Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Имеет' место следующее утверждение. Т е о р е м а 1 (о замене переменной). Пусть функция 2(х) непрерывна па некотором отрезке [хо,хз]. Пусть также точки а, Ь б [хо,х1] а ( Ь, ддо(а) = а, др(ф) = Ь и множество.значений фувкцнв др(2) при а ( 2 < )д является подмножеством отрезка [хо,х1]. Пусть, кроме того, производная уд'(2) непрерывна иа отрезке [о,б]. Тогда справедлива .формула ь и У(х) ~(х = У(~.(2)) р'(2) (2.
Д о к а з а дв е л ь с вд е о. Так как функция у(х) непрерывна на отрезке [а,Ь], то по теореме Ньютона — Лейбница существует ее ь первообразная Р(х) и Р'(х) = 2'(х), ] 2(х) д(х = Р(Ь) — Р(а). Ь При всех 2 б [а, р] по условию теоремы определена функция С(2) = г"(др(д)), которая на этом отрезке имеет производную, причем С'(2) = Р',(Р(2)) = Р',(Р(2)) Р'(2) = У(Р(2)) Р'(2) А это значит, что функция С(2) является первообраэной функции 2(др(д)) Здд(д). Следовательно, имеет место равенство 2(р(2))др'(д) ддд = Р(дддф)) — Р(р(а)) = Р(Ь) — Р(а) = / у(х) дух. l д а Теорема 1 доказана.
Т е о р е м а 2 (Формула интегрирования по частям). Пусть иа отрезке [а, Ь] заданы гладкие фуякпни у(х) и у(х). Тогда имеем у(х)у'(х) (х = у(х)у(х)[, '— ~ у'(х),(х) (х, I 225 дмддд ПО дддддддддд'ддддддс ддедьд где символ Ь(х)[ означает разность Л(Ь) — Л(а).
Д о к а з а яь е л ь с яь в о. Пусть Ь(х) = у(х)д(х). Тогда имеем Ь'(х) = Ях)д(х) + Ях)д'(х). Следовательно, По теореме Ньютона — ' Лейбница получим Л'(х) пх = Л(Ь) — Л(а) = » (х)д(х)[». а Подставляя последнюю формулу в предыдущую, получим искомую формулу. Теорема 2 доказана. Ь 4. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ИНТЕГРАЛА Т е о р е м а 1 (первая теорема о среднем значениии). Пусть функции Дх) и д(х) иитегрируемы иа отрезке [а, Ь].
Пусть также на этом отрезке функция д(х) неотрицательна, а для функции д(х) прн некоторых вещественных числах яь н М имеют место неравенства оь < д(х) < М. Тогда найдется вещественное чясло и с условием »в < р < М такое, что ь ь )(х)д(х) ах = и ~д(х) ах. » » ,У о к а з а яь е л ь с яь в о. Поскольку справедливы неравенства ньд(х) < у(х)д(х) < Мд(х), интегрируя их, получим ь ь ь »в д(х) ох< у(х)д(х) вх < М д(х) вх. ь Заметам, что /у(х) ох > О, так как у(х) > О.
а ь Тогда если (у(х) ох = О, то аз неравенства (1) имеем ь ь У(х)у(х) Ых = О = у(х) Ых и число и можно положить равным пь. ь Если 1 у(х) ех > О, то получвм ь ( у(х)у(х) нх пь < )у(х) ох О < М. Положим отнопьевие интегралов равным д. Тогда будем иметь Ях)у(х) 4 = д у(х) 4х, / ь ь / у(х)у(х) ох = д „~у(х) Их. Д о к.а з а еь е л ь с т е о. Положим уь(х) = — у(х). Тогда фувкпаа у(х) и уь(х) удовлетворяют условиам теоремы 1 а мы амеем Равенство у(х)уь(х) Нх = д уь(х) ох, I где оь<д<М. Подставляя а это равенство уь(х) = — у(х), получвм утверждевве следствия.
где оь < д < М. Теорема 1 доказана. С л е д с т в я е 1. Пусть функдни у(х) и у(х) ивтегрируемы на отрезке (а, Ц. Пусть также на этом отрезке функция у(х) неположнтельва, а для функции Дх) нри некоторых вещественвык оь и М имеют место неравенства пь < у(х) < М. Тогда найдется венгественное число р с условием оь < р < М такое, что С л е д с т в и. е 2. Пусть функция у(х) непрерывна на отрезке [а,6] я функция д(х) яытегряруема ыа этом отрезке, причем для всех точек х Е [а,6] функция д(х) ыеотрицательыа. Тогда существует точка с Е [а,6] такая, что ) х»*»»ь» *=э»/»»*»»*.
