Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тогда, если (о(хо) = 0 или Ув(хо) ие существует, то хо — - точка строгого перегиба графика функции У(х). з7 о к а з а т е л ь с т в о. Так как уа(х) сохраняет знак при х < х„и х > хо в некоторой проколотой б-окрестности, то ((х) имеет разные направления строгой выпуклости в этих частях б-окрестности. По определению зто означает, что хо — точка строгого перегиба. Теорема 2 доказана, Эту теорему можно сформулировать так: если ("(хо)ох 0 и у"(х) строго возрастает в точке хо, то хо — точка старогого перегиба (то хсе и в случае (а(хо) = О, Уо(х) строго убывает).
Т е о р е м а 3 (второе достаточное условие строгого перегиба), Пусть з(х) дважды диффереицируема иа (а,б), за(хо) = 0 и существует (га(хо) ф. О. Тогда хо — точка строгого перегиба. До ко з а т ел ь с те о.Так как ~~з~(хо)фО, то либо (~з~(хо) > О, либо )~з>(хо) < О. В первом случае имеем уо(х) строго возрастает в точке хо, а во втором — г'"(х) строго убывает в точке хо. Поэтому из теоремы 2 в обоих случаях следует, что хо — точка строгого перегиба. Теорема 3 доказана. Т е о р е м а 4 (третье достаточное условие строгого перегиба).
Пусть хо Е (а,Ь) и пусть 1'(х) дифферевцируема 2Й раз на [о, Ь). Пусть сугцествует у1м+Н(хо) ф 0 и ~00(хо) = /00(хо) = ... = ~1м1(хо) = О. Тогда хо — точка строгого перегиба. Д о к а з а е е л ь с ш в о. Заме'гим, что хо в силу условия у1м+Н(хо) ф 0 является точкой возрастания или убывании для у1м1(х), Рассмотрим проколотую б-окрестность У точки хо, в которой у1м1(х) меняет знак при переходе через хо и сохраняет знак внутри хаждой из двух ее полуокрестностей. Далее можно считать, что Ь > 2, так как при /с = 1 теорема 4 следует из теоремы 3. Пусть * Е У. По формуле Тейлора имеем ~00(*)=~"'(")+-+ ' (х-х.)"-'+ (х-")'"-'= ~'"-'(") ~'"'() (23 — 3)! (2/с — 2)! у(ь)(с) 2 2 — — (х-хо) (2Ь вЂ” 2)! где с = с(х) Е У и (х — хо)с(х) > О.
Но (х — хо)м ~ сохраняет знак при х Е У, а ~1~"1(с) меняет знак. Поэтому и у1~1(х) меняет знак, следовательно, по теореме 2 точка хо — точка строгого перегиба. Теорема 4 доказана. Примеры. 1. у = хз: точка 0 — точка перегиба (строгого). 2. у = хз"+'. точка 0 — точка перегиба (строгого). Определение 2. Прямая х = а на плоскости хОу называется вертикальной аснмптотой функции у(х), если один из пределов )пп у(х) или )пп ~(х) равен кос. Пример. у = 1/х. Здесь прямая х = 0 — это вертикальная асимптота.
Определение 3. Прямая у = Ьх+Ь называется наклонной асимптотой функции Дх) (или, точнее„графика функции у = у(х)) при г -~+со, если а(х) = Дх) — Ьх — Ь -+ 0 при х -э+оо. Аналогично определяется асимптота при х -+ — оо. 1оз Т е о р е м а 5. Для существования наклонной асямптоты у = Йх+ 6 при х -+ +со у функция у(х) необходимо х достаточно, чтобы прн х -ь +оо (одновременно) выполнялись два условия: 1) 1пп ~~~-"=й, йбЖ, о~+60 2) 1пп (~(х) — Йх) = 6, 6 б 2. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость.
Пусть у = 6х+6— асимптота, тогда о(х) = 1(х) — йх — 6-+ О при х -++оо. Следовательно, у(х) — йх — 6 -+ О при х -++оо, х откуда 1пп — = й. у(х) + х Далее, 1пп (у(х) — йх) = 1пп (Ц(х) — 6х — 6) +6) = 6.
