Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Рассмотрим собственные интегралы на отрезке ~а + б, о]. По теореме об интегрировании по частям в собственном интеграле будем иметь У( )у'(х) ~х = Х(х)Фх) ~.„— ~ )'(х)Фх) ~ аес Устремив в этом равенстве б к нулю, а Ь к плюс бесконечности, получим искомую формулу. Теорема 2 доказана. Иногда полезными оказываются следующие специальные определения несобственного интеграла. +А Опрецеление 1. Вещественное число ! = 1пп ) Пх) Нх наэы- А-с+со вается главным значением (по Коши) интеграла ) Дх) Их и обозначается' так; ! = о.р.
/ Дх) Йх. Определение 2. Если с — особая точка несобственного интеграла второго рода от функции )(х) и с б (а, В), то главное значение интеграла определяется так: с-б ь — ~ г(Е с* -- / Л*) с*) б- О с саб Глава Х ДЛИНА ДаГИ КРИВОЙ Лекция 12 ~ 1. КРИВЫЕ В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Определение 1. Кривой Ь в пространстве Ж~ (пространственной кривой в т-мерном пространстве) называется множество точек М С 1ч"', состоящее из всех значений (~о1(й),..., у (1)) некоторой вектор-функции с1 — — ф1(1),...,х,„= ф,„(1), причем функции р.
(1),..., у,а(1) заданы па некотором промежутке У С й и непрерыеям в каждой точке его. Под промежутком мы понимаем либо конечные отрезки, интервалы и полуинтервалы, либо бесконечные интервалы и полуинтервалы. Для простоты в дальнейшем будем рассматривать случай ! = [а,е]. Напомним, что в концах отрезка непрерывность понимается как односторонняя непрерывность. Определение 2.
Точка с = (сы...,с ) б Ь называется кратной точкой кривой Ь, если имеются по крайней мере две различные гочки Н ~ ".т промежутками такие, что у1(11) = р1(12) = сы..., р,„(11) = Ч' ь (~2) — сп~. Точки кривой, не являющиеся кратными, называются простыми точками кривой. Кривая Ь, имеющая только конечное число кратных точек, называется параметризуемой кривой. Кривая Ь, не имеющая кратных точек, за исключением, быть может, концевых точек промежутка 1, называется простой кривой. Если только в концевых точках П и 1з отрезка 1 значения функций у1(1),..., ~р (1) совпадают, то простая кривая называется простой замкнутой кривой.
Л е м м а. Всякую параметризуемую кривую можно представить в виде объединения конечного числа простых кривых. „7 о и а з е ш е л ь с ш е о. Достаточно отрезок У разбить на конечное число отрезков с концами в кратных точках исходной кривой. Определение 3. Функция ~(1), непрерывная на отрезке (а, 6], называется кусочно-линейной (а, 6], если для любого значения 1 б (а, Ц, за исключением конечного их числа: П,...,8„п имеем: ~'(1) равна постоянному значению на каждом отрезке (гю8а+1], й = О,...,и. Это 9З мина читавшее и ь.иоо' означает также, что на любом отрезке [1ь,1ь+1] имеет ввд Я) = аь1+оь (здесь 1о — — а,г„= Ь).
Определение 4. Простая кривая Ь называется ломаной линией, если рг(1),...,р (1) являются кусочно-лннейнымн функциями. Очевидно, что каждая ломаная состоит из отдельных отрезков, которые называются ее звеньями, а концы этих отрезков — точки Ап...,А„, называются ее узлами. Точки го,...,г„, которым соответствуют эти узлы, образуют разбиение отрезка [а,б].
Рассмотрим одно звено лбманой с начальной точкой А1(хп...,х„,) и конечной точкой Аз(уп..., у ). По теореме Пифагора его длина ]1] равна величине ]1] = (у~ — х~)з -1-... -1- (у — х )з, Если же точки Ао(ацо,..., х„, о),...,А„(х1 „,..., х~ „) являются последовательными узлами ломаной 1, то длина этой ломаной обозначается символом ]1] и, очевидно, она.равна Определение 5.
Ломаная 1, соответствующая разбиению Т отрезка [а, О], называется вписанной в кривую Ь, задаваемую уравнениямв х) = р~(1) х ~ = <р~(1), 1 Е [а,о], если яачапьввл точка звена соваадает с концом предыдущего и узлы ломаной 1 лежат на кривой Ь. Определение 6. Простая кривая Ь называется спрямляемой, если длины ]1] всех ломаных 1, вписанных' в кривую Ь, образуют ограниченное сверху множество. Определение 7. Длиной ]ь] опрямляемой кривой Ь называется число, равное точной верхней граня.длвя всех ломаных, вписанных в данную кривую. Замечания. 1.
Очевидно, что если мы хотим правильно определить понятие длины кривой, то мы должны требовать, чтобы вписанная ломаная была короче самой кривой. В данном случае это так, поскольку кратчайшее расстояние между двумя точками, как известно, достигается на отрезке прямой, проходящей через эти точки. 2. Бывают меспрлмллемме кривые, но они задаются очень сложно, и поэтому примеров их мы приводить не будем. т 2. ТЕОРЕМА' О ДЛИНЕ ДУГИ КРИВОЙ Т е о р е м а. Пусть фувкцяи ~е1(1),...,~е„,(1), задающие простую кривую б, имеют. непрерывные производные на отрезке [а, Ь]. Тогда кривая Х вЂ” спрямляема и ее дляна Щ выражается формулой ь ~и=)' а Д о к а з а ш е л ь с ю е о. Покажем сначала, что длина любой ломаной не превосходит величины Пусть узлы ломаной ( соответствуют точкам 8е, П,..., 1„разбиения Т отрезка [а,Ь[; а = Се < П «.
