечание к С'1 гл. П) и сравнивая коэффициенты при в получившемся выражении с первым равенством, приходим к утверждению теоремы. Теорема 2 доказана. 1 5. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Пусть хо — внутренняя точка области определения Дх).

Определение. 1. Функция у(х) возрастает в точке х = хо, если существует некоторая окрестность этой точка, в которой: а) ~(х) > Дхо) при х > хо, б) )(х) < Дха) при х < хо. Ясно, что точка х = хо является Точкой возрастания функции у(х), если — >О при Ах~0 Ь1'(х) Ьх в некоторой окрестности точки х = хо. 2. Функция Дх) убывает в точке х = хо, если существует некоторая окрестность этой точкя, в которой: а) Дх) < у(хо) при х > хо, б) У(х) > У(хо) при х < хо. Точка х = хо является точкой убывания функции Дх), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство — < 0 при Ьхф0. Ь)(х) Ьх 3, Функция имеет в точке локальный максимум (локальный минямум), если в некоторой проколотой окрестяостя этой точкя выполняется неравенство у(хо) > )(х) (соответственно Дха) < у(х)).

4. Функция 1(х) имеет локальный экстремум в точке х = хо, если в этой точке она имеет или локальный максямум, или локальный минимум. Т е о р е м а (достаточное условие возрастания или убывания функции в точке). 1. Если ~'(ха) = с > О, то тока х = хо — точка возрастания функции Дх). 2. Есля ~'(хо) = с < О, то функция,1(х) убывает в точке х = хо. Д о к а в о ти е л ь с м е о. 1. Так как то существует число б = б(с/2) > 0 такое, что неравенство у(х) — )(хо) с х — ха 2 115 выполняется для всех точек проколотой е-окрестности точки х, = хе. В этой окрестности имеем с ~(х) — ~(хо) Зс 2 х — ха 2 Следовательно, Ь| имеет тот же знак, что и Ьх, т.е.

хе — точка возрастания. Случай 2 сводится к случаю 1 заменой Д(х) на — у(х). Эта теорема называется л е м м о й Дарбу. Лекции 19 з 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, КОШИ И ЛАГРАНЖА Т е о р е м а 1 (теорема Ролля). Пусть функция у(х) непрерывна на [а,6] и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Пусть также г'(а) = 1(6), Тогда на интервале (а,6) существует точка ( такая, что ~'(~) = О. ,У о к а з а т е л ь с га е о. Функция 1(х) непрерывна на [а, Ь]. Следовательно, на этом отрезке найдется точка х1, в которой у(х) имеет максимум, а также точка хт, являющаяся точкой минимума для т'(х).

Если х1 — — хт, то у(х) постоянна на отрезке [а, 6] и у'(х) = О всюду на [а, Ь]. Если же х1 ф хт, то либо У(х1), либо т'(хт) не равна у(а) = у(Ь). И та точка из них, для которой равенство не имеет места, будет внутренней точкой отрезка [а,Ь] и одновременно точкой локального экстремума. Обозначив ее через б, имеем г'(с) = О, поскольку в противном случае была бы точкой возрастания или точкой убывания функции у(х). Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2 (теорема Коши). Пусть функции у(х) и д(х) непрерывны на отрезке [а, 6] и дифференцируемы внутри него.

Пусть д'(х) ф О при всех х б [а, Ь]. Тогда па интервале (а, Ь) найдется точка с такая, что у(а) — у(Ь) ~'(с) д(а) — д(Ь) д'(с) Доказательство. Преобразуя эквивалентным образом требуемое равенство с учетом того, что д'(с) ~ О, имеем (у(а) — /(Ь))у'(с) — (у(а) — у(6))у'(с) = О. Заметим, что слева в последнем равенстве стоит значение производной функции Н(х) в точке х = с, где Н(х) = у(х)(у(а) — у(6)) — у(х)(у(а) — у(Ь)).

Таким образом, нам достаточно доказать существование точки с, в которой Н'(с) = О. Но функция Н(х) дифференцируема во внутренних точках отрезка [а,6] и Н(а) = Н(Ь) = -д(а)т"(Ь) + Ца)д(6). Поэтому по теореме Ролля существует точка с б (а,Ь) такая, что Н'(с) = О, что и требовалось доказать. С л е д с т в и е (теорема Лагранжа). Пусть функция у(х) непрерывяа на отрезке [а,6) н днфференцнруема на интервале (а,6). Тогда имеет место формула У(а) †,1(6) = ~'(с)(а — 6), где с — некоторая внутренняя точка этого отрезна. Д о к а э а 1а е л ь с та в о. Утверждение следствия является частным случаем теоремы Коши при д(х) = х.