ь а Д о к а э а е» е л ь с я» е о. По теореме Коши о промежуточыом значеыии непрерывыой функции на отрезке существует точка с, а'< < с < 6 такая, что р = у(с), и» < р < М. Отсюда в силу теоремы 1 получаем утверждеыие следствия. С л е д с т в и е 3.
Пусть фуыкцяя у(х) непрерывна ыв отрезке [а,Ь]. Тогда на отрезке [а,Ь] ывйдется точка с такая, что у(х)»(х = у(с)(6 — а). / а ,П о к а э а и» е л ь с и» е о. Даыыое утверждеыие получается из следствия 2 при д(х) = 1, Замеча»»ие. Среднее арифметическое значений арифметических функций на отрезке [а,6] стремятся к неличные поэтому говорит, что иытегрвл — это среднее значение функции у(х), на отрезке [а, Ь]. Т е о р е м и 2 (вторая теорема о среднем эывчениии). Пусть функции 1(х) н д(х) яытегряруемы на отрезке [а,6] Пусть, далее, функция д(х) ыа этом отрезке ыеотряцательна и не убмвает.
Тогда на отрезке [а, Ь] найдется точка с такая, что ь ь У(х)д(х)»(х = д(6) у(х)»(х. а с ,П о к а э а е» е л ь с е» е о. Рассмотрим последовательность разбиений Т„: а = хе «х„= Ь с условием, что диаметр Т»„ равный Ь„, стремится к ыулю при в -+ оо. (Например, всегда можно считать, что разбиение Тл отрезка (а, Ь) есть разбиение на и равных частей и тогда 6„= 1/и).
Положим » »а а» = ~~~ у(хь) У(х) с(х, М = еир )У(х)), ь=1 «е 1»,ь) »й-1 ыь(у) = епр !у(х') — у(х»)/ = у(хь — О) — у(хь 1 + О). Имеем »а 2, / Ю* )- »*9Л» * ь=ь, ~т» — /(х)у(х) Фх = а » »е » < ~ щ,(у) ~ )1(х)~ 6х < М6 ~ ыь(у) < М6 у(6). ь=1 ь=1 Следовательно, 1пп о» = г(х)у(х) 6х, а ь ь . = Ел*с 1" л»» - 1" л»») = ью! » » у(хь) Г(хь ь) — ~~~ у(хь)Р(хь) = ь=ь 9=1 »-1 у(хь+ь)г"(хь) — Я~у(хь)г'(хь) = »-1 = у(хь)Р(о) + ~~~ (у(хь+ь) — у(хь))Р(хь). 229 Поскольку интеграл как функция нижнего предела есть непреь рывная функция, функция г"(х) = ) у(ь) оь' явлкется непрерывной н достигает своего минимального и максимального значений на отрезке [а,ь), соответственно, в точках а и р. Теперь преобразуем сумму а».
Имеем Так как для любого х б [а,6] справедливы неравенства г (а) < г'(х) < Р(Д), у(х) > О, и функция у(х) яе убывает то из последиего неравенства для а„ получим Р(а)у(6) < а < ГОУ)у(6). Переходя к пределу при п -ь оо, будем иметь Р(а)у(6) < 1(х)у(х) ах < г'(р)у(6), Ф т. е. Р(а) < 1 Г(х)д(х) г(х < РЯ. 1 — у(6) [ Поскольку функция Г(х) пепрерывца па отрезке [а,6], по теореме Коши о промежуточном значении найдется точка с Е [а,6], такая, что г'(с) = — / Дх)у(х) ах 1 д(6) ./ или ь ь У(х)у(х) ь(х = у(6) Дх) Их.
Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Пусть фуякция Дх) я у(х) иятегрируемы на отрезке [а,6]. Пусть, далее, функция у(х) на этом отрезке яеотрицательиа и яе возрастает. Тогда иа отрезке [а,6] яаудется точка с такая что ь с ~(х)у(х) г(х = д(а) Ях) Их. ,7 о к а з а т е л ь с оь е о. Положим х1 = -х, Л(хь) = = у(-х), у1(х1) = у(-х). Тогда в силу того что у(х) ие возрастает яа отрезке [а,6], то функция уь(х1) пе убывает ца отрезке [ — 6,— а]. Поэтому к фупкциям Л(х1) и уь(х1) можно примеиять теорему 2. Отсюда следует, что. иа отрезке [-6,— а] найдется точка — с такая, что Л(х1)у1(х1) ь(х1 =у1( — а) Л(х1) Йх1. Ц интегралах последнего равепства сделаем замену переменной вида х= -хь Получим ь с у(х)у(х) ах = у(а) у(х) Нх. Теорема 3 доказана.
