Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 32
Текст из файла (страница 32)
аг~е Теорема 1 доказана полностью. з 5. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ Верхнюю (соответственно нижнюю) сумму Дарбу функции у(я) на отрезке (а,б], отвечающую разбиению Т„отрезка ]а,б] на и равных частей, обозначим через Я„(соответственно в„). Докажем следующяй специальный критерий интегрируемости функции по Риману. Т е о р е м а 1. Для внтегрвруемосгв ограввченяой функции /(х) ва отрезке (о;Ь] веобходнмо н достаточно, чтобы выполнялось условие 1пп (Я„ — в„) = О. Д о к е в е т е л ь с т е о. Необходимость следует кз критерия Рамаза (теорема 1 14). Достаточность.
Пусть г" = пКЯ(Т), 1, = варе(Т). т ' ' т Тогда для любого раэбкенвя Т будем кмегь в(Т) < У. < У' < Н(Т). Следовательно, ве < У < У < Нп. Отсюда получим бь — вь > 1' — 1, > О. Но поскольку !пп (߄— в„) = О, то 1' = 1, = 1, к в силу теоремы 2 14 (условве 2) функция у(х) внтегрвруема на отрезке [а, Ь]. Теорема 1 доказана полностью. С л е д с т в и е. Для ввтегрвруемоств ограввчеиной фуякцвв ва отрезке необходимо в достаточно, чтобы выполнялось одно вэ следующях экввввлевтвых условнй: 4) 1пп (Бь — вв) = О 5) 1п1(8„— в„) = О. Условна 4) к 5) доаолаяют условвя 1),2) к 3) теоремы 2 14.
Д о к е в а т е л ь с т е о. Очевидно, имеем цепочку заключений 5) хь 3) =ь 1) еь 4) ~ 5). Следствие доказало. Пример. Рассмотрвм последовательность (х„), О < х„< 1. Пусть а в ф — любые числа с условием О < а < )1 < 1. Обозначим через Кд количество членов послеловательаостк (хв), 1 < Й < Я, попадающих ва атрезок (а, р], т.е. о < хв < р', 1 < Й < Я Будем говорить, что последовательаость (х„) равномерно распрсделена по модулю едииипд (р.р. (глоб 1)), еслк выполняется соотношение !пп — = )г — а. НО о+с Я Докажем следующий критерий равномерной распределеаностк, првнадлежащий Г.Вайлю.
Т е о р е м а 2. (Критерий Г.Вейля). Для того чтобы последовательность (х„) была равномерно распределена но модулю единица,' необходимо и достаточно, чтобы для любой интегрируемой по Риману функции 'В(х) имело место равенство д 1 1пп — ~~т у(х,) = ~ у(х) Их, О~ьт Я Д о к о з а та е л ь с нт е о. Доствавточкосоть. Периодическая функция у(х) с перводом 1, 1 , если а<х<тд, Лх) = о'(х) = О в противном случае, ивтегрируема иа отрезке [0,1).
Кроме того, имеем Ф 1 вя =КФ*) 1 ~(*)т*=в- . тжт о Следовательно, !пп — = )у — а, Мст о-+са Я т.е. последовательность (х„) равномерно распределена по модулю единица. Достаточность доказана. Необходимоснть. Пусть у(х) — произвольная интегрируемая по Римаву функция иа отрезке [0,1]. Тогда в силу критерия вятегрируемости для любого т ) О существует разбиеяяе Т, такое, что е е П(Т) ж Б(Т) — в(Т) < —, в(Т) = ~~т тптЬхт, Б(Т) = ~~т Мтйтхт.
3' тют тж! Очеввдио, справедливо неравенство 1 в(Т) < в(х) Их < Я(Т). о Положим )' 1, если хбЬт, 11 О, если х ф ьъв, 198 э э у!(х) = ~ и!!у!(х), Ф(х) = ~ М!е!<(х), з=! в=! Заметим, что если равенство (1) выполняется для некоторых функций Л(х),уз(х),...,Д,(х), то оно справедливо и для функции д(х) = с!у!(х)+сзуз(х)+ ° +с„Цх).