Тем самым первая часть теоремы доказана. ,Ростаточность. Так как 1пп ~+ (У(х) 6х) = 6 то 1пп о(х) = 1пп (Дх) — йх — 6) = 1пп ((У(х) — 6х) — 6) = 6 — 6 = О. Теорема доказана полностью. Если для функции у(х) выполнено условие 1 теоремы 5, то мы будем говорить, что прямая у = 6х задает асимптотическое направление. Пример нахождения наклонных асимптот в случае функции, заданной неявно. Рассмотрим уравнение кривой хз+ уз Заху — О Зададим ее параметризацию, полагая у = Их.
Тогда получим хз(1 1 зз) Захз1 О Заз Заз 1+1 — — = О, х ' 1+Фа' Отсюда имеем: и = Ф = Ф(х) — ограниченная величина при х -+ со и 1(х) -+ — 1. Следовательно, 1 = — 1, т.е. прямая у = — х задает зсимптотяческое направление. Найдем теперь значение параметра 6 э уравнении касательной у = -х+ Ь. Имеем у = — х+ 6+ о(1), ха+ ( — я+Ь)з — Зах( — х+6) = о(хз), откуда Зхз(Ь+ а) + Зх(аЬ вЂ” Ьз) + Ьз = о(хз), — Ьз Ь+ а+ + — = о(1).
х Зхз Переходя в последнем равенстве к пределу при х -+ оо для постоянного 6, получим равенство 6 + а = О, откуда 6 = -а, и, следовательно, искомое уравнение асимптоты при х -+ оо имеет внд у = — х — а. Краевой экстремум. Пусть у(х) задана на отрезке [а,6]. Опроделенне 4. Точка а называется точкой краевого локального максимума (минимума), если существует интервал (а,а+ Ю) Е [а,Ь], дл» всех точек х которого справедливо неравенство у(а) > у(х) (соответственно у(х) > у(а)). При у(а) > Дх) имеет место несобственный (локальный) максимум; при Да) < Дх) — несобственный (локальный) минимум.
То же самое можно определить и для точки 6, только интервал (а,а+6) надо заменить на интервал (6 — Ю,Ь). Краевые максимум и минимум называются краевыми экстремумами. Л е м м а 2, Для существования (собственного) краевого экстремума в точке а (нля 6) достаточно, чтобы в этой точке существовала отличная от нуля односторонняя производная функции у(х). Д о к а з а т е л ь с т в о аналогячно доказательству леммы Дарбу, Например„есля у'(х) > О при х Е (а,а+ Ю), то а — краевой минимум, поскольку при х Е (а,а+ 8) существует с Е (а,а+ 6) такое, что ~(х) — ~(а) = 1'(с)(х — а) > О, т.е. г(х) > Да). Лемма 2 доказана.
Обигая схема построения графика функции у(я) 1. Найти область определения функция У(х). 2. Учесть особенности функции (четность, периодичность, знакопеременность). Найти пересечения графика с осями координат. 3. Отметить значения функции на границе области определения и в точках разрыва. Найти вертикальные аснмптоты. 4. Найти наклонные асимптоты. 5. Определить участки монотонности. Определить локальные и краевые экстремумы.
6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба. 7. Отобразить перечисленные особенности функции при построении ее графика. Лекции 26 з 16. И!!ТЕРПОЛИРОВАНИЕ Целью интерполирования, или интерполяции, является приближенное нахождение функции по известным значениям этой функции и ее производных в некоторых заданных точках области ее определения. Эта задача становится определенной, если задан вид функции и число яеизвестиых параметров яе превышает количества задаяяых значениЯ функции и ее производных. Так, яапример, миогочлея и-й степеяи имеет и+ 1 параметров (его коэффициенты) и может быть определен по значениям его в и+ 1 различных точках. Пусть в точках хы..., х„мяогочлеи Р(х) принимает соответственно значения 7(хс),, 1(х~) Т е о р е м а 1. Существует единственный мяогочлея Р(х) степеия и — 1 такой, что Р(хь) = ~(хь), Iс = 1,..., и.
