Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Тогда для всякой суммируемой функции ((х) на отрезке [а,6] имеем ь ь Дх) пх = ~ ~/ у(х)д„(х) дх. а ««1 « Это свойство можно сформулировать и по-другому. Пусть отрезок [а,6] разбит на непересекающееся семейство измеримых множеств Е„. Тогда интегралы от функции ~(х) по множествам Е„существуют и имеет место равенство ь (л« *=К)л« * а ««1д Интеграл по множеству Е„можно записать и так: ь У(х) (х = .((х)д»(х) 1', где д„(х) — индикаторная функция множества Е„, т.е.
(1, если хбЕ„, д«(х) — ] ],О, если хфЕ„, В заключение отметим, что в случае интеграпа Лебега упрощается по сравнению с интегралом Римана предельный переход под знаком интеграла. Приведем точную формулировку этого утверждения. 285 Т е о р е м а (теорема Лебега). Пусть на отрезке [а,6) последовательность язмеримых фупкцяй Д(х) сходятся к функции Дх) и пусть для некоторой суммируемой функция д(х) яа отрезке [а, Ь) выполнено неравенство [~„(х) [ С д(х). Тогда предельная фуякцвя У(х)— суммяруема и имеет место равенство 1пп / 2'„(х) Нх = / Дх) Их. Д о к а з а яь е л ь с пь в о. По условию теоремы абсолютные величины функций ~„(х), и'> 1, не превосходят суммируемой функции р(х).
Следовательно, и абсолютная величина предельной функции 2(х) не превосходит у(х), и значит, она является суммируемой функцией. Ь Нам надо доказать, что 1пп [ д„(х) Нх = О, где д„(х) = 2(х) — 2„(х). ел<о Зададимся произвольным числом е > О. Для каждого и > 1 определим множество А„тех точек х, для которых [д„(х)[ > е1 — — ь(тс-т.
Тогда в силу упомянутого выше свойства счетной аддитивности меры Лебега справедливо равенство 1пп рА„= О. В противном случае наел<о шлась бы точка х такая, что для бесконечного множества значений и выполнялось неравенство [д„(х)[> е2. А это противоречит тому, что 1пп д„(х) = О. Ь Представим интегралд = ) д„(х) <!х в виде а ,1= .!~+ Уз,где У~ — — д„(х) Их, У2 = д„(х) Ых, 1 = [а,6). По теореме о среднем имеем Е [4~[ < с1(Ь вЂ” а) = —, а для интеграла У2 справедлива оценка ~У,~ < ) )<„Ь)~ <*< 2~<(,) <*. Пусть В = (х Е А„[ Ь2(х) > пь). Тогда в силу сходимости интеграла Ф = ) Ь2(х) Их имеем 1пп ~ р(х) Их = О.
28е Следовательно, существует пьь Е И такое, что для всех пь > гпь имеет место неравенство ) Ьь(х) пх < -'. Далее, представим интеграл Ф в виде Ф = Ф1+ Фю где Ф1 = ьь(х) йх, Фз = у(х) Их. а„1в В силу теоремы о среднем имеем )Фт~ < пьр(А„~ В ) < пьр(А„). Поскольку мера множества А„стремится к нулю при и -+ оо, то при любом фиксированном пь > пьо можно указать пь Е И такое, что для всех и > по справедливо неравенство /Фз/ < пьр(А„) < —. Следовательно, для любого е > О мы нашли по Е И такое, что для всех и > пь выполняется неравенство < е, те. !пп 1 у„(х) Их = О, и-+ео у ь Теорема доказана. Отметим еще один факт, состоящий в том, что для ограниченной неотрицательной функции интегрируемость по Лебегу зквивалентна измеримости по Лебегу ее криволинейной трапеции.
