Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 43
Текст из файла (страница 43)
у„=]]. Кривая г = ~(у) точками Аь(гь,[оь), гь = У([оь), разбивается на о дуг, а сектор Р— на и малых секторов Рь, Пусть щ!и (([о), Рь = пьах ~(~р). Фе[е»-»,»»»]»»Е[е»-»,»»»] Тогда площадь Ь -го криволинейного сектора содержит круговой сектор радиуса уь и находится внутри сектора радиуса Рь. Используя формулу площади кругового сектора и свойство монотонности площади, имеем г г -Ь ~юь < МРь) < "Рь ~]»[оь, »."ь[оь = ь ь+ — [оь 2 2 Откуда получим Суммы э„и Я„являются нижними и верхними суммами Дарбу для интеграла Ф Поскольку функция ~(гг) — непрерывна, ~~(гг) — непрерывна и ннтегрируема, а потому при п -+ оо имеем э„— > 1, Я„-+ 1.
Отсюда получим р(Р) = 1. Утверждение доказано. Аналогично можно вычислять и объемы различных фигур, вписывая в них и описывая вокруг них простейшие фигуры, зависящие от некоторого параметра п, и устремляя потом его к бесконечности. Подобным образом находил плошади и объемы еше Архимед, т.е. мы применили метод исчерпывания, принадлежащий Архимеду. Итак, понятие измеримости по Жордану позволяет значительно расширить класс фигур Р на плоскости и в пространстве, которым можно приписать значение площади или объема д(Р).
Однако легко можно указать пример плоского множества Р, не измеримого по Жордану. Например, рассмотрим функцию Дирихле у(х) на отрезке (О, 1): 1, если х — рациональное число, Х(я) = О, если я — иррациональное число. Пусть Р есть криволинейная трапеция, соответствующая этой функция, т.е. множество точек (к,у) на плоскости вОу, определяемое для всякого я, принадлежащего отрезку (0,1), условиями 0 < у < К(в).
Очевидно, что любая простая фигура, содержащая Р, должна .одержать единичный квадрат, и поэтому верхняя мера ее д" (Р) равна единице. Но в то же время простые фигуры, вписанные в Р, могут, очевидно, состоять только из конечного числа отрезков, и онн имеют поэтому нулевую площадь, следовательно, нижняя мера фигуры Р равна нулю, Значит, фигура Р неизмерима по Жордану. г!о здравый смысл говорит о том, что фигуре Р, тем не менее, разумно приписать меру нуль, и вот по какой причине.
Как известно, рациональные точки отрезка можно занумеровать, потому фигура Р состоит иэ счетного числа отрезков. Возьмем любое е > 0 и накроем первый отрезок прямоугольником, плошадь которого равна е/2, второй отрезок — прямоугольником плошадью е/2г, и т.д. Тогда вся фигура покроется счетным количеством стандартных прямоугольников, а их общая плошадь не превышает величины е е г — + — + — +. же. 2 2г 2э гтз Так как фигура Р накрыта прямоугольниками, общая площадь которых не превышает е, то, естественно, считать, что и площадь фигуры Р тоже не превосходят г, а зто может быть только в том случае, если она равна нулю. Мы подошли тем самым к способу определения понятия площади даже для тех фигур, которые неизмеримы по Жордану.
Развивая зтот подход, приходим к понятию меры Лебега, которое можно построить для пространства любой фиксированной размерности, в том числе и для прямой й. Глава Х11 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЬ| И ИНТЕГРАЛА ЛЕВЕГА. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА Лекции 15 | 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МЕРЫ ЛЕБЕГА Рассмотрим случай плоской меры Лебега. Определение 1. Пусть ограниченнаи плоская фигура Р покрыта конечным или счетяым множеством стандартных открытых прямоугольников А„, и = 1,.... Совокупность Н = (Ь„) всех этих прямоугольников назовем покрытием плоского множества Р (илн фигуры Р). Величину рн= !пп р(0 И,) назовем мерой покрытия Н. Множество Н называется простейшим множеством. Заметим, что величина рн всегда неотрицательна.
Определение 2. Число р'(Р) = (п|рп, где инфимум берется по Н всем возможным покрытиям простейшими множествами фигуры Р, называется верхней мерой Лебега фигуры Р. Очевидно, имеем О < р'(Р) < +со, поскольку в силу ограниченности фигуры Р найдется стандартный квадрат К со стороной 1 такой, что Р С К. Отсюда получим, что и"(Р) < (г. Определение 3.
Пусть СР = К1 Р, где К вЂ” стандартный квадрат, покрывающий фигуру Р. Нижней мерой Лебега плоского множества Р назовем число р.(Р) = „(К) — и'(СР). Определение 4. Плоское множество Р называется измеримым по Лебегу, если р'(Р) = р.(Р) = р(Р), а число р(Р) называется плоской мерой Лебега. Докажем следующий критерий нзмеримостн множества по Лебегу. гть Т е о р е м а 1. Пусть А — ограниченное множество. Тогда для измеримости по Лебегу множества А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: для всякого е > О существовало бы простейшее множество В = В(с), такое, что справедливо неравенство д (АЬВ) < е.
Это значит, что любое измеримое по Лебегу множество с любой степенью точности может быть аппроксимировано простейшими множествами. Л а к а з а щ е л ь с п1 е о, НеабхадиЛ1осп1ь. В силу ограниченности множества А существует стандартный квадрат К, покрывающий А, т.е. А С К. Нам дано, что множество А — измеримо.
