Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 28
Текст из файла (страница 28)
с*и*=/~(~(ем~)=) лю(б)ФН)» ' что и требовалось доказать. С помощью дифференцирования легко убедиться в том, что справедливы следующие равенства для неопределенных интегралов от простейших элементарнык функций: 1) )хМх= — *„, +с, вф-1; 2) ) — ' = 1пф+ с; 3) ) -,+ т = агсгкх+ с; 4) ) ",~-т = 1и ~ ь-,'т — * ~ + с; 5) ~-„Щ = агсвшх+ с; 6) Х+; = 1п(х+ ~(ггГ1)+ с; 7) ~ а~с(х = ~~ + с, а > О, а 11 1, 1 е Их = е* + с; 8) 1 вшх~(х = — совх+с; 9) 1 совх~(х = вшх+с; 10) ( Д вЂ” = — сгк х + с; 11) ) -~» = 13х+ с; 12) ( 1п хох = х 1п х — х + с. Еак мы уже отмечаля, не всякая функция имеет точную перво- образную, потому что.яе всякая функция является производной от другой функции. Рассмотрим, например, функцию 1, если х Е (О, 1), У(х) = 2, есля х = 1,' 3, если х Е (1, 2) Эта функция определена на (0,2) и не может являться производной какой-лабо функция г'(х) на (о,2), так как по теореме Дарбу производная принимает все свои промежуточные значения, а у(х) — всего тря значения: 1, 2, 3.
В дальнейшем мы докажем формулу Ньюпзона-Лейбница, из которой следует, что функция, непрерывная ма интервале, имеет первообразмую, т.е. имтегрируема. Поэтому все элементарные функции имтегрируемы ма всех интервалах, входящих в их области определения. Одмако в' результате имтегрировамия далеко пе всегда получаются сиова элемемтармые функции, как это ямеет место при дифференцировании. Например, можно доказать, что функции ( бх 1(х = / — (иптегрвльмый логарифм), ./ 1вх ( э)ах э)х = / — )1х (имтегральмый синус) це являются элементарными, Фумкпии, сами ме являющиеся элементарными, по определяемые через мих с помощью амалитических соотпошепий типа интегрирования и дифференцирования, обычно мазывают спепцальпыыи функцм- яыи.
Однако следует отдавать себе отчет в том, что, например, с вычислительной точки зрения специальные функции, вообще го- воря, "ничуть ме хуже", чем элемемтарпые, а иногда и "лучше". Но все же простейшие элементарные функции имеют преимушество, состоящее в простоте тех функциональных соотмошемий, которым оми удовлетворяют. Еше раз подчеркнем, что единого метода интегрирования элемен- тарных функций существовать пе может, так как первообразмая может и ме быть элементарной функцией, Но для махождемия первообраз- мой в явном виде имеется несколько'приемов. Говоря о методах интегрирования, смова напомним, что для выясмепия того, является ли известная мам функция Р(х) первообразмой для ((х), мет необхо- димости "брать интеграл", т,е.
вычислять 1 ((х))1х, здесь мадо просто майти Р'(х) и сравнить ее с ((х) . Примеры. 1. Пусть функция ((х) имеет непрерывную производ- мую ма (а,э), С(х) = ~, с„. Тогда а<п(х Действительмо, еслм х — ме целое число, то, поскольку С(х) и,), с„кусочно-постояппы ма интервалах, ме содержащих целых а<о<о точек, Г'(х) = -С(х) ('(х) .
Раисе мы убедились, что Р(х) непрерывна ма (а,6). Так что Р(х) есть первообразмая для функций С(х)('(х). 172 2. Пусть функция у(х) имЬет'непрерывную производную на (а,Ь), р(х) = -' — (х). Тогда имеет место формула г'(х) = ~~~ у(п) — р(х)1(х) + р(а)у(а) = ~(~(х) — р(х)1 (х))ох. а<а<а Действительио, если х — ие целое число, то Далее, так как Р(х) — непрерывная функция, то г'(х) — перво- образная для функции у(х) — р(х)у'(х). Иногда дифференцирование ответа оказывается очень громоздкой процедурой, так что целесообразно с помощью различных приемов сводить процесс вычисления к табличным интегралам. Для того чтобы уверенно и быстро вычислять интегралы, необходим определениый навык применения стандартных приемов интегрирования.