С л е д с т в и е. Пусть фуикдии у(х) и у(х) иитегрируемы яа отрезке [а, 6] Пусть, далее, функция у(х) монотонна яа этом отрезке. Тогда иа отрезке [а,6] найдется точка с такая, что ь. с ь у(х)у(х) ах = у(а) у(х) ах+ д(Ь) у(х) ах. ь ь / ~(х)у1(х) Их = уь(6) Дх) Их. а с Подставляя сюда выражение для уь(х), получим утверждение следствия. Пусть теперь функпия у(х) не возрастает на отрезке [а,6]. Тогда, положим, уь(х) = д(х) — у(а). Функпия уь(х) — неотрицательная и невозрастающая. Следовательно, к функциям у(х) и у1(х) применима теорема 3. Отсюда и следует искомая формула.
Следствие доказано. Пример. Пусть 6 > а > 0. Тогда справедливо неравенство а 2 < —. а Действительно, функция 1 — положительна и невозрвстающая на отрезке [а, 6]. Тогда по теореме 3 найдется точка с Е [а, 6] такая, что ь О с 1 Г, — / з(эх ах а,/ а [сов с — сова! 2 <— Наконец, приведем вариант доказательства второй теоремы о среднем для гладких функций. 231 Д о к а з а яь е л ь с яь в о. Пусть сначала функпия у(х) не убывает на отрезке [а,Ь]. Тогда функция у1(х) = д(х) — у(а) будет неотрицательной и неубывающей на этом отрезке. Следовательно, по теореме 2 имеем Т е о р е м а 4. Пусть функция у(х) непрерывна и функпня у(х) дяффереипируема на отрезке (а, 6], причем производная у'(х) на атом отрезке неотрицательна и непрерывна.
Тогда на отрезке (а,Ь] найдется точка с такая, что ь с ь ~(х)у(х) «Ь=у(ю) У(х) Ух+у(6) 1(х) Ух. ~Уоказююельсмва. Пусть с г (й) = у(х) вх. Тогда'функция г'(1) как функция верхнего предела является днффереицнруемой, поскольку подынтегральная функцня у(х) — непрерывна. Следовательно, имеем Дх)у(х) вх = у(х) вг (х). Интеграл У проинтегрнруем по частям. Получим ! — у(х)г'(х)] — Р(х) ву(х). 4 Но так как у'(х) йеотрицательна, г'(х) и у'(х) непрерывны на отрезке [а,Ь], то по первой теореме о среднем значении интеграла имеем г(х)у'(х) вх = г (с) у'(х) вх = г(с)(у(6) -у(а)).
Следовательно, 1 = у(Ь) г (Ь) — у(Ь) г (с) + у(а) г (с) = у(а) Д(х) вх + у(6) у(х) ~6х. а с Теорема 4 доказана. Леипжи 8 3 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ Равенство, которое доказывается в слелуюшей теореме, называется формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Т е о р е м а. Пусть и ~ Π— целое число и пусть функция у(я) имеет (и+ 1)-ю непрерывную производную на отрезке (а, 6). Тогда имеет место формула У(6) = У (а, 6) + У( (а, 6), где т«(а, 6) — мяогочлен Тейлора, т.е. уг( ) ' у1«]( ) у«(а,Ь) = ~(а)+ — (Ь-а)+" + — (Ь-а)", и! и остаточный член В«(а,Ь) имеет вид В„(а, Ь) = — ( У1"+'1(1)(Ь вЂ” 1)" (1.
1 У п) .1 а Д о к а з а т е л ь с га е о проведем методом математической индукции. При и = О должно иметь место равенство ЦЬ) = ~(а) + — ) (1) Й = $(а) + ~'(1) й. « а Это есть формула Ньютона — Лейбница. Так что при и = О, теорема доказана. Пусть при и = Ь утверждение теоремы уже доказано, т.е. справедливо равенство ЯЬ) = Д(а,Ь) + Яь(а,Ь). Докажем его при и = Ь+ 1. Для этого проинтегрируем Щ,(а,6) по частям. Получим Л„(а,Ь) = 1 1 у(ь+'1(1)(6 — 1)" и = — 1 ~(ь+П(1) Ы(6 — 1)"+' = -Цу ' ' — --(1+1)!,' а ззз ь — — Г!ь+1!(1)(6-С)о+11 + ' ГГ!а+21(Ь-~)"+ (1 -1 Ц! ( (6+1)),( О ь !2+1) 1 (Ь вЂ” )" +'+ 1 /! + 1(!)(6 — 1) "+' М.
(6+1)! ' ' (6+1)! .Подставляя это выражение в равенство, справедливое по предполо- жевию иядукции при в = Ь, будем иметь У(6) = У,+,(е,ь) + Яь+,(о,ь). Теорема доказана. Замечания. 1. После замены переменной интегрирования вида 1 = а+и(6 — а) остаточный член в формуле Тейлора можно представить в виде (Ь е)«+1 я«(а, Ь) = ~,!!"ь11(а+ и(6 — а))(1 — и)" 1!и. о 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