Следовательно, р'(А) = д. (А), т е. д'(А) + д'(К ~ А) = р(К). Далее, из определения верхней меры Лебега имеем, что для любого е > О существует последовательность открытых стандартных прямоугольников (Сп), покрывающая множество А, т.е. А С С = 0 Сп, и ~=1 такая, что р (А) < ~п д(С.) < д"(А) + — . п=1 Аналогично, найдется последовательность стандартных прямоуголь- ников (Вп) такая, что К~АС О Оп=О,п (К~А) <~ ~п(Пп) <д*(К~А)+ —. п=1 Отметим, что множества С и В образуют покрытие квадрата К. Далее, так как ряд 2 д(Сп) сходится, то существует номер и = пп1 Це/2) такой, что 2', д(Сп) < е(2.
ппк+1 Положим В= О Сп, Р= 0 Сп,9=ВО(Оп Р„1~. — ппя+1 Заметим, что множества В и Р образуют покрытие множества.А, т.е. В 0 Р 3 А, и, следовательно, множество Р содержит А ~ В. Имеем также, что множество Я содержит В ~ А. В самом деле, Я = ВПВ Э ВО(К ~А) = В~А. Таким образом, РОЯ Э (А ~ В) О(В ~ А) = АЬВ. 276 Оценим сверху величину д(Р 0 9). Поскольку для любых двух простейших множеств Р и 0 справедливо равенство р(Р и О) = н(Р) + и(О) — р(Р О а), получим р(Р и д) = р(С О В) = р(С) + р(В) — р(С О В) < < р (А) + -'+ р'(К ~ А) ~- -' — „(К) =, 2 2 Следовательно, для любого е > 0 мы нашли множество В = В(е) такое, что р" (АЬВ) < р(РО(„~) < е А это и завершает доказательство необходимости. Досшаточносеь.
Иам дано,. что для любого е > 0 существует простейшее множество В = В(е(2) такое, что р'(АЬВ) < '-. Далее, поскольку ВО (А ~ В) = ю, А О (В ~А) = И, справедливы неравенства р(В) + р'(А ~ В) > р'(А), р'(А) + р'(В ~ А) > р(В). Отсюда и из условия А ~ В С АЬВ, В ~ А С АЬВ имеем р'(А) — р(В) < р'(А ~ В) < р'(ААВ) < —, р(В) — р'(А) < р'(А ~ В) < р'(АЬВ) < —, г.е. (р'(А) — р(В) ! < — '.
Далее, поскольку множество А ограничено, существует стандартный квадрат К такой, что К Э А. Очевидно, имеем (К ~ А)Ь(К ~ В) = АЬВ. Поэтому, как и раньше, получим ~ р'(К ~ А) — р(К ~ В) ~ < -'. 2 Используя равенство р(В) + р(К ~ В) = р(К), получим ~и (А) + р (К ~ А) — р(К) ) < (р'(А) — р(В) ) + )р' (К ~ А) — р(К ~ В) ) < ~, т.е.
)р'(А) +'р'(К ~ А) — р(К)) < е. В силу произвольности выбора числа е > 0 отсюда следует, что р*(А) + р'(К ~ А) — р(К) = 0, гтт те. р*(А) = 11(К)-р'(К~А) = д,(А). Последнее равенство и означает, что множество А измеримо. Теорема 1 доказана. Исходя из доказанного критерия, очевидно, имеем, что для любых измеримых множеств.А и В их объединение, пересечение, разность и симметрическая разность являются измеримыми множествами.
Более того, если измеримые множества А и В не пересекаются, то 11(А 0 В) = д(А) + д(В). Мы не будем детально изучать свойства множеств, измеримых по Лебегу, но следует отметить, что это ненамного сложнее, чем изучение измеримости по Жордану. Тем не менее, мера Лебега обладает существенным преимуществом перед мерой Жордана, так как помимо свойств инвариантности относительно движений плоскости и монотонности, она обладает свойством счетной аддитивности взамен свойства конечной аддитивности, которым обладала мера Жордана. Уточним, что имеется в виду. Т е о р е м а 2.
Пусть А1,..., Ап,... — бесконечная последовательность непересекающихся множеств, измеримых по Лебегу. Пусть их объединение А = 0 Ап является ограниченным множеством. Топ«1 гда множество А измерима по Лебегу, причем 11(А) = 1пг1 (11(А1) +. +11(А„)) = ~~1 н(А ) п=1 ~7 о к а з а тя е л ь с та е о.
Так как множество А — ограничено, то существует стандартный квадрат К, содержащий А. В силу этого и свойства конечной аддитивности для любого фихсированного числа к > 1 имеем соотношения Отсюда следует, что ряд ~ 11(А„) сходится, и поэтому для любого «=1 е > О существует кц — — ко(е) такое, что для любого числа к > ке выполняется неравенство ~ н(А„) < у. ппй+1 Зафиксируем какое-нибудь число к, большее йш Тогда множество С = 0 Ап — измеримо, следовательно, по критерию измеримости п«1 (теорема 1) для всякого е > О существует простейшее множество В = В(й) такое, что р*(СЬВ) < з.
гтв Очевидно, справедливо следующее соотношение: АЬВ С (СЬВ) О ( 0 А»). »=»+1 Тогда, используя неравенство 2' »=»+1 получим, что р'(Аь»В) < г. Следовательно, множество А — измеримо. Аналогично доказывается,' что и множество С» = 0' А» является »=»+1 измеримым. Далее, в силу свойства конечной аддитивности имеем «=! Кроме того, ранее мы показали, что В1га рС» = О.