Самые простые и самые общие из зтих приемов — зто метод замеиы переменной и метод интегрирования по частям [см. свойства (5) и (6)]. Подробнее с различными методами интегрирования можно познакомиться, например, в [4, 7, 15, 16]. Лекижи 30 ДОПОЛНЕНИЕ. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ПО ГЕЙНЕ НА ФУНКЦИИ, СХОДЯЩИЕСЯ ПО БАЗЕ МНОЖЕСТВ Предметом настоящей лекции является распростраиеиие классического понятия предела функции по Гейне на общий случай сходимости по базе множеств. Как известно, построение курса математяческого аиализа основано на двух эквивалентиых понятиях сходимости: пределах по Коши и по Гейне.
Одновремениое использование обоих поиятий в курсе мотивируется его содержанием. В частности, это позволяет уиифицировать и сделать значительно яснее использоваиие пределов во всем их разнообразии, включая теорию интегрирования, фуикции многих переменных и др. Необходимо отметить, что поиятие сходимости по базе множеств было впервые сформулировано А. Крыжановским [22] (в иесколько отличающейся терминологии).
В 1937 г. В.И. Гливенко [23] использовал это понятие для общего определении интеграла. Позже, как отмечал А.Н. Колмогоров, фраипузскэл математическая школа пришла к тому же понятию в рамках теории фильтров. В связи с успешным развитием теории сходимости по Коши возникла неотложная необходимость в соответствующем обобщении понятия предела функции по Гейне [24],[25]. Здесь мы решаем эту задачу. Введем поиятие Н-предела по базе, которое совпадает с классическим определением предела по Гейне в простейших конкретных случаях. Затем установим эквивалентность поиятия Н-предела по базе, введеииого нами, и общепринятого определения предела функции по Коши. Наконец, как иетривиальный пример введеииого понятия Н-сходимости по базе, мы продемонстрируем новый подход к определеиию и ясследованию верхнего и иижиего пределов функции по базе.
1. Пусть А — осиовиое миожество элементов х, А = (х), и пусть  — база его подмножеств, которая состоит из бесконечного числа окончаний Ь, т.е. 6 С А, 6 б В, удовлетворяющих следующим условиям: 1) каждое окончание является иепустым множествои; 2) для любых двух окоичаиий Ьм Ьз существует окоичание 6з такое, что Ьз СЬд ОЬю Определение 1. Мы иазываем последовательность (к„), х„б А, рундамемшальной по базе В, если для любого окончаиия 6 существует только лишь конечное число членов последовательности, которые не прияадлежат 6, Опреаеленне 2.
Фундаментальная последовательность называется ,ионов»онноЯ (по базе В), если условие х„Е Ь влечет условие х„+1 Е 6 для каждого окончания Ь. Далее мы ограничимся базами В, удовлетворяющими также следующим условиям: 3) для любых двух окончании Ь1, Ьт имеем, что либо Ь1 С Ьт, лмбо ь сь; 4) существует по крамнеЯ мере одна монотонная последовательность по базе множеств В; Ь) П 6=а. »5В 2. Докажем несколько свойств монотонных последовательностей по базе. Л е м м а 1. Пусть (х„) — монотонная последовательность по базе В.
Тогда существуют ее подпоследовательпость (у»), у» = х„„ я последовательность окончаниЯ Ь„Е В, зависящая от (у»), такие, что х„, Е Ь», но х„, ф 6»+1, 6»+1 С Ь». Д о к а з а я» е л ь с т в о, В качестве Ь1 выберем произвольное окончание из В. Существует только конечное число членов последовательности, которые не принадлежат 61. Пусть х„, Е 61, тогда для любого Ь > 0 имеем х„,+» Е 61 (по свойству монотонности (х„)). В качестве Ьт выберем некоторое окончание, которому не прмнадлежит х„,.
