Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Это множество А' является освоавым мвожеством базы В', Р состоящей из оковчаввй Ьз, причем Ьа состоит изо всех веразмечеввых разбиевий Т с диаметром 1ьт < Ю. Дадвм определение верхнего и вижвего интегралов Дарбу. Пусть Я(Т) я э(Т) — соответстяевво верхвяя в вижвяя суммы Дарбу, отвечающие вераэмечевяому раэбвевию Т и П(Т) = Б(Т)-в(Т). Тогда число 1' = 1п1 Я(Т) тел ваэывается верхиим иитегралом Дарбу, а число 1, = вар в(Т) тел' — важным интегралом Дарбу от фувкцяи у(я) ва отрезке (о, 6].
Возьмем любое фиксированное аеразмечеввое разбиеаые То. Обозаачим через а(То) множество всех тех размечеавых разбаевый У, которым соответствует одно ы то же веразмечеввое разбиевые То, т.е. множество всех его рвзметок. Тогда, всходя вз леммы 2 23, определение верхнего ы аыжвего ыатегралов Дарбу можво записать ы так: 1' = 1пХ впр,а(У),1, = впр 1п1 о(У). тел' ъ ве(т1 .
Тва. гешт1 Отметим несколько свойств введеаиых выше повятий. Л е и м а 1. Пусть размечеияое разбаевяе У есть разметка ргзбиепяя То, т.е. У Е а(То). Тогда, еслы У Е Ьо, то: 1) а(То) С Ьа; 2) О а(То) = 0 а(То) = Ьо. то ого <б товьа Действительно, амеем бто = 21г. Следовательио, для любого размечеваого разбиения У1 Е о(То) получим 21г, = Ьг ( Ю, поэтому а(То) С Ьо. Свойство 2) проверяется авалогычао. Лемма 1 докаэааа. Отметим теперь несколько свойств базы В. Кроме указаавых ранее двух свойств: 1) любое оковчавие базы — вепустое множество; 2) для любых окоачааый 61 ы 62 существует окоачавие 6э с условием 6з с 61 О 62, выполняются следующие три свойства: 3) Для любых оковчааай 61 в 62 выполаяется одно из условий: либо Ь1 С Ьз, лабо Ьз С Ьп 4) Напомвам определеаые фуадамевтальвой и монотонной последовательаосты по базе маожеств (см. лекцыю 30, ч.
1). Последовательность рвзбиевай (Ье) называется фунпдментальной по базе В, если для любого окоичавая Ь Е В существует только коаечвое множество членов последовательаоста, ае привадлежащвх Ь. Фуадамевтальвая последовательность (У„) вазываегся монотонной по базе В, если для любого окоачавая Ь ыз условия Ье Е 6 следует, что Уеы Е Ь. В качестве моаотоавой последовательаости по базе В можно взять последовательыость (У„) рвзмечеааых разбыевый отрезка [а,6] таких, что Т„ = Т(У„) является разбыеааем его ва и равных частей. 6) О 6=9. ьвя Введем следующие обозначения для верхнего ы аыжвего пределов по базе В: ,/' = !ппо (У), ), = 1нпа(У). в Справедливо следующее утверждение. 20$ Т е о р е м а 1.
Имеют место неравенства: У, < П < П < У'. Отсюда в силу критерия Коши получим следующий критерий интегрируемости функции по Риману. Т е о р е 'м а 2. Для того чтобы фуякция была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Д о к а з а т е л ь с т а о теоремы 1. Из определения верхних интегралов П и У' и свойств верхнего предела по базе множеств (теорема 3, лекция 30, ч. 1) имеем П = 1п15(Т) = 1пу впр с(У) = (пу '1пГ впр а(У) < т т кещт1 б>оат<б те 1т1 < (пУ 1пу впр а(У) = 1пУ зпр а(У) = 1ппц(У) = З', д>ват<а теь~ ьаев теьа н т.
е. Р < З'. Аналогично, получим, что 1„< П, Теорема 1 доказана. Замечание 1. Итак, мы видим, что критерий Римана для существования интеграла в форме П = П на языке понятия предела по базе, в сущности, эквивалентен критерию Коши существования предела по базе Ьт -+ О. Замечание й. Из эквивалентности понятий предела по Коши и по Гейне для базы Ьт -э О вытекает, что функция интегрнруема тогда и только тогда, когда для любой последовательности разбиений (У„) с условием Ьт„— э О при и -+ оо последовательность интегральных сумм (н(У„)) является сходящейся последовательностью.
С другой стороны, специальный критерий интегрируемости, который был доказав ранее, говорит о том, что здесь можно ограничиться лишь одной последовательностью равномерных разбиений отрезка интегрирования.' В этом проявляется специфика рассматриваемой базы бт -+ О. Уточним теорему 1, а именно, покажем, что верхний предел по базе В интегральных сумм совпадает с верхним интегралом Дарбу. Для этого нам будут необходимы несколько лемм.
Л е м м а 2. Пусть 'модуль функции у'(х) ограничен на отрезке Е = (а, 6) числом М. Пусть Т вЂ” разбиение этого отрезка с диаметром 6 > О. Пусть также разбиение Т1 получается из Т добавлением к нему одной точки. Тогда для разности верхних сумм Дарбу Я(Т) и 5(Т1) имеем оценку )З(Т1) — 5(Т)~ < 2МЮ. Д о к а з а т е л ь с т е о. Рассмотрим отрезок Ес = [ас,Ьс], являющийся отрезком разбиения Т и содержащий точку Ь б Тм не входящу1о в разбиение Т. Тогда наборы точек т = (ас < Ьс) и 1; = (ас < Ь < Ьс) можно рассматривать как неразмеченное разбиение отрезка Ес. Пусть при этом Я(т) и Б(т1) есть верхние суммы Дарбу на этом отрезке. Тогда из определения следует, что Б(Т1) — Б(Т) = Я(т1) — Б(т).