Для более полного изучения теории интеграла Лебега можно познакомиться со следующими оригинальными работами: Н. ЬеЪевйпе. 1пьекга!е, Ьопяиецг, А!ге, 'ТЪеве, Рагм, 1902; С. Ае !а Чайее Реваз!и. 1пьеяга!ев с1е ЬеЪевяпе. РопсВопв срепаещЫе. С!аваев де Ва1ге. СапьМег — ЧЫ1агв е! С", Раба, 1916; А. Лебег, Интегрирование и отыскание примитивных функций, М. - Л., 1934; Н. Н. Лузин. Интеграл и тригонометрический ряд, ГИТТЛ, М. - Л., 1951; ВЬ де ла Валле Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. Т.1, ГТТИ, М. - Л., 1933. Лекция 17 6 3. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА Имеется еще одно обобщение понятия интеграла Римана — это интеграл Стильтьеса.
Он отражает другую особенность интеграла Римана по сравнению с интегралом Лебега. Если мера Лгбега и интеграл Лебега вводились для того, чтобы расширить класс измеримых множеств и класс интегрируемых функций, то введением интеграла Стильтьеса мы решаем другую задачу. Дело в том, что на интеграл Ь 1= ~ Дх)ах а можно посмотреть вот с какой стороны. При фиксированном отрезке [а,6] интеграл 1 — это число, которое ставится в соответствие каждой интегрируемой функции.
Тем самым, интеграл Римана задает некоторую числовую функцию, определенную на множестве (1) всех функций, интегрируемых на отрезке [а, 6]. Сузим класс функций и будем рассматривать непрерывные функции, определенные на отрезке [а,6]. Множество всех таких функций принято обозначать символом С[а,6], причем для кэлсдой функции 1 б С[а, Ь] определяют величину []Л = птах ]1(х)], называемую нормой функции 1(х) в пространстве хе[а,ь) С[а,6].
Пусть Г б С[а, Ь], тогда, как мы знаем, 1 — интегрируема по Риману на отрезке [а,Ь] и 1(1) = / 1(х) ах. а 1(1) — линейная числовая функция, т.е. для любых Г,д б С[а,6] и любых о, 11 е 2 справедливо равенство 1(о~+ 1уд) = о1(1) + /31(У). Напомним, что числовые функции, определенные на множестве, элементами которого являются функции, во избежание путаницы, называют функционалами. Более того, функционал 1, ставящий всякой функции 1 б С[а,Ь] в соответствие число 1(1), называется линейным функционалом, если выполняются следующие свойства: 1г. Аддитивностгс 1(У1 + Ух) = 1(11) + 1(~з) ЧУы 1з б С[а, Ь]; 2 . Однородностги 1(с~) = с1Щ Чс б 1Ж, Ч1 б С[а,Ь]; 3 .
Ограниченность: существует М > О такое, что для любой функции 1' е С[а, 6] справедливо неравенство ]1(1')] ( М]]1']]. Наименьшее из таких чисел М называется нормой линейноуо функционала 1 и обозначается [[Ц. 288 Таким образом, интеграл Римана $([) задает линейный функционал на пространстве С[а, 6]. С помощью интеграла Римааа на пространстве С[а,Ь] можно построить много других лиаейных функциоаалов. Например, для любой фиксированной интегрируемой по Риману функцик у(х) на пространстве С[а,6] можно задать линейный функциоаал 1 (У) = / ~( )у( ) ( Заметим, что, если функция 0(х) такова, что для всякого х Е [а,Ь] справедливо равенство у(х) = С'(х), то ~ (у) можно представить в виде Для развития теории интегрирования н для аекоторых ее приложений, например, для теорки вероятностей, вариациоаного исчисления, теоретической механики, важно иметь ответ на вопрос: любой ли линейный функционал у(~) на пространстве С[а,6] можно представить в таком виде, т.е.
всегда ли найдется такая функция у(х), что Ю(У) = 1,У) = Нх)у(х) ~х = У( ) ~(~(~) Легко понять, что если мы имеем дело с обычным интегралом Римана, то ответ отрицательный, так как тогда, например, функционал Ьь(~) = у(хь), где хь — фиксированная точка отрезка [а,6] (в частности, хе — — Ягх-) в таком ваде пРедставить нельзЯ. Но можно РасшиРить понятие интеграла Римана таким образом, что уже любой линейный функционал ьь(У) на пространстве С[а,Ь] можао будет представить в виде ь ьь(~) = у(х) ИС(х).