Поэтому, исходя из определения равномерной распределенности, получим: Ф 1 ° — ~~[*,)=~~! ° )ах г|т|, !'!-к Я ~ж1 о Я н -~'э[*,! = ~а[*! ь = зр !. е — — ! а Следовательно, для всякого е > 0 существует Яе — — Яе(е) такое, что для всех Я > Яе имеем 1 Ф 1 в(Т) — — Х~' 'г(х~) < —, Б(Т) — — ~ Ф(х„) < —, гм Далее, поскольку имеет место неравенство у(х) < у(х) < Ф(х), Ф Ф Ф э(Т) — — < — ~~ к!(х„) < — ~ Цх,) < — ~~! Ф(х„) < Б(Т) + —. О-Сг,, "-а,, -0,, "- З ! Следовательно, как ~! 2' у(х,), так и значение интеграла 1 у(х) Их с=! о принадлежат отрезку (э(Т) — у, Я(Т) + Ц.
Поэтому имеем < П(Т)+ — < е. 2е 3 Теорема 2 доказана полностью. Ь 6. МЕТОД ИНТЕГРАЛЪНЫХ СУММ Метод интегральных сумм основан на следующей лемме. Л е ы ы в. Пусть функция 1(х) вптегрируема на отрезке (а, Ь), и пусть (К,) — любая последовательность размечевиых разбиений с условием, что последовательность диаметров разбиений (Ьг,) -ь О при и -+ оо. Тогда при и -+ оо имеем: а)Я„= Я(Т(У„)) -+ 1; б)о„= о(Т(Р'„)) -ь 1; в)оь = о(У„) -ь 1. Д о к а з а пг с л ь с пг е о. По определению интеграла и по критерию интегрируемости функции по Риману для всякого числа с > О существует число 6 = б(с) > О такое, что если 14 = От1г„1 < б, то имеем с с ~о„— 1~ < —, )߄— 1~ < — < с, ~в — 1~ < — <с.
2' " 2 ' 2 Но так как последовательность (Ьг ) стремится к нулю при п -+ оо, то вне соответствующей 6-окрестности нуля лежит не более конечного числа по(6) значений Ьг„. Позтому вне с-окрестности числа ! тоже лежит не более, чем по(6) значений величии и„, Я„, о„. Следовательно, 1 = 11ш о„= 1пп Я„= 1пп в„. ьчсо ьчсю оооо Лемма доказана ь Примеры. 1. Имеем ) е' бх = еь — е'. О Поскольку функция е* непрерывна на отрезке [а, Ь], она интегрируема на нем, Для того чтобы найти значение интеграла, остается только выбрать последовательность (К,) и вычислить предел 11ш и„. Положим при Ь = О,..., и Ь вЂ” а Ь вЂ” а хь = а+ Й вЂ”, сь = хь ы сьхь = — = Ь, хь = а+ Й О. и и Отсюда имеем а„= ~~~ е'+ьд сь= сье~(1+ел+ ° ° +е1" г1а) = = дсо — . (с са) .1 еьв ~ ь 1 — са са — 1 Так как при и -+ оо справедливо равенство 1пп ~йТ = 1, то «"+со с ь 1пп а«с«е» — е' = е' с(х.
о ь 2. Пусть 0 < а < 6. Тогда имеем 1с Фг — -' — ~у. а Возьмем произвольное рийбиерие отрезка (а, Ц: а = хе « ° а« = 6 и положим б» = /х» 1х», х = 1,...,п. Тогда для соотвегствующей интегральной суммы е« .будем иметь 1 х» — х» 1 К 1 1~ 1 1 а„= ~~ Ьх» = ~~с 1=1 х» 1х» хй 1хй '1х» 1 х»,1 а 6' й=1 »=1 Следовательно, ь /Их 1 1 1ПП ст«с«1 — = — — —, «+ос ",/ хт а Ь а 3. Найти предел 1пп (++ --'у+ .Ь 1 ) =1, «соо 1«+ Очевидно, имеем 1 1 1 Г с1х 1= 1пп ~~с «-+со 1+ —" и,/ 1+я »«1 « о Отсюда по формуле Ньютона — Лейбница, которая будет доказана чуть позже, получим 1= 1п2. В частности, яспользуя это, найдем сумму ряда ~-", (-1)»-' .