Такое ьт существует, поскольку Нн = П» я 6 = И. Деиствительно, если х„, Е 6 для любого окончанмя 6, то х„, Е Нв. Но тогда Нн не будет пустым множеством. В качестве х„, выберем член последовательности с ммнимальным индексом, начиная с которого все последующие члены последовательности принадлежат Ьт, и т.д. Таким образом, мы получаем две последовательности: элементов у, = х„, и окончаниЯ (Ь,), Ь~ Е В таких, что х„, Е Ь„х„, ф 6,+1 и 6+1 С 6, для каждого я > 1. Лемма 1 доказана. Заметим, что последовательность (у,), очевидно, является мо- нотонноЯ по базе В. Последовательность (6„) назовем основной последовательностью окончаний.
Л е м м а 2. Пусть (6„) — основная последовательность о»оячаний. Тогда для каждого окончания Ь Е В существует окоячание 6„Е В такое, что Ь„С Ь. ~7 о к а з а 1п е л ь с т е о. Предположим противное. Пусть 6' такое окончание, что для всех и имеем Ь„ф Ь'.
Тогда в соответствии со свойством 3 базы В выполняется следующее условие: 6„1 6' для всякого п > 1, т.е. Ь' С П„Ь„= П. Из леммы 1 имеем, что у„ф Ь„+1. Следовательно, у„ф П„6„= О, т.е. бесконечно 1 та много, даже все члены последовательности (рь) не принадлежат В. Далее, так как Ь' С О, то окончанию 6'ие принадлежит бесконечно много членов последовательности (р„). Это противоречит тому, что последовательность является фундаментальной. Лемма 2 доказаиа. 3. Пусть У(х) — вещественная функция, определенная на А. Мы называем число 1 С-пределом фуякции у(х) по базе В, если для всякого е > О существует окончание 6 = 6(е) такое, что для всех х Е Ь имеем )!"(х) — 1) < е.
Обозначение: 1 = С-1ипг(х) или просто 1 = 1ип!(х). в в Это соответствует определению предела функции по Коши. Дадим теперь аналогичное определение предеда.по Гейне. Число 1 будем называть Нга-пределом функции у(х) по базе В, если для каждой монотонной последовательности (х„) по базе В имеем, что 1пп !'(х„) =! Обозпачеиие: 1 = Нт-1пп !(х). в Т е о р е м а 1. Для того чтобы существовал С-1пп!(х), не- в обходимо и достаточно, чтобы существовал Нт-1йпу"(х); более того, в имеем Нт-1пп! (х) = С-1пп!(х).
в в Другими словами, понятия Нга-предела и С-предела функции по базе В являются эквивалентными. ,1! о к а з а т е а ь с т и о. Необходимость. Пусть С-предел существует, т.е. С вЂ” !ппу'(х) =1. В Тогда по определению для любого е > О существует 6 = 6(с) такое, что при всех х Е Ь справедливо неравенство )у(х) 1) < е. Рассмотрим произвольиую последовательность (х„), монотонную по базе В. Из условия монотонности следует, что существует по такое, что для всех и > по имеет место соотношение х„Е 6.
Следовательно, )Дхь) — 1) < е 'Ф и > по, т. е. 1пп у(х„) =1. Достаточность. Предположим противное. Пусть Нт-1пп!(х) =1, в но С-предел не существует или не равен 1. Это означает, что 1 Те сушествует г > 0 такое, что для каждого окончания 6 б В найдется х Е Ь, для которого !((х) — 1! > г. Рассмотрим основную последовательность окончаний (6„). Пусть г1 Е 61 и (((г1) — 1( > г. Так как Нв = ()ь вЬ = х(, то существует окончание 60! б В такое, что г1 ф 6(И. В силу леммы 2 при некотором и1 имеем 6„, С 6П!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