,ст о к а з а яс е л ь с ос е о. Имеем 1, если х=хм (~ь(х) = О, если х = хь...,хь мха+и..., х„, где с,сь(х)— (х — хс)... (х — хь с)(х — ха+с)... (х —:с„) (хь — хс)... (хь — хь,)(хь — ха+с)... (хь — х„) Тогда Р(х) можно записать в виде Докажем, что миогочлеи Р(х) единственен. Действительно, допустим, что существует еще один мяогочлеи с указанными свойствами, т.е.
9(хь) = у(хь). Отсюда получим, что миогочлея (и — 1)-й степени Р(х) = Р(х) - Я( ) имеет и корней; а именно, Р(хь) = О, !с = 1,..., п. Следовательно, г'(х): — О, т.е. мяогочлеиы Р(х) и Я(х) тождественно совпадают. Теорема 1 доказаиа. Формула, задающая мяогочлеи Р(х), называется ннтерполнинониой формулой Лагранжа. При этом точки хп...,х„называют Узлами интерполяции. сзт Пусть у(х) — 'ыекоторая функция. Обозначим через Рк(х) мыогочлен степени х — 1, принимающий в точках х1,..., хк значения У(х1) ...,1(хк).
Тогда интерполяционную формулу можно записать в виде » Р(х) = Р1(х) + ~~~ (Рк(х) — Рк 1(х)) = Р„(х). »=2 Мыогочлен Рк(х) — Рк 1(х) степени» вЂ” 1 в силу определения обращается в нуль в точках хг,...,хк 1. Следовательно, оы имеет вид Ак(х — хо) -,,(х — хк 1). Коэффициент Ак совпадает со старшим коэффициентом мыогочлена Рк(х) и в силу иытерполяционной формулы Лагранжа равен 1( '1) Ак = (х1 — хг)... (х1 — хк) 1( '2) У(хк) (хг — х1)(х2 — хэ)... (хг — х») (хк — Х1)...(хк — х1, 1) Таким образом, коэффициент А» является ыекоторой функцией от хг,...,хк. Обозначим ее через Ак = Д(хг,...,хк). Тогда иытерполяционыый многочлен Р(х) можыо записать так: Р(х)=у1(Х1)+(х — 1)(2(Х1, хг)+...+(х-Х1)... (х — х»-1) у»(Х1,, х») где, очевидно, полагая х = Х1, имеем 1'1(Х1) = ДХ1), Эта формула называется ннтерполяпнонной формулой Ньютона.
Функции Ук(хг,...,Хк), Й = 1,...,п, называются ннтерполнрующамн функпжямн. Полагая в формуле Ньютона х = х„, получаем ~(х„) = Р(х„) = ~(Х1) + (х„— Х1),6(х1, хг) +... +(Х» Х1) ..(Х» Х»-1)1»(Х1~ Х») Здесь узел интерполяции х„— произвольное число, поэтому, заменяя х„на х, будем иметь ~(х) = ~(Х1)+ (х — х1)Уг(Х1, хг)+ .. +(х — х1)... (х — х» 1)У»(х1,...,2).
Уменьшим количество узлов интерполяции ыа один, исключив точку Х„1, запишем эту формулу для узлов интерполяции х1,...,х„г,х и вычтем получившееся тождество из предыдущего. Тогда получим У 1(х,...,х. г х)-У 1(хг,...,х ) ~»(х„...,х» „.) х — х„ Таким образом, при и = 2,3,... имеют место соотношения 2 (Х) 1 (Х1) 12(Х1, Х) — 12(Х1~ Х2) 12(Х1,Х), 22(Х1,Х21Х)— х — 21 Х1 — Х2 которые позволяют с помощъй' простого алгоритма вычислить интерполируюшие функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