(~, (-1)»-1~, / ~ — = 1пп 7 — = 1пп ~1 — -+-- "— — ) = й «-соо ~с-г й / «-ссо ( 2 3 ' 2п) й«1 »«1 ( 1 1 1 = 1пп — + — + ° + — = 1п2. «-+ос ~п+1 п+2 и+и/ 4. Справедливо следующее равенство: г ( 2х1п И, если )о! ) 1, ~«( 1п(1 — 2асоех+ ат) с1х = сс О, если (а( < 1. о Положим хй = — '„й, бй = хй Ь = 1,...,л. Тогда имеем ахй = -"„. Следовательно, ю и ам о'„= ~~~ 1п(1 — 2асовхй+ а ) — = я~ 1п](а-сам)(а — е ь~')] — = о л ййп й=! т» = я1п П ](а — е' ')(а — е ь")]- = 1г1п]ат" — 1] —. л л йм) Переходя к пределу при л -+ оо, получим искомое зиачеиие интеграла.
$. Пусть у(х) ие убывает и ограничена яа отрезке (а,6]. Тогда для величипы ь Ь вЂ” а / Ь вЂ” аь б„= — с,/( <~ — ) — /дел* л л йл) имеют место неравенства 0< 8„< У(6) - У(') л Очевидно, имеем гг(ь-а) 0<б„=с; ) (г(,,-э-,ь — гй)) ы*< ь л й=) „, й.(ь-а) Ь вЂ” 1 < ~ / (у(а+ — (6 — а)) — у(а+ — (6 — а))1 Нх < л л -"=-ь (ь- а ) Ь вЂ” а " Г 6 †~;(г(+-э- и-л +=э-гь)= л „[, л л йж) ( г ( 6 ) / ( ) ) А это и доказывает требуемое неравенство. 6. Пусть функция у(х) имеет па отрезке (а,ь] ограниченную и интегрируемую производную, и пусть символ о„обозначает то же, что и в примере 5. Тогда 1пп ль„= (Ь вЂ” а)(/(Ь) — Да)) в~<о 2 202 В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях на каждом отрезке аь» = (х1, 1,х»], Ь = 1,..., п, для любой точки х Е (1,» существует точка б», принадлежащая интервалу (*» 1,х»), такая, что Ь Ь у(е + — (Ь вЂ” е)) — у(х) = у~(с»)( — (Ь вЂ” о) — х).
и п Пусть пь», М» — соответственно нижняя и верхняя грани производной у'(х) на отрезке (.'ь». тогда пь» ( у'(с») ( м». Из определения Ь„имеем Ь-(Ь-а) Ь !.=<, ( ( а-(а- )-*)Г(!1<* и (Ь-а) Отсюда следуют неравенства ;( — „) ~; <а.<;( ) ~а.. »а1 »а! Домножая обе части неравенства на и и переходя к пределу, получаем требуемое предельное соотношение, Отсюда, в частности, для последовательности примера 3, имеем ( 1 ~ 1 1Ы + + + 1п2 «~ 1,и+ 1 и+2 и+и / 4 Т. Пусть р(я) непрерывна и положительна на отрезке (О, 1]. Тогда справедливы неравенства ~ 1а»(а) Ха ( еа ( ( р(х) а(х.
.)'Ж о о Положим я» = „-, Ь = О,,п, Тогда для соответствующих инте» гральных сумм в силу неравенств между средними гармоническим, геометрическим и арифметическим имеем Г(аа! + ' "+ ~а-7 и Переходя в этих неравенствах к пределу при и -ь оо, получаем искомое неравеиство., Лекция 4 Ь 7. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА КАК ПРЕДЕЛА ПО БАЗЕ Напомвим даввое а ковце $1 определевие ивтеграла Римава как предела по векоторой базе. Пусть А — совокупность всех размечеввых разбиений отрезка [а, 6).
Мвожество А будет освоавым мвожеством базы В. При всяком Ь > О оковчавиями 6 = Ьа б А этой базы В являются мвожества, состоящие взо всех размечеввых разбиений У б А с диаметром разбиения А», мевьшвм с. Другими словами, окончание Ьа задаегся так: Ьз = (У б А[Ьг < б).
Пусть, как и раньше, в(У) — интегральная сумма, отвечающая размечеввому разбиевию У = (яо,я1 °,яа;6 ° ° .,4а) Тогда число 1 называется интегралом Римана от функции 1(я) ва отрезке [а, Ь), если 1 = 1ипа(У). в Другами словами, число 1 — интеграл от функции 1(я) ва отрезке [а, 6], если для всякого с > О существует число Ь = Ю(г) > О такое, что для любого размечеввого раэбиевия У отрезка [а, 6) с условием Ьу < д имеем [1 — о(У)[ < г. Пусть теперь А' — совокупвость неразмечеввых разбиенвй отрезка [о,Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