Отсюда имеем [Б(Т1) — Б(Т)] = [Б(т1) — Б(т)[ < [Б(т1)[+ [Б(т)] < МЬ+ МЬ = 2МЬ Лемма 2 доказана. Л е м м а 3. Если в условиях леммы 2 разбиение Т1 получается вз разбиения Т добавлением ве более, чем и точек, то имеет место оценка ]Б(Т1) — Б(Т)[ < 2МЬп. ,У о к а э а т е л ь с т е о. Справедливость леммы 3 устанавливается и кратным применением леммы 2.
Лемма 3 доказана. Л е м м а 4. Пусть разбиение Т отрезка Е = [а, Ь] удовлетворяет условию леммы 2, а разбиение Т1 того же отрезка содержит не более и внутренних точек. Тогда справедляво неравенство Б(Т) < Б(Т1) + 2Мдп Д о к а з а т е л ь с т е о. Рассмотрим разбиение Тз = ТОТ1. Тогда в силу основного свойства верхних сумм Дарбу справедливы неравенства Б(Тг) < Б(Т), Б(Тз) < Б(Т1), Далее применим лемму 3 к суммам Б(Т) и Б(Тз), получим Б(Т) — Б(Тз) < 2Мбп. Отсюда следует, что Я(Т) < Б(Тт)+ 2МЬп < Б(21)+ 2МЬп.
Лемма 4 доказана. тот Т е о р е м и 3. Пусть модуль функции Е(к) огранцчев яа отрезке Е = (а, Ц чвслом М > О. Пусть, далее, à — верхний интеграл Дарбу от фуикцвв у(к), а о(У) — интегральная сумма, отвечаккцая размеченному разбиению У отрезка Е. Пусть также 1' = аш о(У).
ж -+о Тогда имеет место равенство 1' = 1'. Замечание. В силу ограниченности функции Е(к) числа Г и 1' существуют. ,11 о к а з а т е л ь с щ е о. Обозначим через Т(У) неразмеченное разбиение отрезка Е, полученное из размеченного разбиения У отбрасыванием точек разметки, а через о(Те) — множество всех размеченных разбиений У с условием Т(У) = Тд. Тогда непосредственно из определений и свойств верхнего предела по базе и из леммы 1 вытекает Б(Те) = впр е(У),Г =шЕБ(Т) = )пЕ шЕ Б(Т), Рек(та1 ' т ю>е ьг<б г' — 1пп е(У) = шЕ впр е(У) = Ьч-+О Ю>ОЬ~«б = 1пЕ епр впр о(У) = гпЕ впр Б(Т). ю>0 аг<ь геа1T) 8>0 аг<б Таким образом всегда имеет место неравенство 1' = шЕ шЕ Б(Т) < шЕ впр Б(Т) = 1*.
ю>еат<ь б>0 д .<г Нам надо доказать, что 1* = 1'. Заметим, что для любого числа е > 0 число Г+а уже ве является нижней гранью множества значевяй Б(Т), поэтому существует разбиение Те такое, что Г < Б(Т ) < 1' + е. Далее. заметим, что величина апр Б(Т) как функция от б является ьг<г неубывающей. Поэтому существует бе > 0 такое, что для всякого б с условием 0 < б < бе имеем 1' < впр Б(Т) < .1' + е. аз<б Отсюда, в частности, следует, что существует разбиение Т~ с условием Ьт, < б такое, что 1' — е < Б(Т~) <.1'+е.
Обозначим через н количество внутренних точек разбиения Те. Тогда по лемме 4 справедлива опенка Б(Т~) < Б(То) + 2Мбп. Следовательно, 1' — г < Я(Т~ ) < Я(То) + 2МЮп < Г + г + 2Мдп. Поэтому справедливо неравенство О < 1' — Г < 2г+ 2МЮп. Но так как числа г > 0 и 0 < о < оо можно выбрать сколь угодно малыми, то,1' — Г = О, 1' = 1'. Теорема 3 доказана.
С л е д с т в и е теоремы 3. Справедливо равенство 1„= 1,. До каза шел ьс ма о. Рассмотрим функцию у(к) = -1(к). Тогда по доказаныой теореме 3 имеем, что з'(у) = 1'(у), ыо з'(у) = -з,(1) и 1'(у) = -1,(У). Отсюда получим Я,Ц) = 1,(]). Следствие доказано. г 8. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО РИМАНУ Докажем, что любая ыепрерывная ыа отрезке фуыкция ы любая монотонная ыа отрезке фуыкцыя являются интегрируемыми ыа этом отрезке.
Т е о р е м а 1. Всякая функция, непрерывная иа отрезке, интегрируема на ием. Д о к а з а ш е л ь с га е о. В силу теоремы Каытора фуыкпия 1(к), непрерывная на отрезке [а, Ь], является равыомерно ыепрерывыой ыа нем. Поэтому для любого числа г > 0 найдется 6 = Ь(г) > 0 такое, что для любых точек к,у б [а,Ь] с условием ]к — у[ < Ю выполняется ыеравенство ]1(к) — 1(у)] < 3(Щ. Возьмем любое разбиеыие Т отрезка [а,Ь] с диаметром Ат < 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