Расширение понятия интеграла Римана в указанном направлении к достигается введением понятия интеграла Стильтьеса. Для этого нам потребуется определить новый класс функций. Определение. Функция э(х) называется функцией с ограниченным изменением али, что то же самое, функпжей ограниченной вариапии на отрезке [а, 6], если сушествует вешественаое число ! Олексин ио иаимяпзескоп ана|нч гвэ М > О такое, что для любого разбиения Т: а = Фс < Ф1 « ° ° М„= Ь выполняется неравенство ч УЦ; Т) = ~~~ ]и(Ф,) — а(~, 1)] < М. Величина, равыая вор У(у; Т) = У~(У), называется полным намет пением или полной вариацией функции у(х) на отрезке [а, Ь].
Отметим следующие свойства функций с ограниченным изменением на отрезке. 1~. Сумма двух функций с ограниченным взменением есть функция с ограниченным измеыением. Действительно, пусть Ь(х) = у(х)+у(х). Тогда для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] справедливо ыеравенство У(Ь,Т) < У(1,Т) + У(у,Т). Отсюда следует, что полыое измене~~е Уь(Ь) фуыкции Ь(х) не превосходит суммы полных изменений фуыкций у(х) и у(х). 2е. Ограничеыная монотонная функция ыа отрезке [а, Ь] — функция с ограыичеыным изменением.
Рассмотрим только случай неубывающей функции у(х) на отрезке [а, Ь]. Имеем У~(у) = у(Ь) — у(а). 3~. Пусть а < с < Ь и фуыкция у(х) имеет ограничеыыое измеыеыие ыа отрезке [а, Ь], тогда имеет место равенство У, (У) = У;(У) + У, (У) Возьмем любые разбиения Т1 и Тз отрезков [а, с] и [с, Ь] и положим Т = Т, оТю Тогда У(1 Т) = У(ЛТ~)+ У(У,Тз). Так как зпр У(1, Т1) = У„(У), зпр У(1,Тг) = У~(У), т, т, то, переходя' в предыдущем равенстве к супремумам по разбиеыиям Т1 и Тю получим У„'(у)+У~(у) = зпр У(у,Т) < У„"(у).
т=т,от, Возьмем теперь любое разбиение Т отрезка [а, Ь] и добавим к нему точку с. Получим разбиения Т, отрезка [а,с] и Тз отрезка [с, Ь]. Тогда У(~, Т) < У(~, Т1) + У(~, Тз). Переходя в этом ыеравенстве к супремумам по всем разбиениям Т, получим Уа (~) < зпр(У(~~ Т1 ) + У( ~~ Тз)) < $7(У) + У~ (У)' т Вместе с ранее доказанным противоположным неравенством это дает Уь(/) У.
(/) + Уь(/) 4в. Каждая функция с ограниченным изменением на отрезке [а,6] может быть представлена как разность двух ограниченных монотонно возрастающих функций. Положим ~р(х) = У„'(/). Тогда функция ~р(х) не убывает и неотрицательна на отрезке [а,6]. Далее, положим г6(х) = уг(х) — /(х). При х! > хз имеем Ф(х!) — гр(хз) = У," — У вЂ” /(х!) + /(хв) = У;,' — (/(х!) — /(хз)) >'О, так как гг У**,' = вар У(/ Т) > апр]~(/(а,) — /(а,,))[ = [/(х~) — /(х,)[. т т, 1 5в. Функция с конечным числом максимумов и минимумов на отрезке [о,6] является функцией с ограниченным изменением.
Пусть отрезки [х, г, х,], в = 1,..., и, задают участки монотонности функции /(х) на отрезке [а,6]. Тогда в У,"(/) = ~~! У,",(/), где У,*',(/) = ]/(х,) — /(х, !)[. ев! Пример. Найти полное изменение функции /(х) = вшх при х б [0,2гг]. Разобьем отрезок [0,2гг] на отрезки монотонности функции вшх: [О, з], [т, з'], [ т,2я].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