Это следствие называется также формулой конечных приращений. Замечания. 1. (О схеме доказательства леммы Дарбу). Эта лемма утверждает, что если 1'(хо) > О, то в точке хо функция у(х) возрастает. С другой стороны, ее возрастание означает, что приращение функции Ьу(х) = у(х) — у(хо) и приращение аргумента Ьх = х — хо имеют одинаковый знак и Ь|(х) ф 0 при Ьх ~ 0 в некоторой окрестности точки хо. Доказательство этою факта, по существу, основано на свойстве функции, имеющей положительный предел, быть положительной на некотором окончании базы. В данном случае ~'(хо) = йт > О, о-~ о о Х вЂ” ХО и поэтому в некоторой проколотой окрестности точки хо мы имеем неравенство у(х) — 1(хо) > О.

х — хо Это и означает, что в данной проколотой окрестности точки хо значения сои(х) и сох имеют одинаковый знак и Ьу(х) ф О при ЬхфО. 2(а) (По поводу теоремы Коши). Для справедливости утверждения теоремы, в частности, требуется, чтобы д'(х) ~ 0 для любого х, принадлежащего отрезку [а, 6).

Отсюда следует, что д(а) — д(6) ф О, т.е. в знаменателе отно1пения в формудировке теоремы стоит ненулевое число. Действительно, если мы предположим, что д(а) = д(6), то по теореме Ролла существует число с такое, что д'(с) = О, но по условию теоремы это не так. (б) (Геометрическая интерпретация теоремы Коши). Пусть при а<1<6 имеем х = Д1), у = д(1). Тогда в некоторой точке с тангенс угла наклона касательной к этой кривой равен тангенсу угла наклона хорды: ~'(с) 1(а) — у(6) д'(с) д(а) — д(6) 118 3.

(По поводу теоремы Ролля). Эта теорема, по существу, утверждает, что при некоторых дополнительных условиях между двумя "нулями" функции всегда лежит "нуль" ее производной. Доказательство теоремы основано на том, что если точка глобального экстремума является внутренней, то она не может быть точкой возрастания или убывания, а отсюда уже следует, что производная в этой точке обращается в нуль.

Докажем несколько более общую теорему, а именно, теорему Ферма: Пусть, как и ранее, ~(х) непрерывна на [а,е]. Опреиеление 1. 1) Внутренняя точка хе называется точкой несобственного локального максимума (или локального максимума в широком смысле), если существует проколотая 6-окрестность точкя хе, в которой Ьу(хе) = у(х) — у(хе) > О. 2) По аналогии определим, что такое точка несобственного локального минимума; ~(х) имеет несобственный локальный мияямум (локальный минимум в широком смысле) в точке хе, если существует проколотая 6-окрестность, в которой Ь|(хо) = ~(х) — У(хо) < О. 3) Точки несобственного локального минимума и максвмума называются точками несобственного локального экстремума.

Ясно, что экстремальные точки можно рассматривать и как несобственные экстремальные точки, но не наоборот. Т е о р е м а 3 (теорема Ферма). Пусть внутренняя точка хе отрезка [а,б], па котором определена и непрерывна функция у(х), является точкой экстремума (в широком смысле) этой функции и пусть В ~'(хе). Тогда ямеем ~'(хе) = О. Д о к а з а т е л ь с 1п в о. Точка хе не может быть точкой возрастания (убывания), так как тогда в некоторой проколотой 6- окрестности этой точки А|(хе) / А|(хе) > 0 [ < 0 соответственно Ьх Ьх Но тогда неравенства у'(хе) > 0 (у'(хе) < О) йевозможны.

Остается привять, что ~'(хе) = О, что и требовалось доказать. Докажем еще одну теорему об обращении в нуль производной. ыэ Т' е о р е м а 4. Пусть функция з'(х) диффереицируема иа (а, 6), а < а, < Ь1 < Ь и ~'(а,) у'(61) < О. Тогда существует точка с Е (аы 61) такая, что з'(с) = О. Д о к а з а ю е л ь с ж в о. Рассмотрим сначала случай 1" (а1) > О. Пусть 4 — точка максимума на отрезке [ам 61). Тогда она является внутренней для этого отрезка, так как а1 — точка возрастания, а 61 — точка убывания. Но тогда имеем ~'(с) = О. Второй случай, у'(а1) < О, сводится к первому с помощью замены функции 1(х) на д(х) = -з"(х).

Теорема 4 доказана. С л е д с т в и е (теорема Дарбу), Пусть функция у(х) диффереицируема на (а,6) и для некоторых ам 61 Е (а, 6) Г(а1) = о, У'(61) = Р. Тогда для всякого числа с, лежащего между а и и', найдется точка хо Е [а„61] такая, что У~(хо) = сг Д о к а з а гп е л ь с ю в о. Рассмотрим функцию д(х) = у(х) — хО. Имеем д (а1) = о — с, д (61) = 13 — 4'. Но так как с лежит между о и 11, то о — с и Д вЂ” с имеют разные знаки.

Характеристики

Список файлов книги