С„= Ь. Тогда имеем Далее, в силу неравенства (см. гл. УШ, тб, теорема 3) получим Таким образом мы доказали, что А — верхняя грань длин всех ломаных !, вписанных в кривую Ь, т.е. кривая б является спрямляемой. Покажем, что А есть точная верхняя грань длин таких ломаных, т.е. длина кривой Ь равна А. Поскольку функции 5~а(1), /с = 1,..., п1, непрерывны на отрезке (а, Ь], по теореме Гейне — Кантора они являются равномерно непрерывными на зтом отрезке. Следовательно, при всех й = 1,...,п! для всякого е > 0 существует число б = Ь(е) > 0 такое, что для всех 1',1» Е (а, Ь]: ] — 1л] < б выполняется неравенство Возьмем любое разбиение Т отрезка (а, Ь] с диаметром Ьг < д, Т: а = 1о < 11 .: < 1„= 6, и пусть ломаная 1 соответствует зтому разбиению Т. Оценим теперь сверху разность А — ](] > О.
Имеем ь А — ]1]= / а п ж-~ 5=1 ~ оьт - ',~ .'6| Следовательно, получим Й< где пь, — некоторая точка отрезка (1, 1,1,]. Теорема доказана. где 1Ьу5ь(1, 1) = 5рь(15) — 5гд(1, 1), Ы5 ! — — 1, — 1, Далее применим неравенство треугольника в следующем виде. Пусть заданы вершины 0(0,,0), А(а1,..., а„,), В(Ь1,...,6 ) треугольника ОАВ. Тогда имеет место неравенство треугольника (неравенство Минковского при р = 2): С л е д с т в и е.
Пусть в = в(и) — длина дуги кривой Л, задаваемой уравнениями хг = хг(1),...,х = х (1), 'а < 1 < и. Тогда для дифференциала длины дуги кривой Ов справедлива формула (йв)' = (йхг)'+ +(йх-)' Д о к а з а нг е л ь с т в о. Из теоремы имеем и в(и) = / а Дифференцируя это выражение, найдем ои, или ив = (йх,)г+ . + (ох,„)г. сЬ(и) = Следствие доказано. Отсюда имеем, что квадрат дифференциала длины дуги плоской кривой (ьз = 2) в полярных координатах (г, р) равен ,~ г йгг+„гй г где координаты г и ег определяются по формулам: х = г сов гг, у = тяп гг, г > О, 0 < гг < 2т. Действительно, ох = соб р Иг — г яп р й1о, Иу = яп 1о ог + г соб гг<6р.
Следовательно, получим <Ь = ох + Ну = й г + г Йуг . В частности, если уравнение эллипса задана в параметрической форме г = г(ф = (а соб гг, Ьяп ~р), а > Ь > О, и угол р между осью Ох и радиус -вектором Р изменяется от нули до 2к, то для дифференциала длины дуги эллипса имеем дуги кривой (циклоиды) х = В(1 — яп1).
у = В(1 — сов 1), ов~ = охг+ оуг, овг = 4Вгяп -'(~й)г, ов = где 0<1<д<2я. Имеем 2В яп -'(й. Следовательно, в = в(й) = 4В(1 — сов-). д 2 Заметим, что эта кривая задает траекторию движения точки на ободе катящегося колеса радиуса В.
Глава Х1 МЕРА ЖОРДАНА Лекция 13 з 1. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И ОБЪЕМ ТЕЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ ЖОРДАНА О площади плоской фыгуры мы уже говорылы, когда вводылы понятые определенного ынтеграла как площади крыволыыейной трапецыы. Причем, давая. точное оцределеные этого понятия, мы исходили ыз основных свойств площади фигуры, справедливых для площадей простейшвх фигур, напркмер, таках, которые являются объедыненыем конечного чысла прямоугольыыков ы треугольников.
Сформулируем эты свойства. Обозначим через р(Р) площадь фвгуры Р. 1о. Для каждой фигуры Р, имеющей площадь, функцяя д(Р) меошриыашельма ы одмозмачма определена. 2а. Площадь квадрата.со стороной, равной едыныце, также равна единице, Зе. Фуыкцыя д(Р) является аддишмемоп, т.е., еслы фигура Р разбита на две непересекающиеся фыгуры Р~ ы Рю Р = Р~ О Рю Р~ О Рз — — И, то д(Р) = д(Р~) + р(Рз). 4е. Функция р(Р) является имеариамшмоо относктельво всех двыженвй плоскости. Другими словами, если фкгуры Р, ы Рз можно наложить одыу на другую так, чтобы все ых точки совпалв, т.е.
Р~ ы Рз можыо совместить пры помощи поворота плоскостк вокруг некоторой ыеподвыжной точки ылы параллельыого переноса плоскосты, И(Р~) = д(Рз). 5~. Функцыя д(Р) является момотоммоп, т.е., еслы Р~ С Рж то и(Р1) < д(рз). Заметим, что эты свойства нмеют место не только для площадей простых фвгур, но ы для объемов простых тел, а также для суммарных длин простейших множеств на прямой, т.е. множеств, составленных ыз конечного числа промежутков ы отдельных точек. В дальнейшем простейшей будем называть фыгуру, являющуюся объедыненыем конечного чксла прямоугольныков, стороны которых параллельны осям координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
